ขีด จำกัด ตรีโกณมิติคืออะไร? (แก้ไขแบบฝึกหัด) - เลข - 2026

ข้อ จำกัด เกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติข้อ จำกัด ของฟังก์ชั่นดังกล่าวว่าฟังก์ชั่นเหล่านี้จะเกิดขึ้นจากฟังก์ชันตรีโกณมิติ

มีคำจำกัดความสองคำที่ต้องทราบเพื่อให้เข้าใจวิธีการคำนวณขีด จำกัด ตรีโกณมิติ

คำจำกัดความเหล่านี้คือ:

- ขีด จำกัด ของฟังก์ชัน« f »เมื่อ« x »มีแนวโน้มที่« b »: ประกอบด้วยการคำนวณค่าที่ f (x) เข้าใกล้« x »เข้าใกล้« b »โดยไม่ถึง« b » »

- ฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ฟังก์ชันตรีโกณมิติคือฟังก์ชันไซน์โคไซน์และแทนเจนต์ซึ่งแสดงด้วย sin (x), cos (x) และ tan (x) ตามลำดับ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ ได้มาจากฟังก์ชันทั้งสามดังกล่าวข้างต้น

ขีด จำกัด ของฟังก์ชัน

เพื่อชี้แจงแนวคิดของขีด จำกัด ของฟังก์ชันเราจะดำเนินการต่อเพื่อแสดงตัวอย่างพร้อมฟังก์ชันง่ายๆ

- ขีด จำกัด ของ f (x) = 3 เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่ "8" เท่ากับ "3" เนื่องจากฟังก์ชันมีค่าคงที่เสมอ ไม่ว่า "x" จะมีค่าเท่าใดค่าของ f (x) จะเป็น "3" เสมอ

- ขีด จำกัด ของ f (x) = x-2 เมื่อ« x »มีแนวโน้มที่« 6 »คือ« 4 » ตั้งแต่เมื่อ "x" เข้าใกล้ "6" แล้ว "x-2" เข้าใกล้ "6-2 = 4"

- ขีด จำกัด ของ g (x) = x²เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่ "3" เท่ากับ 9 เนื่องจากเมื่อ "x" เข้าใกล้ "3" แล้ว "x²" เข้าใกล้ "3² = 9" .

ดังที่เห็นได้ในตัวอย่างก่อนหน้านี้การคำนวณขีด จำกัด ประกอบด้วยการประเมินค่าที่ "x" มีแนวโน้มในฟังก์ชันและผลลัพธ์จะเป็นค่าของขีด จำกัด แม้ว่าจะเป็นจริงสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องเท่านั้น

มีข้อ จำกัด ที่ซับซ้อนมากขึ้นหรือไม่?

คำตอบคือใช่ ตัวอย่างข้างต้นเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของขีด จำกัด ในหนังสือแคลคูลัสแบบฝึกหัดขีด จำกัด หลักคือแบบฝึกหัดที่สร้างความไม่แน่นอนของประเภท 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 และ (∞) ^ 0.

นิพจน์เหล่านี้เรียกว่า indeterminacies เนื่องจากเป็นนิพจน์ที่ไม่สมเหตุสมผลทางคณิตศาสตร์

นอกจากนี้ขึ้นอยู่กับฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องกับขีด จำกัด เดิมผลที่ได้รับเมื่อแก้ปัญหาความไม่แน่นอนอาจแตกต่างกันในแต่ละกรณี

ตัวอย่างของการ จำกัด ตรีโกณมิติอย่างง่าย

ในการแก้ไขข้อ จำกัด การทราบกราฟของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องจะมีประโยชน์มากเสมอ กราฟของฟังก์ชันไซน์โคไซน์และแทนเจนต์แสดงอยู่ด้านล่าง

ตัวอย่างบางส่วนของขีด จำกัด ตรีโกณมิติง่ายๆ ได้แก่ :

- คำนวณขีด จำกัด ของบาป (x) เมื่อ« x »มีแนวโน้มที่« 0 »

เมื่อดูกราฟจะเห็นได้ว่าถ้า "x" เข้าใกล้ "0" มากขึ้น (ทั้งจากซ้ายและขวา) กราฟไซน์จะเข้าใกล้ "0" มากขึ้นด้วย ดังนั้นขีด จำกัด ของ sin (x) เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่ "0" คือ "0"

- คำนวณขีด จำกัด ของ cos (x) เมื่อ« x »มีแนวโน้มที่« 0 »

การสังเกตกราฟของโคไซน์จะเห็นได้ว่าเมื่อ "x" ใกล้กับ "0" กราฟของโคไซน์จะใกล้เคียงกับ "1" นี่หมายความว่าขีด จำกัด ของ cos (x) เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่ "0" เท่ากับ "1"

ขีด จำกัด อาจมีอยู่ (เป็นตัวเลข) ดังตัวอย่างก่อนหน้านี้ แต่อาจเกิดขึ้นได้เช่นกันที่ไม่มีอยู่ดังที่แสดงในตัวอย่างต่อไปนี้

- ขีด จำกัด ของสีแทน (x) เมื่อ« x »มีแนวโน้มที่«Π / 2 »จากด้านซ้ายเท่ากับ« + ∞»ดังที่เห็นในกราฟ ในทางกลับกันขีด จำกัด ของ tan (x) เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่ "-Π / 2" จากทางขวาจะเท่ากับ "-∞"

