จำนวนจินตภาพ: คุณสมบัติการใช้งานตัวอย่าง - เลข - 2025

หมายเลขจินตนาการเป็นคนที่แก้สมการที่ไม่รู้จักการยกระดับไปที่ตารางมีค่าเท่ากับจำนวนจริงเชิงลบ หน่วยจินตภาพคือ i = √ (-1)

ในสมการ: z ² = - a, z คือจำนวนจินตภาพที่แสดงดังนี้:

z = √ (-a) = i√ (ก)

เป็นจำนวนจริงบวก ถ้า a = 1 แล้ว z = i โดยที่ i คือหน่วยจินตภาพ

รูปที่ 1. ระนาบเชิงซ้อนแสดงจำนวนจริงจำนวนจินตภาพและจำนวนเชิงซ้อน ที่มา: F. Zapata

โดยทั่วไปจำนวนจินตภาพบริสุทธิ์ z จะแสดงในรูปแบบเสมอ:

z = y⋅i

โดยที่ y คือจำนวนจริงและฉันคือหน่วยจินตภาพ

เช่นเดียวกับจำนวนจริงที่แสดงบนเส้นที่เรียกว่าเส้นจริงในลักษณะเดียวกันกับจำนวนจินตภาพที่แสดงบนเส้นสมมุติ

เส้นจินตภาพเป็นเส้นตรง (รูปร่าง90º) เสมอกับเส้นจริงและทั้งสองเส้นกำหนดระนาบคาร์ทีเซียนเรียกว่าระนาบเชิงซ้อน

ในรูปที่ 1 ระนาบเชิงซ้อนจะแสดงและบนนั้นเป็นจำนวนจริงจำนวนจินตภาพและจำนวนเชิงซ้อนบางส่วนจะแสดงด้วย:

X ₁ , X ₂ , X ₃เป็นจำนวนจริง

Y ₁ , Y ₂ , Y ₃คือจำนวนจินตภาพ

Z ₂และ Z ₃เป็นจำนวนเชิงซ้อน

จำนวน O คือศูนย์จริงและยังเป็นศูนย์จินตภาพด้วยดังนั้นจุดกำเนิด O จึงเป็นศูนย์เชิงซ้อนที่แสดงโดย:

0 + 0i

คุณสมบัติ

ชุดของจำนวนจินตภาพแสดงโดย:

ฉัน = {……, -3i, …, -2i, …., - ฉัน, …., 0i, …., ฉัน, …., 2i, …., 3i, ……}

และคุณสามารถกำหนดการดำเนินการบางอย่างกับชุดตัวเลขนี้ได้ จำนวนจินตภาพไม่สามารถหาได้จากการดำเนินการเหล่านี้เสมอไปลองดูรายละเอียดเพิ่มเติมเล็กน้อย:

บวกและลบจินตภาพ

จำนวนจินตภาพสามารถบวกและลบออกจากกันทำให้เกิดจำนวนจินตภาพใหม่ ตัวอย่างเช่น:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

ผลิตผลแห่งจินตนาการ

เมื่อสร้างผลคูณของจำนวนจินตภาพหนึ่งกับอีกจำนวนหนึ่งผลลัพธ์จะเป็นจำนวนจริง ลองดำเนินการต่อไปนี้เพื่อตรวจสอบ:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6

และอย่างที่เราเห็น -6 เป็นจำนวนจริงแม้ว่าจะได้มาจากการคูณจำนวนจินตภาพจริงสองตัว

ผลคูณของจำนวนจริงโดยจินตภาพอื่น

หากจำนวนจริงคูณด้วย i ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนจินตภาพซึ่งสอดคล้องกับการหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90 องศา

และก็คือว่า i ²สอดคล้องกับการหมุน 90 องศาสองครั้งติดต่อกันซึ่งเทียบเท่ากับการคูณด้วย -1 นั่นคือ i ² = -1 สามารถดูได้ในแผนภาพต่อไปนี้:

รูปที่ 2. การคูณด้วยหน่วยจินตภาพ i สอดคล้องกับการหมุนทวนเข็มนาฬิกา90º ที่มา: wikimedia commons.

ตัวอย่างเช่น:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

การเพิ่มขีดความสามารถของจินตนาการ

คุณสามารถกำหนดศักยภาพของจำนวนจินตภาพเป็นเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม:

ฉัน¹ = i

ผม² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

ผม³ = ixi ² = -i

ผม⁴ = ผม² xi ² = -1 x -1 = 1

ผม⁵ = ixi ⁴ = i

โดยทั่วไปเรามี i ⁿ = i ^ (n mod 4) โดยที่ mod คือส่วนที่เหลือของการหารระหว่าง n และ 4

การเพิ่มศักยภาพจำนวนเต็มลบสามารถทำได้:

ฉัน^-1 = 1 / ฉัน¹ = ฉัน / (ixi ¹ ) = ฉัน / (ฉัน² ) = ฉัน / (-1) = -i

ผม - ² = 1 / ผม² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

โดยทั่วไปจำนวนจินตภาพb⋅iยกกำลัง n คือ:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

ตัวอย่างบางส่วนมีดังต่อไปนี้:

(5 ฉัน) ¹² = 5 ¹²ฉัน¹² = 5 ¹²ฉัน⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 ฉัน) ¹¹ = 5 ¹¹ฉัน¹¹ = 5 ¹¹ฉัน³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 ฉัน

