ระบบฐานแปด: ประวัติศาสตร์ระบบเลขการแปลง - เลข - 2025

ระบบฐานแปดเป็นฐานแปด (8) ระบบเลขตำแหน่ง; นั่นคือประกอบด้วยตัวเลขแปดหลักซึ่ง ได้แก่ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 ดังนั้นแต่ละหลักของเลขฐานแปดสามารถมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 7 พวกมันถูกสร้างขึ้นจากเลขฐานสอง

นี่เป็นเช่นนั้นเนื่องจากฐานของมันมีกำลังสอง (2) นั่นคือตัวเลขที่อยู่ในระบบฐานแปดจะเกิดขึ้นเมื่อรวมกลุ่มกันเป็นสามหลักติดต่อกันโดยเรียงลำดับจากขวาไปซ้ายจึงได้ค่าทศนิยม

ประวัติศาสตร์

ระบบฐานแปดมีต้นกำเนิดในสมัยโบราณเมื่อผู้คนใช้มือนับสัตว์ตั้งแต่แปดถึงแปดตัว

ตัวอย่างเช่นในการนับจำนวนวัวในคอกม้าคนหนึ่งเริ่มนับด้วยมือขวาโดยใช้นิ้วหัวแม่มือเข้ากับนิ้วก้อย จากนั้นในการนับสัตว์ตัวที่สองนิ้วหัวแม่มือจะเชื่อมต่อกับนิ้วชี้และนิ้วที่เหลือของแต่ละมือจนกว่าจะครบ 8

มีความเป็นไปได้ที่ในสมัยโบราณระบบเลขฐานแปดถูกนำมาใช้ก่อนทศนิยมเพื่อให้สามารถนับช่องว่างระหว่างดิจิทัลได้ นั่นคือนับนิ้วทั้งหมดยกเว้นนิ้วโป้ง

ต่อมาได้มีการสร้างระบบเลขฐานแปดซึ่งมีต้นกำเนิดมาจากระบบเลขฐานสองเนื่องจากต้องการตัวเลขจำนวนมากเพื่อแทนตัวเลขเพียงตัวเดียว จากนั้นระบบฐานแปดและหกเหลี่ยมถูกสร้างขึ้นซึ่งไม่จำเป็นต้องใช้ตัวเลขจำนวนมากและสามารถแปลงเป็นระบบไบนารีได้อย่างง่ายดาย

ระบบเลขฐานแปด

ระบบฐานแปดประกอบด้วยตัวเลขแปดหลักตั้งแต่ 0 ถึง 7 ซึ่งมีค่าเดียวกันกับในกรณีของระบบฐานสิบ แต่ค่าสัมพัทธ์จะเปลี่ยนไปตามตำแหน่งที่ครอบครอง ค่าของแต่ละตำแหน่งกำหนดโดยอำนาจของฐาน 8

ตำแหน่งของตัวเลขในเลขฐานแปดมีน้ำหนักดังต่อไปนี้:

8 ⁴ 8 ³ , 8 ² 8 ¹ 8 ⁰จุดฐานแปด 8 ^-1 , 8 ^-2 , 8 ^-3 , 8 ^-4 , 8 -5

เลขฐานแปดที่ใหญ่ที่สุดคือ 7 ดังนั้นเมื่อนับในระบบนี้ตำแหน่งของตัวเลขจะเพิ่มขึ้นจาก 0 ถึง 7 เมื่อถึง 7 มันจะถูกรีไซเคิลเป็น 0 สำหรับการนับครั้งต่อไป ด้วยวิธีนี้ตำแหน่งหลักถัดไปจะเพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่นในการนับลำดับในระบบฐานแปดจะเป็น:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10
• 53, 54, 55, 56, 57, 60
• 375, 376, 377, 400

มีทฤษฎีบทพื้นฐานที่ใช้กับระบบฐานแปดและแสดงในลักษณะต่อไปนี้:

ในนิพจน์นี้ di แสดงถึงตัวเลขที่คูณด้วยกำลังของฐาน 8 ซึ่งระบุค่าตำแหน่งของแต่ละหลักในลักษณะเดียวกับที่เรียงลำดับในระบบฐานสิบ

ตัวอย่างเช่นคุณมีเลข 543.2 เพื่อนำไปสู่ระบบฐานแปดจะแบ่งออกเป็นดังนี้:

N = ∑ = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0.125)

N = 320 +32 + 2 + 0.25 = 354 + 0.25 _ง

ดังนั้นเราจึงมี 543.2 _Q = 354.25 d ตัวห้อย q บ่งชี้ว่าเป็นเลขฐานแปดที่สามารถแทนด้วยเลข 8 ได้ และตัวห้อย d หมายถึงเลขฐานสิบซึ่งสามารถแทนได้ด้วยเลข 10

การแปลงจากระบบฐานแปดเป็นฐานสิบ

ในการแปลงตัวเลขจากระบบฐานแปดให้เทียบเท่าในระบบฐานสิบเพียงแค่คูณเลขฐานแปดแต่ละตัวด้วยค่าตำแหน่งเริ่มจากทางขวา

ตัวอย่าง 1

732 ₈ = (7 _* 8 ² ) + (3 _* 8 ¹ ) + (2 _* 8 ⁰ ) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

ตัวอย่าง 2

26.9 ₈ = (2 _* 8 ¹ ) + (6 _* 8 ⁰ ) + (9 _* 8 ^-1 ) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0.125)

26.9 ₈ = 16 + 6 + 1.125

26.9 ₈ = 23.125 ₁₀

การแปลงจากฐานสิบเป็นระบบฐานแปด

จำนวนเต็มทศนิยมสามารถแปลงเป็นเลขฐานแปดได้โดยใช้วิธีการหารซ้ำโดยที่จำนวนเต็มทศนิยมหารด้วย 8 จนกว่าผลหารจะเท่ากับ 0 และส่วนที่เหลือของแต่ละส่วนจะแทนเลขฐานแปด

ส่วนที่เหลือจะเรียงลำดับจากสุดท้ายไปก่อน นั่นคือส่วนที่เหลือแรกจะเป็นตัวเลขที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุดของเลขฐานแปด ด้วยวิธีนี้ตัวเลขที่สำคัญที่สุดจะเป็นส่วนที่เหลือสุดท้าย

ตัวอย่าง

เลขฐานสิบแปด 266 ₁₀

- หารทศนิยม 266 ด้วย 8 = 266/8 = 33 + ส่วนที่เหลือของ 2

- จากนั้นหาร 33 ด้วย 8 = 33/8 = 4 + ส่วนที่เหลือของ 1

- หาร 4 ด้วย 8 = 4/8 = 0 + ส่วนที่เหลือของ 4

เช่นเดียวกับการหารสุดท้ายจะได้ผลหารน้อยกว่า 1 หมายความว่าพบผลลัพธ์แล้ว คุณจะต้องเรียงลำดับส่วนที่เหลือให้ผกผันเท่านั้นเพื่อให้เลขฐานแปดของทศนิยม 266 คือ 412 ดังที่เห็นได้ในภาพต่อไปนี้:

การแปลงจากฐานแปดเป็นระบบไบนารี

การแปลงจากฐานแปดเป็นเลขฐานสองทำได้โดยการแปลงเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสองที่เทียบเท่าซึ่งประกอบด้วยตัวเลขสามหลัก มีตารางที่แสดงวิธีการแปลงตัวเลขแปดหลักที่เป็นไปได้:

จากการแปลงเหล่านี้ตัวเลขใด ๆ จากระบบฐานแปดเป็นไบนารีสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตัวอย่างเช่นในการแปลงหมายเลข 572 ₈เรามองหาค่าที่เทียบเท่าในตาราง ดังนั้นคุณต้อง:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

