วิธี GAUSS-SEIDEL: คำอธิบายการใช้งานตัวอย่าง - เลข - 2025

วิธีเกาส์ - ไซเดลเป็นขั้นตอนซ้ำ ๆ ในการค้นหาคำตอบโดยประมาณสำหรับระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นด้วยความแม่นยำที่เลือกโดยพลการ วิธีนี้ถูกนำไปใช้กับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่มีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ในแนวทแยงมุมและรับประกันการลู่เข้าหากเมทริกซ์มีความโดดเด่นในแนวทแยงมุม

สร้างขึ้นโดย Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ซึ่งให้การสาธิตส่วนตัวแก่นักเรียนคนหนึ่งของเขาในปีพ. ศ. 2366 ต่อมาได้รับการตีพิมพ์อย่างเป็นทางการโดย Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896) ในปีพ. ศ. ของนักคณิตศาสตร์ทั้งสอง

รูปที่ 1. เมธอด Gauss-Seidel มาบรรจบกันอย่างรวดเร็วเพื่อให้ได้คำตอบของระบบสมการ ที่มา: F. Zapata

เพื่อความเข้าใจที่สมบูรณ์เกี่ยวกับวิธีการนี้จำเป็นต้องทราบว่าเมทริกซ์มีความโดดเด่นในแนวทแยงมุมเมื่อค่าสัมบูรณ์ขององค์ประกอบเส้นทแยงมุมของแต่ละแถวมากกว่าหรือเท่ากับผลรวมของค่าสัมบูรณ์ขององค์ประกอบอื่น ๆ ของแถวเดียวกันนั้น

ในทางคณิตศาสตร์จะแสดงออกเช่นนี้:

คำอธิบายโดยใช้กรณีง่ายๆ

เพื่อแสดงให้เห็นว่าเมธอด Gauss-Seidel ประกอบด้วยอะไรบ้างเราจะใช้กรณีง่ายๆซึ่งค่าของ X และ Y สามารถพบได้ในระบบ 2 × 2 ของสมการเชิงเส้นที่แสดงด้านล่าง:

5X + 2Y = 1

X - 4Y = 0

ขั้นตอนในการปฏิบัติตาม

1- อันดับแรกจำเป็นต้องตรวจสอบว่าคอนเวอร์เจนซ์ปลอดภัยหรือไม่ เป็นที่สังเกตได้ทันทีว่ามีผลบังคับใช้เป็นระบบที่โดดเด่นในแนวทแยงมุมเนื่องจากในแถวแรกสัมประสิทธิ์แรกมีค่าสัมบูรณ์สูงกว่าระบบอื่น ๆ ในแถวแรก:

-5 -> - 2-

ในทำนองเดียวกันค่าสัมประสิทธิ์ที่สองในแถวที่สองก็โดดเด่นในแนวทแยงมุมเช่นกัน:

--4 -> - 1-

2- ตัวแปร X และ Y ถูกล้าง:

X = (1 - 2Y) / 5

Y = X / 4

3- วางค่าเริ่มต้นโดยพลการเรียกว่า "seed": Xo = 1, I = 2

4- การวนซ้ำเริ่มต้น: เพื่อให้ได้ค่าประมาณแรก X1, Y1 เมล็ดจะถูกแทนที่ในสมการแรกของขั้นตอนที่ 2 และผลลัพธ์ในสมการที่สองของขั้นตอนที่ 2:

X1 = (1 - 2 I) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- เราดำเนินการในลักษณะเดียวกันเพื่อให้ได้ค่าประมาณที่สองของการแก้ปัญหาของระบบสมการ:

X2 = (1 - 2 Y1) / 5 = (1 - 2x (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- การทำซ้ำครั้งที่สาม:

X3 = (1 - 2 Y2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- การวนซ้ำครั้งที่สี่เป็นการทำซ้ำครั้งสุดท้ายของกรณีตัวอย่างนี้:

X4 = (1 - 2 Y3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

ค่าเหล่านี้เข้ากันได้ดีกับโซลูชันที่พบโดยวิธีการแก้ปัญหาอื่น ๆ ผู้อ่านสามารถตรวจสอบได้อย่างรวดเร็วด้วยความช่วยเหลือของโปรแกรมคณิตศาสตร์ออนไลน์