ตรีโกณมิติขีด จำกัด เอกลักษณ์

ข้อมูลประจำตัวที่มีประโยชน์มากสองประการในการคำนวณขีด จำกัด ตรีโกณมิติคือ:

- ขีด จำกัด ของ« sin (x) / x »เมื่อ« x »มีแนวโน้มที่« 0 »เท่ากับ« 1 »

- ขีด จำกัด ของ« (1-cos (x)) / x »เมื่อ« x »มีแนวโน้มที่« 0 »เท่ากับ« 0 »

ข้อมูลประจำตัวเหล่านี้ถูกใช้บ่อยมากเมื่อคุณมีความไม่แน่ใจ

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

แก้ไขข้อ จำกัด ต่อไปนี้โดยใช้ข้อมูลประจำตัวที่อธิบายไว้ข้างต้น

- คำนวณขีด จำกัด ของ« f (x) = sin (3x) / x »เมื่อ« x »มีแนวโน้มที่« 0 »

ถ้าฟังก์ชัน "f" ได้รับการประเมินที่ "0" จะได้ค่าความไม่แน่นอนของประเภท 0/0 ดังนั้นเราต้องพยายามแก้ไขความไม่แน่นอนนี้โดยใช้ข้อมูลประจำตัวที่อธิบายไว้

ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวระหว่างขีด จำกัด นี้และข้อมูลประจำตัวคือตัวเลข 3 ที่ปรากฏภายในฟังก์ชันไซน์ ในการใช้ข้อมูลประจำตัวต้องเขียนฟังก์ชัน« f (x) »ใหม่ด้วยวิธีต่อไปนี้« 3 * (sin (3x) / 3x) » ตอนนี้ทั้งอาร์กิวเมนต์ไซน์และตัวส่วนเท่ากัน

ดังนั้นเมื่อ "x" มีแนวโน้มเป็น "0" การใช้ข้อมูลประจำตัวจะให้ "3 * 1 = 3" ดังนั้นขีด จำกัด ของ f (x) เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่ "0" จึงเท่ากับ "3"

- คำนวณขีด จำกัด ของ« g (x) = 1 / x - cos (x) / x »เมื่อ« x »มีแนวโน้มที่« 0 »

เมื่อแทนที่ "x = 0" ใน g (x) จะได้รับความไม่แน่นอนของประเภท∞-∞ ในการแก้ปัญหาเศษส่วนจะถูกลบออกก่อนซึ่งให้ผล "(1-cos (x)) / x"

ตอนนี้ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติตัวที่สองเรามีขีด จำกัด ของ g (x) เมื่อ« x »มีแนวโน้มที่« 0 »เท่ากับ 0

- คำนวณขีด จำกัด ของ« h (x) = 4tan (5x) / 5x »เมื่อ« x »มีแนวโน้มที่« 0 »

อีกครั้งถ้า h (x) ถูกประเมินที่ "0" จะได้รับความไม่แน่นอนของประเภท 0/0

เขียนใหม่เป็น (5x) เป็น sin (5x) / cos (5x) จะได้ผลลัพธ์ h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x))

โดยใช้ขีด จำกัด ของ 4 / cos (x) เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่ "0" เท่ากับ "4/1 = 4" และได้รับเอกลักษณ์ตรีโกณมิติตัวแรกว่าขีด จำกัด ของ h (x) เมื่อ "x" มีแนวโน้ม a "0" เท่ากับ "1 * 4 = 4"

การสังเกต

ขีด จำกัด ตรีโกณมิติไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะแก้เสมอไป แสดงเฉพาะตัวอย่างพื้นฐานในบทความนี้

อ้างอิง

1. Fleming, W. , & Varberg, DE (1989). คณิตศาสตร์ Precalculus Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. , & Varberg, DE (1989). คณิตศาสตร์ Precalculus: แนวทางการแก้ปัญหา (2, Illustrated ed.) มิชิแกน: Prentice Hall
3. Fleming, W. , & Varberg, D. (1991). พีชคณิตและตรีโกณมิติกับเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. การศึกษาของเพียร์สัน.
4. ลาร์สัน, อาร์. (2010). Precalculus (8 ed.) การเรียนรู้ Cengage
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). เรขาคณิตวิเคราะห์เครื่องบิน เมริดา - เวเนซุเอลา: กองบรรณาธิการ Venezolana CA
6. เปเรซ, ซีดี (2549). Precalculation การศึกษาของเพียร์สัน.
7. Purcell, EJ, Varberg, D. , & Rigdon, SE (2007) แคลคูลัส (Ninth ed.) ศิษย์ฮอลล์.
8. แสนซ, เจ. (2548). แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์พร้อมฟังก์ชันเหนือชั้นต้นสำหรับวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม (ฉบับที่สอง) ด้านของสามเหลี่ยม
9. สก็อตต์แคลิฟอร์เนีย (2552) เรขาคณิตเครื่องบินคาร์ทีเซียนส่วน: Conics เชิงวิเคราะห์ (1907) (พิมพ์ซ้ำ). แหล่งฟ้าผ่า
10. ซัลลิแวน, M. (1997). Precalculation การศึกษาของเพียร์สัน.