ตัวเลขที่ไม่ลงตัว: ประวัติคุณสมบัติการจำแนกตัวอย่าง - เลข - 2026

ตัวเลขไม่ลงตัวคือบรรดาผู้ที่แสดงออกมีตัวเลขทศนิยมที่ไม่มีที่สิ้นสุดโดยไม่ต้องมีรูปแบบการทำซ้ำจึงไม่สามารถ จะ ได้รับ จาก อัตราส่วนระหว่างสองจำนวนเต็ม

ในบรรดาจำนวนอตรรกยะที่รู้จักกันดี ได้แก่ :

รูปที่ 1. จากบนลงล่างตัวเลขที่ไม่ลงตัวต่อไปนี้: pi, หมายเลขของออยเลอร์, อัตราส่วนทองคำและรากที่สองสองตัว ที่มา: Pixabay

ในหมู่พวกเขาไม่ต้องสงสัยเลยว่าπ (pi) เป็นสิ่งที่คุ้นเคยมากที่สุด แต่ยังมีอีกมากมาย ทั้งหมดนี้อยู่ในเซตของจำนวนจริงซึ่งเป็นเซตตัวเลขที่รวมกลุ่มจำนวนที่เป็นเหตุเป็นผลและไม่ลงตัว

จุดไข่ปลาในรูปที่ 1 บ่งชี้ว่าทศนิยมยังคงดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนดสิ่งที่เกิดขึ้นคือช่องว่างของเครื่องคิดเลขธรรมดาอนุญาตให้แสดงเพียงไม่กี่ตัวเท่านั้น

หากเราพิจารณาอย่างรอบคอบเมื่อใดก็ตามที่เราสร้างผลหารระหว่างจำนวนเต็มสองจำนวนเราจะได้ทศนิยมที่มีตัวเลข จำกัด หรือถ้าไม่เป็นตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งซ้ำกันอย่างน้อยหนึ่งตัว สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นกับตัวเลขที่ไม่มีเหตุผล

ประวัติของตัวเลขที่ไม่ลงตัว

พีทาโกรัสนักคณิตศาสตร์โบราณผู้ยิ่งใหญ่เกิดเมื่อ 582 ปีก่อนคริสตกาลในซามอสประเทศกรีซก่อตั้งโรงเรียนแห่งความคิดของพีทาโกรัสและค้นพบทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงซึ่งมีชื่อของเขา เราวางไว้ที่นี่ทางซ้าย (ชาวบาบิโลนอาจรู้จักมานานแล้ว)

รูปที่ 2. ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้กับสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากับ 1 ที่มา: Pixabay / Wikimedia Commons

เมื่อ Pythagoras (หรืออาจเป็นสาวกของเขา) ใช้ทฤษฎีบทกับสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเท่ากับ 1 เขาพบว่าจำนวนอตรรกยะ√2

เขาทำแบบนี้:

ค = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

และเขาก็รู้ทันทีว่าจำนวนใหม่นี้ไม่ได้มาจากผลหารระหว่างจำนวนธรรมชาติอีกสองตัวซึ่งเป็นจำนวนที่รู้กันในเวลานั้น

ดังนั้นเขาจึงเรียกมันว่าไร้เหตุผลและการค้นพบนี้ทำให้เกิดความวิตกกังวลและความสับสนในหมู่ชาวพีทาโกรัส

คุณสมบัติของจำนวนอตรรกยะ

-The ชุดของตัวเลขไม่ลงตัวทั้งหมดจะถูกแสดงด้วยตัวอักษร I และบางครั้งเป็น Q * หรือ Q C การรวมกันระหว่างจำนวนอตรรกยะ I หรือ Q * และจำนวนตรรกยะ Q ก่อให้เกิดเซตของจำนวนจริง R

- ด้วยจำนวนอตรรกยะการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักสามารถทำได้: การบวกการลบการคูณการหารการเสริมพลังและอื่น ๆ

- การหารด้วย 0 ไม่ได้กำหนดไว้ระหว่างจำนวนอตรรกยะอย่างใดอย่างหนึ่ง

- ผลรวมและผลคูณระหว่างจำนวนอตรรกยะไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนอตรรกยะอื่น ตัวอย่างเช่น:

√2 x √8 = √16 = 4

และ 4 ไม่ใช่จำนวนอตรรกยะ

- อย่างไรก็ตามผลรวมของจำนวนตรรกยะบวกกับจำนวนอตรรกยะจะให้ผลลัพธ์ที่ไม่ลงตัว ทางนี้:

1 + √2 = 2.41421356237 …

- ผลคูณของจำนวนตรรกยะที่แตกต่างจาก 0 โดยจำนวนอตรรกยะก็ไม่ลงตัวเช่นกัน ลองดูตัวอย่างนี้:

2 x √2 = 2.828427125 …

- การผกผันของผลลัพธ์ที่ไม่ลงตัวในจำนวนที่ไม่ลงตัวอื่น ลองดูบ้าง:

1 / √2 = 0.707106781 …

1 / √3 = 0.577350269 …

ตัวเลขเหล่านี้น่าสนใจเนื่องจากเป็นค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมที่ทราบด้วย อัตราส่วนตรีโกณมิติส่วนใหญ่เป็นจำนวนอตรรกยะ แต่มีข้อยกเว้นเช่น sin 30º = 0.5 = ½ซึ่งเป็นค่าเหตุผล

- ในผลรวมคุณสมบัติการสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยงจะเป็นจริง หาก a และ b เป็นจำนวนอตรรกยะสองจำนวนหมายความว่า:

a + b = b + ก.