(-2 ฉัน) ¹⁰ = -2 ¹⁰ฉัน¹⁰ = 2 ¹⁰ฉัน² = 1024 x (-1) = -1024

ผลรวมของจำนวนจริงและจำนวนจินตภาพ

เมื่อคุณเพิ่มจำนวนจริงด้วยจำนวนจินตภาพผลลัพธ์จะไม่ใช่จำนวนจริงหรือในจินตนาการ แต่เป็นจำนวนประเภทใหม่ที่เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน

ตัวอย่างเช่นถ้า X = 3.5 และ Y = 3.75i ​​ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน:

Z = X + Y = 3.5 + 3.75 i

โปรดสังเกตว่าส่วนจริงและส่วนจินตภาพไม่สามารถจัดกลุ่มในผลรวมได้ดังนั้นจำนวนเชิงซ้อนจะมีส่วนจริงและส่วนจินตภาพเสมอ

การดำเนินการนี้ขยายชุดของจำนวนจริงให้กว้างที่สุดของจำนวนเชิงซ้อน

การประยุกต์ใช้งาน

ชื่อของตัวเลขจินตภาพถูกเสนอโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสRené Descartes (1596-1650) เพื่อเป็นการล้อเลียนหรือไม่เห็นด้วยกับข้อเสนอของนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีในศตวรรษที่ Raffaelle Bombelli

นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คนอื่น ๆ เช่นออยเลอร์และไลบ์นิซสนับสนุนเดส์การ์ตส์ในความไม่ลงรอยกันนี้และเรียกจำนวนจินตภาพว่าเลขสะเทินน้ำสะเทินบกซึ่งขาดระหว่างความเป็นและความว่างเปล่า

ชื่อของจำนวนจินตภาพยังคงอยู่ในปัจจุบัน แต่การมีอยู่และความสำคัญของพวกมันนั้นมีอยู่จริงและชัดเจนมากเนื่องจากพวกมันปรากฏตามธรรมชาติในฟิสิกส์หลายสาขาเช่น:

- ทฤษฎีสัมพัทธภาพ

- ในแม่เหล็กไฟฟ้า

กลศาสตร์ -Quantum

แบบฝึกหัดที่มีจำนวนจินตภาพ

- แบบฝึกหัด 1

ค้นหาคำตอบของสมการต่อไปนี้:

z ² + 16 = 0

สารละลาย

z ² = -16

การหารากที่สองในสมาชิกทั้งสองเรามี:

√ (z ² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

กล่าวอีกนัยหนึ่งคำตอบของสมการดั้งเดิมคือ:

z = + 4i ออนซ์ = -4i

- แบบฝึกหัด 2

จงหาผลลัพธ์ของการยกหน่วยจินตภาพเป็นยกกำลัง 5 ลบการลบของหน่วยจินตภาพที่ยกกำลัง -5

สารละลาย

ฉัน⁵ - ฉัน - ⁵ = ฉัน⁵ - 1 / ฉัน⁵ = ฉัน - 1 / ฉัน = ฉัน - (ฉัน) / (ixi) = ฉัน - ฉัน / (- 1) = ฉัน + ฉัน = 2i

- แบบฝึกหัด 3

ค้นหาผลลัพธ์ของการดำเนินการต่อไปนี้:

(3i) ³ + 9i

สารละลาย

3 ³ฉัน³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- แบบฝึกหัด 4

ค้นหาคำตอบของสมการกำลังสองต่อไปนี้:

(-2x) ² + 2 = 0

สารละลาย

สมการถูกจัดเรียงใหม่ดังนี้:

(-2x) ² = -2

จากนั้นรากที่สองของสมาชิกทั้งสองจะถูกนำมา

√ ((- 2x) ² ) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2ฉัน

จากนั้นเราแก้ปัญหาสำหรับ x เพื่อให้ได้มาในที่สุด:

x = ±√2 / 2 ผม

นั่นคือมีสองวิธีที่เป็นไปได้:

x = (√2 / 2) i

หรืออื่น ๆ :

x = - (√2 / 2) i

- แบบฝึกหัด 5

ค้นหาค่าของ Z ที่กำหนดโดย:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

สารละลาย

เรารู้ว่ารากที่สองของจำนวนจริงติดลบเป็นจำนวนจินตภาพเช่น√ (-9) เท่ากับ√ (9) x √ (-1) = 3i

ในทางกลับกัน√ (-4) เท่ากับ√ (4) x √ (-1) = 2i

ดังนั้นจึงสามารถแทนที่สมการเดิมได้โดย:

3i x 2i - 7 = 6 ฉัน² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- แบบฝึกหัด 6

ค้นหาค่าของ Z ที่เกิดจากการหารจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนต่อไปนี้:

Z = (9 - ผม² ) / (3 + i)

สารละลาย

ตัวเศษของนิพจน์สามารถแยกตัวประกอบได้โดยใช้คุณสมบัติต่อไปนี้:

ดังนั้น:

Z = / (3 + ฉัน)

นิพจน์ผลลัพธ์ถูกทำให้เรียบง่ายด้านล่างโดยปล่อยให้

Z = (3 - ผม)

อ้างอิง

1. Earl, R. จำนวนเชิงซ้อน ดึงมาจาก: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Mathematics 1st. หลากหลาย รุ่น CO-BO
3. Hoffmann, J. 2005. การเลือกหัวข้อคณิตศาสตร์. สิ่งพิมพ์ Monfort
4. Jiménez, R. 2008. พีชคณิต. ศิษย์ฮอลล์.
5. วิกิพีเดีย จำนวนจินตภาพ สืบค้นจาก: en.wikipedia.org