อนุพันธ์พีชคณิต (พร้อมตัวอย่าง) - เลข - 2025

อนุพันธ์พีชคณิตประกอบด้วยการศึกษาของอนุพันธ์ในกรณีของฟังก์ชั่นเกี่ยวกับพีชคณิต ต้นกำเนิดของแนวคิดเรื่องอนุพันธ์เกิดขึ้นในสมัยกรีกโบราณ การพัฒนาแนวความคิดนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากความต้องการที่จะแก้ปัญหาสำคัญสองปัญหาหนึ่งในฟิสิกส์และอีกปัญหาหนึ่งในคณิตศาสตร์

ในทางฟิสิกส์อนุพันธ์ช่วยแก้ปัญหาในการกำหนดความเร็วทันทีของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ ในทางคณิตศาสตร์จะช่วยให้คุณสามารถหาเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดที่กำหนดได้

แม้ว่าจะมีปัญหาอื่น ๆ อีกมากมายที่ได้รับการแก้ไขโดยใช้อนุพันธ์รวมถึงการสรุปทั่วไป แต่ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นหลังจากการเปิดตัวแนวคิด

ผู้บุกเบิกแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์คือนิวตันและไลบนิซ ก่อนที่จะให้คำจำกัดความอย่างเป็นทางการเราจะพัฒนาแนวคิดเบื้องหลังจากมุมมองทางคณิตศาสตร์และทางกายภาพ

อนุพันธ์เป็นความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง

สมมติว่ากราฟของฟังก์ชัน y = f (x) เป็นกราฟต่อเนื่อง (โดยไม่มีจุดสูงสุดหรือจุดยอดหรือช่องว่าง) และให้ A = (a, f (a)) เป็นจุดคงที่ เราต้องการหาสมการของเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน f ที่จุด A

ลองหาจุดอื่น ๆ P = (x, f (x)) บนกราฟใกล้กับจุด A แล้วลากเส้นเซแคนท์ที่ผ่าน A และ P เส้นเซแคนท์คือเส้นที่ตัดกราฟของเส้นโค้งทีละเส้น หรือมากกว่าคะแนน

เพื่อให้ได้เส้นสัมผัสที่เราต้องการเราจำเป็นต้องคำนวณความชันเนื่องจากเรามีจุดบนเส้นแล้ว: จุด A

ถ้าเราย้ายจุด P ไปตามกราฟและเข้าใกล้จุด A มากขึ้นเรื่อย ๆ เส้นเซแคนต์ที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้จะเข้าใกล้เส้นสัมผัสที่เราต้องการค้นหา ขีด จำกัด เมื่อ "P มีแนวโน้มที่ A" เส้นทั้งสองจะตรงกันดังนั้นความชันของมันก็เช่นกัน

ความชันของเส้นเซแคนท์กำหนดโดย

การบอกว่า P เข้าใกล้ A เท่ากับการบอกว่า "x" เข้าใกล้ "a" ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัสกับกราฟของ f ที่จุด A จะเท่ากับ:

นิพจน์ข้างต้นแสดงด้วย f '(a) และนิยามว่าเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่จุด "a" เราจึงเห็นว่าในทางวิเคราะห์แล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งเป็นขีด จำกัด แต่ในทางเรขาคณิตคือความชันของเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุด

ตอนนี้เราจะมาดูแนวคิดนี้จากมุมมองของฟิสิกส์ เราจะมาถึงนิพจน์เดียวกันของขีด จำกัด ก่อนหน้าแม้ว่าจะเป็นเส้นทางที่แตกต่างกันดังนั้นการได้รับความเป็นเอกฉันท์ของคำจำกัดความ

อนุพันธ์เป็นความเร็วทันทีของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่

ลองดูตัวอย่างสั้น ๆ ของความหมายของความเร็วทันที ยกตัวอย่างเช่นเมื่อมีการกล่าวกันว่ารถยนต์ที่จะไปถึงจุดหมายปลายทางทำได้ด้วยความเร็ว 100 กม. ต่อชั่วโมงซึ่งหมายความว่าในหนึ่งชั่วโมงจะเดินทาง 100 กม.

นี่ไม่ได้หมายความว่าตลอดทั้งชั่วโมงรถอยู่ในระยะ 100 กม. เสมอไปมาตรวัดความเร็วของรถอาจทำเครื่องหมายน้อยกว่าหรือมากกว่าในบางช่วงเวลา หากคุณจำเป็นต้องหยุดที่สัญญาณไฟจราจรความเร็วของคุณในขณะนั้นคือ 0 กม. อย่างไรก็ตามหลังจากนั้นหนึ่งชั่วโมงการเดินทางคือ 100 กม.

