HOMOTHECY: คุณสมบัติประเภทและตัวอย่าง - เลข - 2025

การขยายตัวคือการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิตในระนาบซึ่งจากจุดคงที่เรียกว่าศูนย์ (O) ระยะทางจะคูณด้วยปัจจัยร่วม ด้วยวิธีนี้แต่ละจุด P จะสอดคล้องกับจุด P 'ผลคูณของการเปลี่ยนแปลงอีกจุดหนึ่งและจุดเหล่านี้จะสอดคล้องกับจุด O

ดังนั้นโฮโมเธซีจึงเป็นเรื่องเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างรูปเรขาคณิตสองรูปโดยจุดที่เปลี่ยนรูปนี้เรียกว่าโฮโมเธติกและสิ่งเหล่านี้จะสอดคล้องกับจุดคงที่และส่วนที่ขนานกัน

Homothecy

Homothecy คือการเปลี่ยนแปลงที่ไม่มีภาพที่สอดคล้องกันเพราะจากรูปที่มีขนาดมากกว่าหรือน้อยกว่ารูปเดิมหนึ่งหรือมากกว่านั้นจะได้รับ กล่าวคืออารมณ์แปรปรวนนั้นเปลี่ยนรูปหลายเหลี่ยมให้เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน

สำหรับการเติมเต็มให้ชี้ไปที่จุดและเส้นต่อเส้นจะต้องสอดคล้องกันเพื่อให้จุดที่คล้ายคลึงกันทั้งคู่อยู่ในแนวเดียวกันกับจุดคงที่ที่สามซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของการเลื่อนตำแหน่ง

ในทำนองเดียวกันคู่ของเส้นที่เข้าร่วมจะต้องขนานกัน ความสัมพันธ์ระหว่างส่วนดังกล่าวเป็นค่าคงที่เรียกว่าอัตราส่วนโฮโมเทซีย์ (k); ในลักษณะที่ homothecy สามารถกำหนดได้ว่า:

ในการดำเนินการเปลี่ยนแปลงประเภทนี้เราเริ่มต้นด้วยการเลือกจุดโดยพลการซึ่งจะเป็นจุดศูนย์กลางของการเปลี่ยนแปลง

จากจุดนี้ส่วนของเส้นจะถูกวาดสำหรับแต่ละจุดยอดของรูปที่จะเปลี่ยนรูป มาตราส่วนที่สร้างขึ้นใหม่ของรูปทรงใหม่จะได้รับจากอัตราส่วนของ homothecy (k)

คุณสมบัติ

คุณสมบัติหลักอย่างหนึ่งของโฮโมเทติกคือด้วยเหตุผลด้านอารมณ์ (k) ตัวเลขโฮโมเทติกทั้งหมดมีความคล้ายคลึงกัน คุณสมบัติที่โดดเด่นอื่น ๆ มีดังต่อไปนี้:

- จุดศูนย์กลางของ homothecia (O) เป็นจุดคู่เดียวและจะเปลี่ยนเป็นตัวมันเอง นั่นคือมันไม่แตกต่างกัน

- เส้นที่ผ่านจุดศูนย์กลางจะเปลี่ยนเป็นตัวมันเอง (เป็นสองเท่า) แต่จุดที่ประกอบกันไม่เป็นสองเท่า

- เส้นที่ไม่ผ่านจุดศูนย์กลางจะเปลี่ยนเป็นเส้นขนาน ด้วยวิธีนี้มุม homothecy ยังคงเหมือนเดิม

- ภาพของส่วนโดยการเคลื่อนที่ของศูนย์ O และอัตราส่วน k เป็นส่วนที่ขนานกับสิ่งนี้และมี k คูณความยาว ตัวอย่างเช่นดังที่เห็นได้ในภาพต่อไปนี้เซ็กเมนต์ AB โดย homothecy จะส่งผลให้เกิด A'B อีกส่วนหนึ่งดังนั้น AB จะขนานกับ A'B 'และ k จะเป็น:

- มุมโฮโมเทติกมีความสอดคล้องกัน นั่นคือพวกเขามีมาตรการเดียวกัน ดังนั้นภาพของมุมคือมุมที่มีแอมพลิจูดเท่ากัน

ในทางกลับกันเราพบว่า homothecy แตกต่างกันไปตามฟังก์ชันของค่าของอัตราส่วน (k) และอาจเกิดกรณีต่อไปนี้:

- ถ้าค่าคงที่ k = 1 จุดทั้งหมดจะได้รับการแก้ไขเพราะมันเปลี่ยนรูปตัวเอง ดังนั้นร่างโฮโมเทติกจึงเกิดขึ้นพร้อมกับร่างเดิมและการเปลี่ยนแปลงจะเรียกว่าฟังก์ชันเอกลักษณ์

- ถ้า k ≠ 1 จุดคงที่เพียงจุดเดียวจะเป็นศูนย์กลางของโฮโมเทติก (O)

- ถ้า k = -1 homothecy จะกลายเป็นสมมาตรกลาง (C); คือเกิดการหมุนรอบซีที่มุม 180 หรือ

- ถ้า k> 1 ขนาดของร่างแปลงจะใหญ่กว่าขนาดของต้นฉบับ

- ถ้า 0 <k <1 ขนาดของร่างแปลงจะเล็กกว่าต้นฉบับ

- ถ้า -1 <k <0 ขนาดของร่างที่แปลงร่างจะเล็กลงและจะหมุนตามต้นฉบับ

- ถ้า k <-1 ขนาดของร่างแปลงจะใหญ่ขึ้นและจะหมุนตามต้นฉบับ

ประเภท

homothecy ยังสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภทขึ้นอยู่กับค่าของอัตราส่วน (k):

