จำนวนเชิงซ้อน: คุณสมบัติตัวอย่างการดำเนินการ - เลข - 2025

ตัวเลขที่ซับซ้อนเป็นชุดตัวเลขครอบคลุมตัวเลขจริงและรากทั้งหมดของพหุนามรวมทั้งคู่รากของตัวเลขที่ติดลบ รากเหล่านี้ไม่มีอยู่ในเซตของจำนวนจริง แต่ในจำนวนเชิงซ้อนมีคำตอบ

จำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยส่วนจริงและส่วนที่เรียกว่า "จินตภาพ" ส่วนจริงเรียกว่า a เช่นและส่วนจินตภาพ ib โดยมี a และ b จำนวนจริงและ "i" เป็นหน่วยจินตภาพ ด้วยวิธีนี้จำนวนเชิงซ้อนจะอยู่ในรูปแบบ:

รูปที่ 1 - การแสดงทวินามของจำนวนเชิงซ้อนในรูปของส่วนจริงและส่วนจินตภาพ ที่มา: Pixabay

ตัวอย่างของจำนวนเชิงซ้อนคือ 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i แต่ก่อนที่จะดำเนินการกับพวกเขาเรามาดูกันว่าหน่วยจินตภาพฉันมาจากไหนโดยพิจารณาจากสมการกำลังสองนี้:

x ² - 10x + 34 = 0

ซึ่ง a = 1, b = -10 และ c = 34

เมื่อใช้สูตรการแก้ไขเพื่อกำหนดวิธีแก้ปัญหาเราจะพบสิ่งต่อไปนี้:

จะกำหนดค่าของ√-36 ได้อย่างไร? ไม่มีจำนวนจริงที่กำลังสองทำให้เกิดปริมาณลบ จากนั้นจึงสรุปได้ว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบที่แท้จริง

อย่างไรก็ตามเราสามารถเขียนสิ่งนี้:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

หากเรากำหนดค่า x บางค่าเช่น:

x ² = -1

ดังนั้น:

x = ±√-1

และสมการข้างบนจะมีคำตอบ ดังนั้นหน่วยจินตภาพจึงถูกกำหนดให้เป็น:

ผม = √-1

ดังนั้น:

√-36 = 6i

นักคณิตศาสตร์ในสมัยโบราณหลายคนทำงานเพื่อแก้ปัญหาที่คล้ายคลึงกันโดยเฉพาะอย่างยิ่งยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) และ Raffaele Bombelli (1526-1572)

หลายปีต่อมาRené Descartes (1596-1650) เรียกปริมาณ "จินตภาพ" เช่น√-36 ในตัวอย่าง ด้วยเหตุนี้√-1 จึงเรียกว่าหน่วยจินตภาพ

คุณสมบัติของจำนวนเชิงซ้อน

- ชุดของจำนวนเชิงซ้อนแสดงเป็น C และรวมจำนวนจริง R และจำนวนจินตภาพ Im ชุดตัวเลขจะแสดงในแผนภาพเวนน์ดังแสดงในรูปต่อไปนี้:

รูปที่ 2. แผนภาพเวนน์ของชุดตัวเลข ที่มา: F. Zapata

- จำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดประกอบด้วยส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

- เมื่อส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนเป็น 0 จะเป็นจำนวนจริงที่บริสุทธิ์

- ถ้าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อนคือ 0 จำนวนนั้นจะเป็นจินตภาพที่แท้จริง

- จำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนเท่ากันถ้าส่วนจริงและส่วนจินตภาพเหมือนกัน

- ด้วยจำนวนเชิงซ้อนการดำเนินการที่เป็นที่รู้จักของการบวกการลบการคูณผลคูณและการเพิ่มประสิทธิภาพจะดำเนินการทำให้เกิดจำนวนเชิงซ้อนอื่น

การแทนจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงได้หลายวิธี นี่คือตัวเลือกหลัก:

- รูปแบบทวินาม

มันเป็นรูปแบบที่กำหนดไว้ตอนต้นโดยที่ z คือจำนวนเชิงซ้อน a คือส่วนจริง b คือส่วนจินตภาพและฉันคือหน่วยจินตภาพ:

หรือยัง:

วิธีหนึ่งในการสร้างกราฟจำนวนเชิงซ้อนคือการใช้ระนาบเชิงซ้อนที่แสดงในรูปนี้ แกนจินตภาพ Im เป็นแนวตั้งในขณะที่แกนจริงเป็นแนวนอนและแสดงเป็น Re

จำนวนเชิงซ้อน z จะแสดงในระนาบนี้เป็นจุดพิกัด (x, y) หรือ (a, b) เช่นเดียวกับจุดของระนาบจริง

ระยะห่างจากจุดกำเนิดถึงจุด z คือโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งแสดงเป็น r ในขณะที่φคือมุมที่ r ทำกับแกนจริง

รูปที่ 3. การแทนจำนวนเชิงซ้อนในระนาบเชิงซ้อน ที่มา: Wikimedia Commons

การแสดงนี้เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับเวกเตอร์ในระนาบจริง ค่าของ r สอดคล้องกับโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน

- รูปทรงขั้ว

รูปเชิงขั้วประกอบด้วยการแสดงจำนวนเชิงซ้อนโดยให้ค่า r และของφ ถ้าเราดูรูปค่าของ r จะตรงกับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก ขามีค่า a และ b หรือ x และ y

จากรูปแบบทวินามหรือทวินามเราสามารถย้ายไปยังรูปแบบเชิงขั้วได้โดย:

มุมφคือมุมที่เกิดจากส่วน r กับแกนนอนหรือแกนจินตภาพ เรียกว่าอาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อน ทางนี้:

อาร์กิวเมนต์มีค่าไม่สิ้นสุดโดยคำนึงว่าทุกครั้งที่มีการเลี้ยวซึ่งมีค่า2πเรเดียน r จะอยู่ในตำแหน่งเดิมอีกครั้ง โดยทั่วไปอาร์กิวเมนต์ของ z ซึ่งแสดงถึง Arg (z) จะแสดงในลักษณะนี้:

โดยที่ k เป็นจำนวนเต็มและใช้เพื่อระบุจำนวนรอบที่หมุน: 2, 3, 4 …. เครื่องหมายระบุทิศทางของการหมุนหากเป็นตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา

รูปที่ 4. การแทนขั้วของจำนวนเชิงซ้อนในระนาบเชิงซ้อน ที่มา: Wikimedia Commons

และถ้าเราต้องการเปลี่ยนจากรูปเชิงขั้วไปเป็นรูปทวินามเราใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติ จากรูปก่อนหน้านี้เราจะเห็นว่า:

x = r cos φ

y = r บาปφ

ด้วยวิธีนี้ z = r (cos φ + i sin φ)

ซึ่งย่อดังนี้:

z = r cis φ

ตัวอย่างของจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้จะได้รับในรูปแบบทวินาม:

ก) 3 + i

ข) 4

ง) -6i

และในรูปแบบของคู่สั่งซื้อ:

ก) (-5, -3)

ข) (0, 9)

ค) (7.0)

สุดท้ายกลุ่มนี้จะได้รับในรูปแบบเชิงขั้วหรือตรีโกณมิติ:

ก) √2 cis 45º

ข) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

สิ่งที่พวกเขาสำหรับ?

ประโยชน์ของจำนวนเชิงซ้อนนั้นนอกเหนือไปจากการแก้สมการกำลังสองที่แสดงไว้ตอนต้นเนื่องจากมีความจำเป็นในสาขาวิศวกรรมและฟิสิกส์โดยเฉพาะใน:

- การศึกษาคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า

- การวิเคราะห์กระแสสลับและแรงดันไฟฟ้า

- การสร้างแบบจำลองของสัญญาณทุกชนิด

- ทฤษฎีสัมพัทธภาพโดยที่เวลาถือว่าเป็นขนาดจินตภาพ

การดำเนินการจำนวนเชิงซ้อน

ด้วยจำนวนเชิงซ้อนเราสามารถดำเนินการทั้งหมดที่ทำกับของจริงได้ บางอย่างทำได้ง่ายกว่าถ้าตัวเลขมาในรูปแบบทวินามเช่นการบวกและการลบ ในทางตรงกันข้ามการคูณและการหารจะง่ายกว่าหากใช้รูปแบบเชิงขั้ว

มาดูตัวอย่างกัน:

- ตัวอย่าง 1

เพิ่ม z ₁ = 2 + 5i และ z ₂ = -3 -8i

สารละลาย

ชิ้นส่วนจริงถูกเพิ่มแยกต่างหากจากส่วนจินตภาพ:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- ตัวอย่าง 2

คูณ z ₁ = 4 cis 45ºและ z ₂ = 5 cis 120º

สารละลาย

สามารถแสดงให้เห็นว่าผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนในรูปเชิงขั้วหรือตรีโกณมิติถูกกำหนดโดย:

z ₁ . z ₂ = r ₁ .r ₂ซิส (φ ₁ + φ ₂ )

ตามนี้:

z ₁ . z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 ซิส165º

ใบสมัคร

การประยุกต์ใช้จำนวนเชิงซ้อนง่ายๆคือการหารากของสมการพหุนามทั้งหมดเช่นเดียวกับที่แสดงไว้ตอนต้นของบทความ

ในกรณีของสมการ x ² - 10x + 34 = 0 ให้ใช้สูตรการแก้ปัญหาที่เราได้รับ:

ดังนั้นแนวทางแก้ไขคือ:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

อ้างอิง

1. Earl, R. จำนวนเชิงซ้อน ดึงมาจาก: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Mathematics 1st. หลากหลาย รุ่น CO-BO
3. Hoffmann, J. 2005. การเลือกหัวข้อคณิตศาสตร์. สิ่งพิมพ์ Monfort
4. Jiménez, R. 2008. พีชคณิต. ศิษย์ฮอลล์.
5. วิกิพีเดีย จำนวนเชิงซ้อน สืบค้นจาก: en.wikipedia.org