และถ้า c เป็นจำนวนอตรรกยะอื่นแล้ว:

(a + b) + c = a + (b + c)

- คุณสมบัติการกระจายของการคูณเมื่อเทียบกับการบวกเป็นคุณสมบัติที่รู้จักกันดีอีกอย่างหนึ่งซึ่งเป็นจริงสำหรับจำนวนอตรรกยะ ในกรณีนี้:

ก. (b + c) = ab + ac

- a ไม่มีเหตุผลตรงกันข้าม: -a. เมื่อรวมเข้าด้วยกันผลลัพธ์จะเป็น 0:

a + (- ก) = 0

- ระหว่างสองเหตุผลที่แตกต่างกันมีจำนวนอตรรกยะอย่างน้อยหนึ่งจำนวน

ตำแหน่งของจำนวนอตรรกยะบนเส้นจริง

เส้นจริงคือเส้นแนวนอนที่มีจำนวนจริงตั้งอยู่ซึ่งจำนวนอตรรกยะเป็นส่วนสำคัญ

ในการหาจำนวนอตรรกยะบนเส้นจริงในรูปแบบเรขาคณิตเราสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสไม้บรรทัดและเข็มทิศ

ตัวอย่างเช่นเราจะหาตำแหน่ง√5บนเส้นจริงซึ่งเราวาดสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมีด้าน x = 2 และ y = 1 ดังแสดงในรูป:

รูปที่ 3. วิธีค้นหาจำนวนอตรรกยะบนเส้นจริง ที่มา: F. Zapata

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมดังกล่าวคือ:

ค = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

ตอนนี้เข็มทิศถูกวางโดยมีจุดที่ 0 ซึ่งหนึ่งในจุดยอดของสามเหลี่ยมมุมฉากก็เช่นกัน จุดของดินสอเข็มทิศควรอยู่ที่จุดยอด A

มีการวาดส่วนโค้งของเส้นรอบวงที่ตัดกับเส้นจริง เนื่องจากระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของเส้นรอบวงกับจุดใด ๆ บนนั้นคือรัศมีซึ่งเท่ากับ√5จุดตัดจึงอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางมากถึง 5

จากกราฟจะเห็นได้ว่า√5อยู่ระหว่าง 2 ถึง 2.5 เครื่องคิดเลขให้ค่าโดยประมาณแก่เรา:

√5 = 2.236068

ดังนั้นโดยการสร้างสามเหลี่ยมที่มีด้านที่เหมาะสมจะสามารถระบุตำแหน่งที่ไม่ลงตัวอื่น ๆ ได้เช่น√7และอื่น ๆ

การจำแนกจำนวนอตรรกยะ

ตัวเลขที่ไม่ลงตัวแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม:

- พีชคณิต

-Transcendental หรือยอดเยี่ยม

เลขพีชคณิต

เลขพีชคณิตซึ่งอาจเป็นหรือไม่มีเหตุผลเป็นคำตอบของสมการพหุนามที่มีรูปแบบทั่วไปคือ:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 + …. + a ₁ x + a _o = 0

ตัวอย่างของสมการพหุนามคือสมการกำลังสองดังนี้:

x ³ - 2x = 0

เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงว่าจำนวนอตรรกยะ√2เป็นหนึ่งในคำตอบของสมการนี้

เลขเหนือ

ในทางกลับกันจำนวนที่เหนือกว่าแม้ว่าจะไม่มีเหตุผล แต่ก็ไม่เคยเกิดขึ้นเพื่อเป็นคำตอบสำหรับสมการพหุนาม

ตัวเลขยอดเยี่ยมที่พบบ่อยที่สุดในคณิตศาสตร์ประยุกต์คือπเนื่องจากความสัมพันธ์กับเส้นรอบวงและจำนวน e หรือจำนวนของออยเลอร์ซึ่งเป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ

การออกกำลังกาย

สี่เหลี่ยมสีเทาวางอยู่บนสี่เหลี่ยมสีดำในตำแหน่งที่ระบุไว้ในรูป พื้นที่ของสี่เหลี่ยมสีดำเป็นที่รู้จักกันเป็น 64 ซม. 2 ความยาวของสี่เหลี่ยมทั้งสองเท่าไหร่?

รูปที่ 4. สี่เหลี่ยมสองอันที่เราต้องการหาความยาวของด้านข้าง ที่มา: F. Zapata

ตอบ

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน L คือ:

A = L ²

เนื่องจากสี่เหลี่ยมสีดำมีพื้นที่ 64 ซม. ²ด้านจึงต้องมีขนาด 8 ซม.

การวัดนี้เหมือนกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมสีเทา ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับเส้นทแยงมุมนี้และจำไว้ว่าด้านข้างของตารางวัดเท่ากันเราจะมี:

8 ² = L _ก² + L _ก²

โดย L _gคือด้านข้างของสี่เหลี่ยมสีเทา

ดังนั้น: 2L _g ² = 8 ²

การใช้รากที่สองกับทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน:

L _g = (8 / √2) ซม

อ้างอิง

1. Carena, M. 2019. คู่มือคณิตศาสตร์เตรียมเข้ามหาวิทยาลัย. มหาวิทยาลัยแห่งชาติ Litoral
2. Figuera, J. 2000. คณิตศาสตร์ 9. ระดับ. รุ่น CO-BO
3. Jiménez, R. 2008. พีชคณิต. ศิษย์ฮอลล์.
4. พอร์ทัลการศึกษา ตัวเลขที่ไม่ลงตัวและคุณสมบัติ สืบค้นจาก: portaleducativo.net.
5. Wikipedia ตัวเลขไม่ลงตัว สืบค้นจาก: es.wikipedia.org.