นี่คือสิ่งที่เรียกว่าความเร็วเฉลี่ยและกำหนดโดยผลหารของระยะทางที่เดินทางและเวลาที่ผ่านไปอย่างที่เราเพิ่งเห็น ในทางกลับกันความเร็วทันทีคือความเร็วที่ทำเครื่องหมายเข็มของมาตรวัดความเร็วของรถในช่วงเวลาหนึ่ง (เวลา) ที่กำหนด

ลองดูโดยทั่วไปในตอนนี้ สมมติว่าวัตถุเคลื่อนที่ไปตามเส้นและการกระจัดนี้แสดงด้วยสมการ s = f (t) โดยที่ตัวแปร t วัดเวลาและตัวแปร s การกระจัดโดยคำนึงถึงจุดเริ่มต้นที่ ทันที t = 0 ซึ่งเวลานั้นก็เป็นศูนย์เช่นกันนั่นคือ f (0) = 0

ฟังก์ชันนี้ f (t) เรียกว่าฟังก์ชันตำแหน่ง

มีการค้นหานิพจน์สำหรับความเร็วของวัตถุที่ความเร็วคงที่ "a" ด้วยความเร็วนี้เราจะแสดงด้วย V (a)

อย่าให้อยู่ใกล้กับ "a" ทันที ในช่วงเวลาระหว่าง“ a” และ“ t” การเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของวัตถุจะถูกกำหนดโดย f (t) -f (a)

ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลานี้คือ:

ซึ่งเป็นค่าประมาณของความเร็วทันที V (a) การประมาณนี้จะดีกว่าเมื่อเข้าใกล้ "a" มากขึ้น ดังนั้น

โปรดทราบว่านิพจน์นี้เหมือนกับนิพจน์ที่ได้รับในกรณีก่อนหน้านี้ แต่มาจากมุมมองที่ต่างออกไป นี่คือสิ่งที่เรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ณ จุด "a" และแสดงด้วย f '(a) ตามที่ระบุไว้ข้างต้น

โปรดทราบว่าการเปลี่ยนแปลง h = xa เรามีเมื่อ "x" มีแนวโน้มที่ "a", "h" มีแนวโน้มที่จะเป็น 0 และขีด จำกัด ก่อนหน้าจะเปลี่ยน (เทียบเท่า) เป็น:

นิพจน์ทั้งสองมีค่าเท่ากัน แต่บางครั้งควรใช้นิพจน์หนึ่งแทนอีกนิพจน์ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับกรณี

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ณ จุดใด ๆ "x" ที่เป็นของโดเมนจะถูกกำหนดโดยทั่วไปเป็น

สัญกรณ์ทั่วไปที่ใช้แทนอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f (x) คือค่าที่เราเพิ่งเห็น (f 'หรือ y') อย่างไรก็ตามสัญกรณ์อื่นที่ใช้กันอย่างแพร่หลายคือสัญกรณ์ของไลบนิซซึ่งแสดงเป็นนิพจน์ใด ๆ ต่อไปนี้:

เนื่องจากอนุพันธ์โดยพื้นฐานแล้วเป็นขีด จำกัด จึงอาจมีหรือไม่มีก็ได้เนื่องจากไม่มีขีด จำกัด เสมอไป หากมีอยู่ฟังก์ชันที่เป็นปัญหาจะกล่าวได้ว่าแตกต่างกันในจุดที่กำหนด

ฟังก์ชันพีชคณิต

ฟังก์ชันพีชคณิตคือการรวมกันของพหุนามโดยการบวกการลบผลคูณผลคูณกำลังและอนุมูล

พหุนามคือนิพจน์ของรูปแบบ

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 + … + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติและ_iทั้งหมดโดย i = 0,1, … , n คือจำนวนตรรกยะและ_n ≠ 0 ในกรณีนี้ระดับของพหุนามนี้จะกล่าวว่าเป็น n

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของฟังก์ชันพีชคณิต:

ไม่รวมฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลลอการิทึมและตรีโกณมิติไว้ที่นี่ กฎการหาที่มาที่เราจะเห็นต่อไปนั้นใช้ได้กับฟังก์ชันโดยทั่วไป แต่เราจะ จำกัด ตัวเองและนำไปใช้ในกรณีของฟังก์ชันพีชคณิต