การวิเคราะห์วิธีการ

ดังที่เห็นได้จากวิธี Gauss-Seidel ค่าโดยประมาณที่ได้รับสำหรับตัวแปรก่อนหน้าในขั้นตอนเดียวกันนั้นจะต้องถูกแทนที่ในตัวแปรต่อไปนี้ สิ่งนี้ทำให้แตกต่างจากวิธีการวนซ้ำอื่น ๆ เช่นจาโคบีซึ่งแต่ละขั้นตอนต้องใช้การประมาณของขั้นตอนก่อนหน้า

วิธี Gauss-Seidel ไม่ใช่ขั้นตอนคู่ขนานในขณะที่วิธี Gauss-Jordan คือ นอกจากนี้ยังเป็นเหตุผลที่วิธี Gauss-Seidel มีการลู่เข้าที่เร็วกว่า - ในขั้นตอนที่น้อยกว่า - กว่าวิธี Jordan

สำหรับเงื่อนไขเมทริกซ์ที่โดดเด่นในแนวทแยงนี้ไม่เป็นที่พอใจเสมอไป อย่างไรก็ตามในกรณีส่วนใหญ่เพียงแค่การสลับแถวจากระบบเดิมก็เพียงพอแล้วสำหรับเงื่อนไขที่จะได้รับ นอกจากนี้วิธีการนี้มักจะมาบรรจบกันแม้ว่าจะไม่ตรงตามเงื่อนไขการครอบงำในแนวทแยงก็ตาม

ผลลัพธ์ก่อนหน้าซึ่งได้จากการวนซ้ำสี่ครั้งของวิธี Gauss-Seidel สามารถเขียนในรูปแบบทศนิยม:

X4 = 0.1826

Y4 = 0.04565

คำตอบที่แน่นอนสำหรับระบบสมการที่เสนอคือ:

X = 2/11 = 0.1818

Y = 1/22 = 0.04545

ดังนั้นด้วยการทำซ้ำเพียง 4 ครั้งคุณจะได้ผลลัพธ์ที่มีความแม่นยำหนึ่งในพัน (0.001)

รูปที่ 1 แสดงให้เห็นว่าการทำซ้ำอย่างต่อเนื่องรวมเข้ากับโซลูชันที่แน่นอนได้อย่างไร

การประยุกต์ใช้งาน

วิธี Gauss-Seidel ไม่ได้ จำกัด อยู่ที่ระบบ 2 × 2 ของสมการเชิงเส้นเท่านั้น ขั้นตอนก่อนหน้านี้สามารถสรุปได้เพื่อแก้ระบบเชิงเส้นของสมการ n ที่มี n ไม่ทราบซึ่งแสดงในเมทริกซ์ดังนี้:

กX = ข

โดยที่ A คือเมทริกซ์ nxn ในขณะที่Xคือองค์ประกอบเวกเตอร์ n ของตัวแปร n ที่จะคำนวณ และbคือเวกเตอร์ที่มีค่าของเงื่อนไขอิสระ

ในการสรุปลำดับของการวนซ้ำที่ใช้ในกรณีตัวอย่างกับระบบ nxn ซึ่งตัวแปร Xi ต้องการคำนวณจะใช้สูตรต่อไปนี้:

ในสมการนี้:

- k คือดัชนีสำหรับค่าที่ได้จากการวนซ้ำ k

-k + 1 ระบุค่าใหม่ดังต่อไปนี้

จำนวนการวนซ้ำสุดท้ายจะถูกกำหนดเมื่อค่าที่ได้จากการวนซ้ำ k + 1 แตกต่างจากที่ได้รับก่อนหน้านี้ทันทีโดยจำนวน by ซึ่งเป็นค่าความแม่นยำที่ต้องการอย่างแม่นยำ

ตัวอย่างของวิธี Gauss-Seidel

- ตัวอย่าง 1

เขียนอัลกอริทึมทั่วไปที่ช่วยในการคำนวณเวกเตอร์ของการแก้ปัญหาโดยประมาณXของระบบเชิงเส้นของสมการ nxn โดยให้เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ A เวกเตอร์ของเงื่อนไขอิสระbจำนวนการวนซ้ำ (i ter) และค่าเริ่มต้นหรือ "seed "ของเวกเตอร์X

สารละลาย

อัลกอริทึมประกอบด้วยสองรอบ“ ถึง” หนึ่งรอบสำหรับจำนวนการวนซ้ำและอีกรอบสำหรับจำนวนตัวแปร มันจะเป็นดังนี้:

