ลำดับกำลังสอง: ตัวอย่างกฎและแบบฝึกหัดที่แก้ไขได้ - เลข - 2025

ความต่อเนื่องของกำลังสองในแง่คณิตศาสตร์ประกอบด้วยลำดับของตัวเลขที่เป็นไปตามกฎเลขคณิต เป็นเรื่องน่าสนใจที่จะทราบกฎนี้เพื่อกำหนดเงื่อนไขใด ๆ ของลำดับ

วิธีหนึ่งในการทำเช่นนี้คือกำหนดความแตกต่างระหว่างคำสองคำที่ต่อเนื่องกันและดูว่าค่าที่ได้รับนั้นซ้ำกันเสมอหรือไม่ เมื่อเป็นเช่นนี้จึงกล่าวเป็นลำดับปกติ

ลำดับตัวเลขเป็นวิธีการจัดลำดับของตัวเลข ที่มา: pixabay.com

แต่ถ้ามันไม่เกิดซ้ำคุณสามารถลองตรวจสอบความแตกต่างระหว่างความแตกต่างและดูว่าค่านี้คงที่หรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นแล้วมันเป็นลำดับกำลังสอง

ตัวอย่างของลำดับปกติและลำดับกำลังสอง

ตัวอย่างต่อไปนี้ช่วยชี้แจงสิ่งที่อธิบายไปแล้ว:

ตัวอย่างการสืบทอดตามปกติ

ให้ลำดับ S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

ลำดับนี้แสดงโดย S คือชุดจำนวนอนันต์ในกรณีของจำนวนเต็ม

จะเห็นได้ว่าเป็นลำดับปกติเนื่องจากแต่ละเทอมได้มาจากการเพิ่ม 3 ในเทอมหรือองค์ประกอบก่อนหน้า:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

กล่าวอีกนัยหนึ่ง: ลำดับนี้เป็นแบบปกติเนื่องจากความแตกต่างระหว่างคำถัดไปและคำก่อนหน้าให้ค่าคงที่ ในตัวอย่างที่กำหนดค่านี้คือ 3

ลำดับปกติที่ได้รับจากการเพิ่มปริมาณคงที่ให้กับคำก่อนหน้านี้เรียกอีกอย่างว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และความแตกต่าง -constant- ระหว่างคำที่ต่อเนื่องกันเรียกว่าอัตราส่วนและแสดงเป็น R

ตัวอย่างของลำดับที่ไม่สม่ำเสมอและกำลังสอง

ดูลำดับต่อไปนี้:

S = {2, 6, 12, 20, 30, ….}

เมื่อคำนวณความแตกต่างอย่างต่อเนื่องจะได้รับค่าต่อไปนี้:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

ความแตกต่างของพวกมันไม่คงที่ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่ามันไม่ใช่ลำดับปกติ

อย่างไรก็ตามหากเราพิจารณาชุดของความแตกต่างเรามีลำดับอื่นซึ่งจะแสดงเป็น S _diff :

S _dif = {4, 6, 8, 10, ….}

ลำดับใหม่นี้เป็นลำดับปกติเนื่องจากแต่ละคำได้มาจากการเพิ่มค่าคงที่ R = 2 ให้กับค่าก่อนหน้า นั่นคือเหตุผลที่เราสามารถยืนยันได้ว่า S เป็นลำดับกำลังสอง

กฎทั่วไปสำหรับการสร้างลำดับกำลังสอง

มีสูตรทั่วไปในการสร้างลำดับกำลังสอง:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

ในสูตรนี้ T _nคือระยะที่ตำแหน่ง n ของลำดับ A, B และ C เป็นค่าคงที่ในขณะที่ n แตกต่างกันไปทีละรายการนั่นคือ 1, 2, 3, 4, …

ในลำดับ S ของตัวอย่างก่อนหน้า A = 1, B = 1 และ C = 0 จากนั้นสูตรที่สร้างเงื่อนไขทั้งหมดคือ: T _n = n ² + n

กล่าวคือ:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

ความแตกต่างระหว่างคำสองคำที่ต่อเนื่องกันของลำดับกำลังสอง

T _{n + 1} - T _n = -

การพัฒนาการแสดงออกผ่านผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่นยังคงอยู่:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

ด้วยการทำให้ง่ายขึ้นคุณจะได้รับ:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

นี่คือสูตรที่ให้ลำดับของความแตกต่าง S _Difที่สามารถเขียนได้ดังนี้:

Dif _n = A ∙ (2n + 1) + B

โดยที่ชัดเจนว่าเทอมหน้าคือ 2 ∙บางครั้งเทอมก่อนหน้า นั่นคืออัตราส่วนของลำดับความแตกต่าง S _diffคือ: R = 2 ∙ A

แก้ไขปัญหาของลำดับกำลังสอง

แบบฝึกหัด 1

ให้ลำดับ S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} พิจารณาว่า:

i) เป็นเรื่องปกติหรือไม่

ii) มันกำลังสองหรือไม่

iii) มันเป็นกำลังสองลำดับของความแตกต่างและอัตราส่วน

คำตอบ

i) ลองคำนวณความแตกต่างระหว่างเงื่อนไขต่อไปนี้และเงื่อนไขก่อนหน้า:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