กฎการข้าม

อนุพันธ์ของค่าคงที่

ระบุว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์ นั่นคือถ้า f (x) = c แล้ว f '(x) = 0 ตัวอย่างเช่นอนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าคงที่ 2 เท่ากับ 0

อนุพันธ์ของอำนาจ

ถ้า f (x) = x ⁿ , f แล้ว '(x) = NX n-1 ยกตัวอย่างเช่นอนุพันธ์ของ x ³เป็น 3x 2 ด้วยเหตุนี้เราจึงได้อนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกลักษณ์ f (x) = x คือ f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1

อีกตัวอย่างหนึ่งคือต่อไปนี้ให้ f (x) = 1 / x ²แล้ว f (x) = x ^-2และ F '(x) = - 2x ^-2-1 = -2x -3

คุณสมบัตินี้ยังเป็นรูทที่ถูกต้องเนื่องจากรูทเป็นอำนาจที่มีเหตุผลและสามารถนำไปใช้ข้างต้นในกรณีนั้นได้ ตัวอย่างเช่นอนุพันธ์ของรากที่สองจะถูกกำหนดโดย

อนุพันธ์ของการบวกและการลบ

ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่แตกต่างกันได้ใน x ผลรวม f + g ก็แตกต่างกันได้เช่นกันและเป็นที่พอใจว่า (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x)

ในทำนองเดียวกันเรามี (fg) '(x) = f' (x) -g '(x) กล่าวอีกนัยหนึ่งอนุพันธ์ของผลรวม (การลบ) คือผลรวม (หรือการลบ) ของอนุพันธ์

ตัวอย่าง

ถ้า h (x) = x ² + x-1 ดังนั้น

h '(x) = (x ² ) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1

มาจากผลิตภัณฑ์

ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่แตกต่างได้ใน x ผลคูณ fg ก็แตกต่างกันได้ใน x และมันก็จริง

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x)

เป็นผลตามมาว่าถ้า c เป็นค่าคงที่และ f เป็นฟังก์ชันที่แตกต่างได้ใน x ดังนั้น cf จะแตกต่างกันได้ใน x และ (cf) '(x) = cf' (X)

ตัวอย่าง

ถ้า f (x) = 3x (x ² +1) แล้ว

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² +3

อนุพันธ์ของผลหาร

ถ้า f และ g แตกต่างกันได้ที่ x และ g (x) ≠ 0 ดังนั้น f / g ก็แตกต่างกันได้ที่ x และมันก็เป็นจริง

ตัวอย่าง:ถ้า h (x) = x ³ / (x ² -5x) แล้ว

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ² .

กฎลูกโซ่

กฎนี้อนุญาตให้ได้มาซึ่งองค์ประกอบของฟังก์ชัน ระบุสิ่งต่อไปนี้: ถ้า y = f (u) แตกต่างกันได้ที่ u yu = g (x) มีความแตกต่างที่ x ดังนั้นฟังก์ชันคอมโพสิต f (g (x)) จะแตกต่างกันได้ที่ x และเป็นจริงที่ '= f '(g (x)) ก' (x)

นั่นคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิตคือผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก (อนุพันธ์ภายนอก) และอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน (อนุพันธ์ภายใน)

ตัวอย่าง

ถ้า f (x) = (x ⁴ -2x) ³แล้ว

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2)

นอกจากนี้ยังมีผลลัพธ์สำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของการผกผันของฟังก์ชันเช่นเดียวกับการสรุปทั่วไปของอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่า การใช้งานมีมากมาย ในหมู่พวกเขามีประโยชน์ในปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพและฟังก์ชันสูงสุดและต่ำสุดที่โดดเด่น

อ้างอิง

1. Alarcon, S. , González, M. , & Quintana, H. (2008). แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ITM
2. Cabrera, VM (1997). การคำนวณ 4000 กองบรรณาธิการ Progreso.
3. คาสตาโญ, HF (2005). คณิตศาสตร์ก่อนการคำนวณ มหาวิทยาลัย Medellin
4. เอดูอาร์โด, NA (2003). รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับแคลคูลัส รุ่นเกณฑ์
5. Fuentes, A. (2016). คณิตศาสตร์พื้นฐาน ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับแคลคูลัส Lulu.com
6. Purcell, EJ, Rigdon, SE, & Varberg, DE (2007) การคำนวณ การศึกษาของเพียร์สัน.
7. แสนซ, เจ. (2548). แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (Second ed.). Barquisimeto: Hypotenuse
8. Thomas, GB, & Weir, MD (2006). การคำนวณ: ตัวแปรหลายตัว การศึกษาของเพียร์สัน.