สำหรับ k ∊

สำหรับฉัน ∊

X: = (1 / A) * (b - ∑ _{j = 1} ⁿ (A * X) + A * X)

- ตัวอย่าง 2

ตรวจสอบการทำงานของอัลกอริทึมก่อนหน้านี้ผ่านแอปพลิเคชันในซอฟต์แวร์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้งานฟรีและใช้งานฟรี SMath Studio พร้อมใช้งานสำหรับ Windows และ Android ยกตัวอย่างกรณีของเมทริกซ์ 2 × 2 ที่ช่วยเราในการอธิบายวิธีเกาส์ - ไซเดล

สารละลาย

รูปที่ 2. การแก้ปัญหาระบบสมการของตัวอย่าง 2 x 2 โดยใช้ซอฟต์แวร์ SMath Studio ที่มา: F. Zapata

- ตัวอย่าง 3

ใช้อัลกอริทึม Gauss-Seidel สำหรับระบบสมการ 3 × 3 ต่อไปนี้ซึ่งได้รับคำสั่งก่อนหน้านี้ในลักษณะที่ค่าสัมประสิทธิ์ของเส้นทแยงมุมมีความโดดเด่น (นั่นคือค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าค่าสัมบูรณ์ของสัมประสิทธิ์ของ แถวเดียวกัน):

9 X1 + 2 X2 - X3 = -2

7 X1 + 8 X2 + 5 X3 = 3

3 X1 + 4 X2 - 10 X3 = 6

ใช้เวกเตอร์ว่างเป็นเมล็ดพันธุ์และพิจารณาการทำซ้ำห้าครั้ง แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับผลลัพธ์

สารละลาย

รูปที่ 3. คำตอบของระบบสมการของตัวอย่างที่แก้ไขแล้ว 3 โดยใช้ SMath Studio ที่มา: F. Zapata

สำหรับระบบเดียวกันที่มีการทำซ้ำ 10 ครั้งแทนที่จะเป็น 5 ผลลัพธ์ต่อไปนี้จะได้รับ: X1 = -0.485; X2 = 1.0123; X3 = -0.3406

สิ่งนี้บอกให้เราทราบว่าการทำซ้ำห้าครั้งนั้นเพียงพอที่จะได้รับทศนิยมสามตำแหน่งที่มีความแม่นยำและวิธีนี้จะมาบรรจบกันอย่างรวดเร็ว

- ตัวอย่างที่ 4

ใช้อัลกอริทึม Gauss-Seidel ที่ระบุไว้ข้างต้นค้นหาคำตอบสำหรับระบบสมการ 4 × 4 ที่ระบุด้านล่าง:

10 x1 - x2 + 2 x3 + 0 x4 = 6

-1 x1 + 11 x2 - 1 x3 + 3 x4 = 25

2 x1 - 1 x2 + 10 x3 - 1 x4 = -11

0 x1 + 3 x2 - 1 x3 + 8 x4 = 15

ในการเริ่มต้นวิธีนี้ให้ใช้เมล็ดพันธุ์นี้:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 และ x4 = 0

พิจารณาการทำซ้ำ 10 ครั้งและประเมินข้อผิดพลาดของผลลัพธ์เปรียบเทียบกับการวนซ้ำหมายเลข 11

สารละลาย

รูปที่ 4. คำตอบของระบบสมการของตัวอย่างที่แก้ไขแล้ว 4 โดยใช้ SMath Studio ที่มา: F. Zapata

เมื่อเปรียบเทียบกับการทำซ้ำครั้งถัดไป (หมายเลข 11) ผลลัพธ์จะเหมือนกัน ความแตกต่างที่ใหญ่ที่สุดระหว่างการทำซ้ำทั้งสองอยู่ในลำดับ 2 × 10 ^-8ซึ่งหมายความว่าโซลูชันที่แสดงมีความแม่นยำอย่างน้อยเจ็ดตำแหน่งทศนิยม

อ้างอิง

1. วิธีการแก้ปัญหาซ้ำ Gauss-Seidel กู้คืนจาก: cimat.mx
2. วิธีการเชิงตัวเลข Gauss-Seidel กู้คืนจาก: test.cua.uam.mx
3. ตัวเลข: วิธี Gauss-Seidel สืบค้นจาก: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. วิกิพีเดีย วิธี Gauss-Seidel กู้คืนจาก: en. wikipedia.com
5. วิกิพีเดีย วิธี Gauss-Seidel สืบค้นจาก: es.wikipedia.com