โดยตรง homothecy

มันเกิดขึ้นถ้าค่าคงที่ k> 0; นั่นคือจุด homothetic อยู่ด้านเดียวกันกับจุดศูนย์กลาง:

ปัจจัยด้านสัดส่วนหรืออัตราส่วนความคล้ายคลึงกันระหว่างตัวเลขโฮโมเทติกโดยตรงจะเป็นบวกเสมอ

ย้อนกลับ homothecy

มันเกิดขึ้นถ้าค่าคงที่ k <0; นั่นคือจุดเริ่มต้นและ homothetics ของพวกเขาตั้งอยู่ที่ปลายด้านตรงข้ามกับจุดศูนย์กลางของ homothetic แต่อยู่ในแนวเดียวกัน จุดศูนย์กลางจะอยู่ระหว่างสองร่าง:

ปัจจัยด้านสัดส่วนหรืออัตราส่วนความคล้ายคลึงกันระหว่างตัวเลขอารมณ์ผกผันจะเป็นลบเสมอ

ส่วนประกอบ

เมื่อมีการเคลื่อนไหวหลาย ๆ อย่างต่อเนื่องกันจนได้รูปที่เท่ากับต้นฉบับองค์ประกอบของการเคลื่อนไหวจะเกิดขึ้น องค์ประกอบของการเคลื่อนไหวหลายอย่างยังเป็นการเคลื่อนไหว

องค์ประกอบระหว่างสองอารมณ์ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงใหม่ นั่นคือมีผลคูณของ homotheties ซึ่งจุดศูนย์กลางจะอยู่ในแนวเดียวกันกับจุดศูนย์กลางของการเปลี่ยนแปลงเดิมทั้งสองและอัตราส่วน (k) คือผลคูณของอัตราส่วนทั้งสอง

ดังนั้นในองค์ประกอบของสอง homothections H ₁ (O ₁ , k ₁ ) และ H ₂ (O ₂ , k ₂ ) การคูณอัตราส่วน: k ₁ xk ₂ = 1 จะส่งผลให้มีอัตราส่วนของอัตราส่วน k ₃ = k ₁ xk ₂ . ศูนย์กลางของ homothecy ใหม่นี้ (O ₃ ) จะตั้งอยู่บนเส้น O ₁ O 2

Homothecia สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงที่แบนและไม่สามารถย้อนกลับได้ ถ้าใช้โฮโมเทติกสองตัวที่มีจุดศูนย์กลางและอัตราส่วนเท่ากัน แต่มีเครื่องหมายต่างกันจะได้รูปต้นฉบับ

ตัวอย่าง

ตัวอย่างแรก

ใช้ homothecy กับรูปหลายเหลี่ยมของศูนย์กลาง (O) ที่กำหนดซึ่งอยู่ห่างจากจุด A 5 ซม. และมีอัตราส่วน k = 0.7

สารละลาย

จุดใดก็ได้ที่ถูกเลือกให้เป็นศูนย์กลางของการเคลื่อนที่และจากจุดนี้จะถูกดึงผ่านจุดยอดของรูป:

ระยะทางจากจุดศูนย์กลาง (O) ถึงจุด A คือ OA = 5; ด้วยเหตุนี้จึงสามารถกำหนดระยะทางของจุดโฮโมเธติค (OA ') ได้โดยรู้ว่า k = 0.7:

OA '= kx OA.

OA '= 0.7 x 5 = 3.5

กระบวนการนี้สามารถทำได้สำหรับจุดยอดแต่ละจุดหรือสามารถวาดรูปหลายเหลี่ยมโฮโมเทติกได้โดยจำไว้ว่ารูปหลายเหลี่ยมทั้งสองมีด้านขนานกัน:

สุดท้ายการเปลี่ยนแปลงมีลักษณะดังนี้:

ตัวอย่างที่สอง

ใช้ homothecy กับรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดโดยมีจุดศูนย์กลาง (O) ซึ่งอยู่ห่างจากจุด C 8.5 ซม. และมีอัตราส่วน y k = -2

สารละลาย

ระยะห่างจากจุดศูนย์กลาง (O) ถึงจุด C คือ OC = 8.5; ด้วยข้อมูลนี้เป็นไปได้ที่จะกำหนดระยะห่างของจุดโฮโมเธติคจุดใดจุดหนึ่ง (OC ') โดยรู้ว่า k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8.5 = -17

หลังจากวาดส่วนของจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมที่เปลี่ยนรูปแล้วเราพบว่าจุดเริ่มต้นและการเคลื่อนไหวของพวกเขาตั้งอยู่ที่ปลายตรงข้ามกับจุดศูนย์กลาง:

อ้างอิง

1. ÁlvaroRendón, AR (2004) การวาดภาพทางเทคนิค: สมุดบันทึกกิจกรรม
2. อันโตนิโอÁlvarez de la Rosa, JL (2002) Affinity, Homology และ Homothecy
3. เยอร์, ​​อาร์. (2012). พีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตโปรเจกต์ Courier Corporation
4. เฮเบิร์ต, วาย. (1980). คณิตศาสตร์ทั่วไปความน่าจะเป็นและสถิติ
5. เมเซิร์ฟ พ.ศ. (2557). แนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิต Courier Corporation
6. นัชบิน, แอล. (1980). พีชคณิตเบื้องต้น. Reverte