เราสามารถยืนยันได้ว่าลำดับ S ไม่สม่ำเสมอเนื่องจากความแตกต่างระหว่างคำที่ต่อเนื่องกันไม่คงที่

ii) ลำดับของความแตกต่างเป็นปกติเนื่องจากความแตกต่างระหว่างเงื่อนไขคือค่าคงที่ 2 ดังนั้นลำดับดั้งเดิม S จึงเป็นกำลังสอง

iii) เราได้พิจารณาแล้วว่า S เป็นกำลังสองลำดับของความแตกต่างคือ:

S _dif = {2, 4, 6, 8, …} และอัตราส่วนคือ R = 2

แบบฝึกหัด 2

ให้ลำดับ S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} จากตัวอย่างก่อนหน้านี้ซึ่งได้รับการตรวจสอบแล้วว่าเป็นกำลังสอง กำหนด:

i) สูตรที่กำหนดเงื่อนไขทั่วไป T _n

ii) ตรวจสอบเงื่อนไขที่สามและห้า

iii) ค่าของเทอมที่สิบ

คำตอบ

i) สูตรทั่วไปของ T _nคือ A ∙ n ² + B ∙ n + C จากนั้นก็ยังคงทราบค่าของ A, B และ C

ลำดับของความแตกต่างมีอัตราส่วน 2 นอกจากนี้สำหรับลำดับกำลังสองใด ๆ อัตราส่วน R คือ 2 ∙ A ดังแสดงในส่วนก่อนหน้า

R = 2 ∙ A = 2 ซึ่งทำให้เราสรุปได้ว่า A = 1

ระยะแรกของลำดับความแตกต่าง S _Difคือ 2 และต้องเป็นไปตาม A ∙ (2n + 1) + B โดย n = 1 และ A = 1 นั่นคือ:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

การแก้ปัญหาสำหรับ B ที่เราได้รับ: B = -1

จากนั้นเทอมแรกของ S (n = 1) มีค่า 1 นั่นคือ: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C อย่างที่เราทราบกันดีอยู่แล้วว่า A = 1 และ B = -1 การแทนที่เรามี:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

การแก้ C เราได้ค่าของมัน: C = 1

สรุป:

A = 1, B = -1 และ C = 1

จากนั้นเทอมที่ n จะเป็น T _n = n ² - n + 1

ii) คำที่สาม T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 และได้รับการยืนยันแล้ว T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21 ที่ห้าซึ่งตรวจสอบแล้ว

iii) เทอมที่สิบจะเป็น T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91

แบบฝึกหัด 3

ลำดับของพื้นที่สำหรับการออกกำลังกาย 3. ที่มา: การทำอย่างละเอียดของตัวเอง

รูปแสดงลำดับของตัวเลขห้าตัว โครงตาข่ายแสดงถึงหน่วยความยาว

i) กำหนดลำดับสำหรับพื้นที่ของตัวเลข

ii) แสดงว่าเป็นลำดับกำลังสอง

iii) ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ # 10 (ไม่แสดง)

คำตอบ

i) ลำดับ S ที่สอดคล้องกับพื้นที่ของลำดับตัวเลขคือ:

S = {0, 2, 6, 12, 20,. . . . . }

ii) ลำดับที่สอดคล้องกับความแตกต่างอย่างต่อเนื่องของเงื่อนไขของ S คือ:

S _diff = {2, 4, 6, 8,. . . . . }

เนื่องจากความแตกต่างระหว่างคำที่ต่อเนื่องกันไม่คงที่ดังนั้น S จึงไม่ใช่ลำดับปกติ ยังคงทราบว่ามันเป็นกำลังสองหรือไม่ซึ่งเราทำลำดับความแตกต่างอีกครั้งโดยได้รับ:

{2, 2, 2, …….}

เนื่องจากเงื่อนไขทั้งหมดของลำดับซ้ำจึงได้รับการยืนยันว่า S เป็นลำดับกำลังสอง

iii) ลำดับ S _difเป็นปกติและอัตราส่วน R คือ 2 โดยใช้สมการที่แสดงด้านบน R = 2 ∙ A จะยังคงอยู่:

2 = 2 ∙ A ซึ่งหมายความว่า A = 1

เทอมที่สองของลำดับความแตกต่าง S _Difคือ 4 และเทอมที่ n ของ S _Difคือ

A ∙ (2n + 1) + B.

เทอมที่สองมี n = 2 นอกจากนี้ยังมีการกำหนดไว้แล้วว่า A = 1 ดังนั้นการใช้สมการก่อนหน้าและการแทนที่เราจึงมี:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

การแก้หา B เราได้: B = -1

เป็นที่ทราบกันดีว่าเทอมที่สองของ S มีค่า 2 และต้องเติมเต็มสูตรของคำทั่วไปด้วย n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; ก = 1; B = -1; T ₂ = 2

กล่าวคือ

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + ค

สรุปได้ว่า C = 0 กล่าวคือสูตรที่ให้เงื่อนไขทั่วไปของลำดับ S คือ:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

ตอนนี้ระยะที่ห้าได้รับการตรวจสอบแล้ว:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) รูปที่ # 10 ซึ่งยังไม่ได้วาดที่นี่จะมีพื้นที่ตรงกับระยะที่สิบของลำดับ S:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

อ้างอิง

1. https://www.geogebra.org