การแจกแจงแบบปัวซอง: สูตรสมการแบบจำลองคุณสมบัติ - ดูดาส - 2025

การแจกแจงแบบปัวซองคือการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งสามารถทราบความน่าจะเป็นที่ภายในกลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่และในช่วงเวลาหนึ่งเหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็นน้อยจะเกิดขึ้น

บ่อยครั้งการแจกแจงแบบปัวซองสามารถใช้แทนการแจกแจงทวินามได้ตราบเท่าที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: ตัวอย่างขนาดใหญ่และความน่าจะเป็นน้อย

รูปที่ 1. กราฟของการแจกแจงแบบปัวซองสำหรับพารามิเตอร์ต่างๆ ที่มา: Wikimedia Commons

Siméon-Denis Poisson (1781-1840) สร้างการแจกจ่ายนี้ขึ้นมาซึ่งมีชื่อของเขาซึ่งมีประโยชน์มากเมื่อพูดถึงเหตุการณ์ที่ไม่สามารถคาดเดาได้ ปัวซองตีพิมพ์ผลการวิจัยของเขาในปี พ.ศ. 2380 ซึ่งเป็นงานสืบสวนเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของการตัดสินโทษทางอาญาที่ผิดพลาด

ต่อมานักวิจัยคนอื่น ๆ ได้ปรับการกระจายตัวในพื้นที่อื่น ๆ เช่นจำนวนดาวที่สามารถพบได้ในอวกาศจำนวนหนึ่งหรือความเป็นไปได้ที่ทหารจะเสียชีวิตจากการเตะม้า

สูตรและสมการ

รูปแบบทางคณิตศาสตร์ของการแจกแจงแบบปัวซองมีดังนี้:

- μ (บางครั้งแสดงเป็นλ) คือค่าเฉลี่ยหรือพารามิเตอร์ของการแจกแจง

- หมายเลขออยเลอร์: e = 2.71828

- ความน่าจะเป็นที่จะได้รับ y = k คือ P

- k คือจำนวนความสำเร็จ 0, 1,2,3 …

- n คือจำนวนการทดสอบหรือเหตุการณ์ (ขนาดตัวอย่าง)

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องตามชื่อของมันขึ้นอยู่กับโอกาสและรับเฉพาะค่าที่ไม่ต่อเนื่อง: 0, 1, 2, 3, 4 …, k

ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงกำหนดโดย:

ความแปรปรวนσซึ่งวัดการแพร่กระจายของข้อมูลเป็นอีกพารามิเตอร์หนึ่งที่สำคัญ สำหรับการแจกแจงแบบปัวซองคือ:

σ = μ

ปัวซองระบุว่าเมื่อ n →∞และ p → 0 ค่าเฉลี่ยμหรือที่เรียกว่าค่าที่คาดหวัง - มีแนวโน้มที่จะคงที่:

- เหตุการณ์หรือเหตุการณ์ที่พิจารณาเป็นอิสระจากกันและเกิดขึ้นแบบสุ่ม

- ความน่าจะเป็น P ของเหตุการณ์บางอย่างที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาหนึ่งมีค่าน้อยมาก: P → 0

- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์มากกว่าหนึ่งเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาคือ 0

- ค่าเฉลี่ยประมาณค่าคงที่ที่กำหนดโดย: μ = np (n คือขนาดตัวอย่าง)

- เนื่องจากการกระจายσเท่ากับμเนื่องจากใช้ค่าที่มากขึ้นความแปรปรวนก็จะมากขึ้นด้วย

- กิจกรรมจะต้องกระจายอย่างเท่าเทียมกันในช่วงเวลาที่ใช้

- ชุดของค่าที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์ y คือ: 0,1,2,3,4 ….

- ผลรวมของตัวแปร i ที่ตามการแจกแจงแบบปัวซองก็เป็นตัวแปรปัวซองอีกเช่นกัน ค่าเฉลี่ยคือผลรวมของค่าเฉลี่ยของตัวแปรเหล่านี้

ความแตกต่างกับการแจกแจงแบบทวินาม

การแจกแจงแบบปัวซองแตกต่างจากการแจกแจงทวินามในลักษณะสำคัญดังต่อไปนี้:

- การแจกแจงแบบทวินามได้รับผลกระทบจากทั้งขนาดตัวอย่าง n และความน่าจะเป็น P แต่การแจกแจงแบบปัวซองจะได้รับผลกระทบจากค่าเฉลี่ยμเท่านั้น

- ในการแจกแจงแบบทวินามค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม y คือ 0,1,2, …, N ในขณะที่การแจกแจงแบบปัวซองไม่มีขีด จำกัด สูงสุดสำหรับค่าเหล่านี้

ตัวอย่าง

ในตอนแรกปัวซองใช้การจัดจำหน่ายที่มีชื่อเสียงของเขากับคดีทางกฎหมาย แต่ในระดับอุตสาหกรรมหนึ่งในการใช้งานแรกสุดของเขาคือการต้มเบียร์ ในกระบวนการนี้ใช้เชื้อยีสต์ในการหมัก