ดังนั้น 572 _{8 จึง}เทียบเท่าในระบบไบนารีกับ 10111110

การแปลงจากไบนารีเป็นฐานแปด

กระบวนการแปลงเลขฐานสองเป็นจำนวนเต็มฐานแปดเป็นการย้อนกลับของกระบวนการก่อนหน้านี้

นั่นคือบิตของเลขฐานสองถูกจัดกลุ่มออกเป็นสองกลุ่มสามบิตโดยเริ่มจากขวาไปซ้าย จากนั้นการแปลงจากไบนารีเป็นฐานแปดจะกระทำกับตารางด้านบน

ในบางกรณีเลขฐานสองจะไม่มีกลุ่ม 3 บิต เพื่อทำให้เสร็จสมบูรณ์จะมีการเพิ่มหนึ่งหรือสองศูนย์ทางด้านซ้ายของกลุ่มแรก

ตัวอย่างเช่นหากต้องการเปลี่ยนเลขฐานสอง 11010110 เป็นฐานแปดให้ทำดังต่อไปนี้:

- กลุ่ม 3 บิตถูกสร้างขึ้นโดยเริ่มจากทางขวา (บิตสุดท้าย):

11010110

- เนื่องจากกลุ่มแรกไม่สมบูรณ์จึงเพิ่มศูนย์นำหน้า:

011010110

- การแปลงทำจากตาราง:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

ดังนั้นเลขฐานสอง 011010110 เท่ากับ 326 8

การแปลงจากฐานแปดเป็นฐานสิบหกและในทางกลับกัน

ในการเปลี่ยนจากเลขฐานแปดเป็นระบบเลขฐานสิบหกหรือจากฐานสิบหกเป็นฐานแปดจำเป็นต้องแปลงตัวเลขเป็นเลขฐานสองก่อนจากนั้นจึงเปลี่ยนเป็นระบบที่ต้องการ

สำหรับสิ่งนี้มีตารางที่เลขฐานสิบหกแต่ละตัวแสดงด้วยค่าที่เท่ากันในระบบเลขฐานสองซึ่งประกอบด้วยตัวเลขสี่หลัก

ในบางกรณีเลขฐานสองจะไม่มีกลุ่ม 4 บิต เพื่อทำให้เสร็จสมบูรณ์จะมีการเพิ่มหนึ่งหรือสองศูนย์ทางด้านซ้ายของกลุ่มแรก

ตัวอย่าง

แปลงเลขฐานแปด 1646 เป็นเลขฐานสิบหก:

- แปลงตัวเลขจากฐานแปดเป็นไบนารี

1 ₈ = 1

6 ₈ = 110

4 ₈ = 100

6 ₈ = 110

- ดังนั้น 1646 ₈ = 1110100110

- ในการแปลงจากเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบหกอันดับแรกจะเรียงลำดับเป็นกลุ่ม 4 บิตโดยเริ่มจากขวาไปซ้าย:

11 1010 0110

- กลุ่มแรกเสร็จสมบูรณ์ด้วยศูนย์เพื่อให้มี 4 บิต:

0011 1010 0110

- การแปลงจากไบนารีเป็นฐานสิบหกเสร็จสิ้น การเทียบเท่าจะถูกแทนที่ด้วยตาราง:

0011 = 3

1010 = ก

0110 = 6

ดังนั้นเลขฐานแปด 1646 จึงเท่ากับ 3A6 ในระบบเลขฐานสิบหก

อ้างอิง

1. เบรสซาน AE (1995) ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับระบบเลข. มหาวิทยาลัยอาร์เจนตินาของ บริษัท
2. แฮร์ริสเจเอ็น (2500) ข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับระบบเลขฐานสองและเลขฐานแปด: Lexington, Mass. Armed Services Technical Information Agency
3. Kumar, AA (2559). พื้นฐานของวงจรดิจิทัล การเรียนรู้ Pvt.
4. Peris, XC (2009). ระบบปฏิบัติการเดี่ยว
5. Ronald J.Tocci, NS (2003). ระบบดิจิทัล: หลักการและการประยุกต์ใช้ การศึกษาของเพียร์สัน.