ยีสต์ประกอบด้วยเซลล์ที่มีชีวิตซึ่งมีจำนวนประชากรที่เปลี่ยนแปลงตลอดเวลา ในการผลิตเบียร์จำเป็นต้องเพิ่มจำนวนที่จำเป็นดังนั้นจึงจำเป็นต้องทราบจำนวนเซลล์ต่อหน่วยปริมาตร

ในช่วงสงครามโลกครั้งที่สองการแจกแจงแบบปัวซองถูกใช้เพื่อค้นหาว่าชาวเยอรมันมีเป้าหมายที่ลอนดอนจากกาเลส์จริงหรือเพียงแค่ยิงแบบสุ่ม นี่เป็นสิ่งสำคัญสำหรับฝ่ายสัมพันธมิตรในการพิจารณาว่าเทคโนโลยีที่นาซีสามารถใช้ได้ดีเพียงใด

การใช้งานจริง

แอปพลิเคชันของการแจกแจงแบบปัวซองมักอ้างถึงการนับในเวลาหรือการนับในอวกาศ และเนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นมีเพียงเล็กน้อยจึงเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า "กฎแห่งเหตุการณ์ที่หายาก"

นี่คือรายการของเหตุการณ์ที่อยู่ในหมวดหมู่เหล่านี้:

- การลงทะเบียนอนุภาคในการสลายตัวของกัมมันตภาพรังสีซึ่งเช่นเดียวกับการเติบโตของเซลล์ยีสต์เป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

- จำนวนการเข้าชมเว็บไซต์บางแห่ง

- การมาถึงของคนต่อแถวเพื่อจ่ายเงินหรือเข้าร่วม (ทฤษฎีคิว)

- จำนวนรถที่ผ่านจุดหนึ่งบนถนนในช่วงเวลาที่กำหนด

รูปที่ 2. จำนวนรถยนต์ที่ผ่านจุดหนึ่งโดยประมาณตามการแจกแจงแบบปัวซอง ที่มา: Pixabay

- การกลายพันธุ์ได้รับความเดือดร้อนในสายโซ่ดีเอ็นเอบางอย่างหลังจากได้รับรังสี

- จำนวนอุกกาบาตที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางมากกว่า 1 เมตรตกลงมาในหนึ่งปี

- ข้อบกพร่องต่อตารางเมตรของผ้า

- ปริมาณเม็ดเลือด 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร

- โทรต่อนาทีไปยังชุมสายโทรศัพท์

- ช็อคโกแลตชิพมีอยู่ในแป้งเค้ก 1 กก.

- จำนวนต้นไม้ที่ติดเชื้อปรสิตในป่า 1 เฮกตาร์

โปรดทราบว่าตัวแปรสุ่มเหล่านี้แสดงถึงจำนวนครั้งที่เหตุการณ์เกิดขึ้นในช่วงเวลาที่กำหนด (การโทรต่อนาทีไปยังชุมสายโทรศัพท์) หรือพื้นที่ที่กำหนด (ข้อบกพร่องของผ้าต่อตารางเมตร)

เหตุการณ์เหล่านี้ตามที่ได้กำหนดขึ้นแล้วไม่ขึ้นอยู่กับเวลาที่ผ่านไปนับจากเหตุการณ์สุดท้าย

การประมาณค่าการแจกแจงแบบทวินามด้วยการแจกแจงแบบปัวซอง

การแจกแจงแบบปัวซองเป็นการประมาณที่ดีสำหรับการแจกแจงทวินามตราบใดที่:

- ขนาดของตัวอย่างมีขนาดใหญ่: n ≥ 100

- ความน่าจะเป็น p มีค่าน้อย: p ≤ 0.1

- μอยู่ในลำดับ: np ≤ 10

ในกรณีเช่นนี้การแจกแจงแบบปัวซองเป็นเครื่องมือที่ยอดเยี่ยมเนื่องจากการแจกแจงทวินามอาจเป็นเรื่องยากที่จะนำไปใช้ในกรณีเหล่านี้

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

แบบฝึกหัด 1

การศึกษาแผ่นดินไหวระบุว่าในช่วง 100 ปีที่ผ่านมามีแผ่นดินไหวขนาดใหญ่ 93 ครั้งทั่วโลกโดยมีอย่างน้อย 6.0 ตามมาตราริกเตอร์ -logarithmic- สมมติว่าการแจกแจงแบบปัวซองเป็นรูปแบบที่เหมาะสมในกรณีนี้ หา:

ก) การเกิดแผ่นดินไหวขนาดใหญ่โดยเฉลี่ยต่อปี

b) ถ้า P (y) คือความน่าจะเป็นของแผ่นดินไหวที่เกิดขึ้นในปีที่เลือกแบบสุ่มให้ค้นหาความน่าจะเป็นดังต่อไปนี้:

ค่อนข้างน้อยกว่า P (2)

ผลลัพธ์อยู่ด้านล่าง:

P (0) = 0.395, P (1) = 0.367, P (2) = 0.171, P (3) = 0.0529, P (4) = 0.0123, P (5) = 0.00229, P (6) = 0.000355, P (7) = 0.0000471

ตัวอย่างเช่นเราสามารถพูดได้ว่ามีความเป็นไปได้ 39.5% ที่จะไม่มีแผ่นดินไหวครั้งใหญ่เกิดขึ้นในปีหนึ่ง ๆ หรือว่ามีแผ่นดินไหวขนาดใหญ่เกิดขึ้น 5.29% ของ 3 ครั้งในปีนั้น

แนวทางแก้ไข c)

c) วิเคราะห์ความถี่คูณด้วย n = 100 ปี:

39.5; 36.7; 17.1; 5.29; 1.23; 0.229; 0.0355 และ 0.00471

ตัวอย่างเช่น:

- ความถี่ 39.5 ระบุว่าเกิดแผ่นดินไหวขนาดใหญ่ 0 ครั้งใน 39.5 จาก 100 ปีเราสามารถพูดได้ว่ามันค่อนข้างใกล้เคียงกับผลที่แท้จริงของ 47 ปีที่ไม่มีแผ่นดินไหวขนาดใหญ่

ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์ Poisson อื่นกับผลลัพธ์จริง:

- ค่าที่ได้ 36.7 หมายความว่าในช่วง 37 ปีเกิดแผ่นดินไหวใหญ่ 1 ครั้ง ผลที่เกิดขึ้นจริงคือในรอบ 31 ปีมีแผ่นดินไหวใหญ่ 1 ครั้งซึ่งตรงกับแบบจำลอง

- 17.1 ปีคาดว่าจะเกิดแผ่นดินไหวขนาดใหญ่ 2 ครั้งและเป็นที่ทราบกันดีว่าในรอบ 13 ปีซึ่งเป็นมูลค่าที่ใกล้เคียงมีแผ่นดินไหวขนาดใหญ่ 2 ครั้ง

ดังนั้นแบบจำลองปัวซองจึงเป็นที่ยอมรับสำหรับกรณีนี้

แบบฝึกหัด 2

บริษัท หนึ่งประมาณว่าจำนวนส่วนประกอบที่ล้มเหลวก่อนถึง 100 ชั่วโมงการทำงานเป็นไปตามการกระจายแบบปัวซอง หากจำนวนความล้มเหลวโดยเฉลี่ยเท่ากับ 8 ในช่วงเวลานั้นให้ค้นหาความน่าจะเป็นดังต่อไปนี้:

ก) ส่วนประกอบนั้นล้มเหลวใน 25 ชั่วโมง

b) ความล้มเหลวของส่วนประกอบน้อยกว่าสองชิ้นใน 50 ชั่วโมง

c) อย่างน้อยสามองค์ประกอบล้มเหลวใน 125 ชั่วโมง

แนวทางแก้ไข)

a) เป็นที่ทราบกันดีว่าค่าเฉลี่ยของความล้มเหลวใน 100 ชั่วโมงคือ 8 ดังนั้นใน 25 ชั่วโมงหนึ่งในสี่ของความล้มเหลวจึงคาดว่าจะล้มเหลว 2 ครั้ง นี่จะเป็นพารามิเตอร์μ

มีการร้องขอความน่าจะเป็นที่ 1 องค์ประกอบล้มเหลวตัวแปรสุ่มคือ "ส่วนประกอบที่ล้มเหลวก่อน 25 ชั่วโมง" และค่าของมันคือ y = 1 โดยการแทนที่ในฟังก์ชันความน่าจะเป็น:

อย่างไรก็ตามคำถามคือความน่าจะเป็นที่ส่วนประกอบน้อยกว่าสองชิ้นล้มเหลวใน 50 ชั่วโมงไม่ใช่ว่าส่วนประกอบ 2 อย่างล้มเหลวใน 50 ชั่วโมงดังนั้นเราต้องเพิ่มความน่าจะเป็นที่:

- ไม่มีล้มเหลว

- ความล้มเหลวเพียง 1

พารามิเตอร์μของการแจกแจงในกรณีนี้คือ:

μ = 8 + 2 = 10 ความล้มเหลวใน 125 ชั่วโมง

P (3 ส่วนประกอบขึ้นไปล้มเหลว) = 1- P (0) - P (1) - P (2) =

อ้างอิง

1. MathWorks การแจกแจงแบบปัวซอง สืบค้นจาก: es.mathworks.com
2. Mendenhall, W. 1981. สถิติสำหรับการจัดการและเศรษฐศาสตร์. 3 ฉบับ Grupo Editorial Iberoamérica
3. สถิติ Trek สอนสถิติตัวเอง การกระจายปัวซอง ดึงมาจาก: stattrek.com,
4. Triola, M. 2012. สถิติเบื้องต้น. วันที่ 11 เอ็ดการศึกษาของเพียร์สัน
5. วิกิพีเดีย การแจกแจงแบบปัวซอง สืบค้นจาก: en.wikipedia.org