การคำนวณการประมาณโดยใช้ส่วนต่าง - เลข - 2025

การประมาณในคณิตศาสตร์คือจำนวนที่ไม่ใช่ค่าที่แน่นอนของบางสิ่ง แต่มีค่าใกล้เคียงมากจนถือว่ามีประโยชน์เท่ากับค่าที่แน่นอน

เมื่อมีการประมาณค่าในคณิตศาสตร์เป็นเพราะด้วยตนเองเป็นเรื่องยาก (หรือบางครั้งเป็นไปไม่ได้) ที่จะทราบค่าที่แน่นอนของสิ่งที่คุณต้องการ

เครื่องมือหลักเมื่อทำงานกับการประมาณคือผลต่างของฟังก์ชัน

ความแตกต่างของฟังก์ชัน f ซึ่งแสดงโดยΔf (x) ไม่มีอะไรมากไปกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f คูณด้วยการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรอิสระนั่นคือΔf (x) = f '(x) * Δx

บางครั้งใช้ df และ dx แทนΔfและΔx

การประมาณโดยใช้ส่วนต่าง

สูตรที่ใช้ในการหาค่าประมาณผ่านดิฟเฟอเรนเชียลเกิดขึ้นอย่างแม่นยำจากนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นลิมิต

สูตรนี้มอบให้โดย:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx

ที่นี่เข้าใจว่าΔx = x-x0 ดังนั้น x = x0 + Δx การใช้สูตรนี้สามารถเขียนใหม่เป็น

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx

ควรสังเกตว่า "x0" ไม่ใช่ค่าตามอำเภอใจ แต่เป็นค่าที่ทราบได้ง่ายว่า f (x0) ยิ่งไปกว่านั้น "f (x)" เป็นเพียงค่าที่เราต้องการประมาณเท่านั้น

มีประมาณที่ดีกว่านี้ไหม?

คำตอบคือใช่ ข้างต้นเป็นค่าประมาณที่ง่ายที่สุดที่เรียกว่า "การประมาณเชิงเส้น"

สำหรับการประมาณคุณภาพที่ดีขึ้น (ข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นมีค่าน้อยกว่า) จะใช้พหุนามที่มีอนุพันธ์มากกว่าที่เรียกว่า "พหุนามเทย์เลอร์" รวมถึงวิธีการเชิงตัวเลขอื่น ๆ เช่นวิธีนิวตัน - ราฟสัน

กลยุทธ์

กลยุทธ์ที่จะปฏิบัติตามคือ:

- เลือกฟังก์ชันที่เหมาะสม f เพื่อใช้ในการประมาณค่าและค่า« x »เพื่อให้ f (x) เป็นค่าที่จะประมาณ

- เลือกค่า "x0" ใกล้กับ "x" เพื่อให้ f (x0) คำนวณได้ง่าย

- คำนวณΔx = x-x0

- คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y f '(x0)

- แทนที่ข้อมูลในสูตร

แบบฝึกหัดการประมาณค่าที่แก้ไขแล้ว

ในสิ่งที่ดำเนินต่อไปมีชุดของแบบฝึกหัดที่ใช้การประมาณโดยใช้ดิฟเฟอเรนเชียล

ออกกำลังกายครั้งแรก

ประมาณ√3.

สารละลาย

การปฏิบัติตามกลยุทธ์จะต้องเลือกฟังก์ชันที่เหมาะสม ในกรณีนี้จะเห็นได้ว่าฟังก์ชันที่จะเลือกต้องเป็น f (x) = √xและค่าที่จะประมาณคือ f (3) = √3

ตอนนี้เราต้องเลือกค่า "x0" ใกล้กับ "3" เพื่อให้ f (x0) คำนวณได้ง่าย ถ้าเลือก "x0 = 2" แสดงว่า "x0" ใกล้เคียงกับ "3" แต่ f (x0) = f (2) = √2ไม่ใช่เรื่องง่ายในการคำนวณ

ค่าที่เหมาะสมของ "x0" คือ "4" เนื่องจาก "4" ใกล้เคียงกับ "3" และ f (x0) = f (4) = √4 = 2

ถ้า "x = 3" และ "x0 = 4" แล้วΔx = 3-4 = -1 ตอนนี้เราคำนวณอนุพันธ์ของ f นั่นคือ f '(x) = 1/2 * √xดังนั้น f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4

การแทนที่ค่าทั้งหมดในสูตรที่คุณได้รับ:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75

ถ้าคุณใช้เครื่องคิดเลขคุณจะได้3≈1.73205…นี่แสดงว่าผลลัพธ์ก่อนหน้านี้เป็นการประมาณมูลค่าที่แท้จริงได้ดี

การออกกำลังกายครั้งที่สอง

ประมาณ√10

สารละลาย

ก่อนหน้านี้ f (x) = √xyถูกเลือกเป็นฟังก์ชันในกรณีนี้ x = 10

ค่า x0 ที่จะเลือกในครั้งนี้คือ "x0 = 9" จากนั้นเราจะมีΔx = 10-9 = 1, f (9) = 3 และ f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6

เมื่อประเมินในสูตรจะได้ว่า

√10 = ฉ (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 …

การใช้เครื่องคิดเลขจะได้ค่าเท่ากับ√10≈ 3.1622776 …ที่นี่จะเห็นได้ว่ามีการประมาณที่ดีมาก่อน

การออกกำลังกายครั้งที่สาม

ประมาณ³√10โดยที่³√หมายถึงคิวบ์รูท

สารละลาย

ฟังก์ชั่นที่จะใช้ในแบบฝึกหัดนี้อย่างชัดเจนคือ f (x) = ³√xและค่าของ "x" ต้องเป็น "10"

ค่าที่ใกล้เคียงกับ "10" ซึ่งทราบว่าคิวบ์รูทคือ "x0 = 8" จากนั้นเราก็มีΔx = 10-8 = 2 และ f (x0) = f (8) = 2 เรามี f '(x) = 1/3 * ³√x²ด้วยและดังนั้น f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12

แทนที่ข้อมูลในสูตรจะได้รับว่า:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ….

เครื่องคิดเลขบอกว่า³√10≈ 2.15443469 …ดังนั้นค่าประมาณที่พบจึงดี

การออกกำลังกายที่สี่

ln (1.3) โดยประมาณโดยที่ "ln" หมายถึงฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ

สารละลาย

อันดับแรกเราเลือกเป็นฟังก์ชัน f (x) = ln (x) และค่าของ "x" คือ 1.3 ตอนนี้เมื่อรู้เพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับฟังก์ชันลอการิทึมเราสามารถรู้ได้ว่า ln (1) = 0 และยิ่งไปกว่านั้น "1" ใกล้เคียงกับ "1.3" ดังนั้น "x0 = 1" จึงถูกเลือกและดังนั้นΔx = 1.3 - 1 = 0.3

ในทางกลับกัน f '(x) = 1 / x ดังนั้น f' (1) = 1 เมื่อประเมินในสูตรที่กำหนดเรามี:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3

การใช้เครื่องคิดเลขเรามี ln (1.3) ≈ 0.262364 …ดังนั้นการประมาณที่ทำได้จึงดี

อ้างอิง

1. Fleming, W. , & Varberg, DE (1989). คณิตศาสตร์ Precalculus Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. , & Varberg, DE (1989). คณิตศาสตร์ Precalculus: แนวทางการแก้ปัญหา (2, Illustrated ed.) มิชิแกน: Prentice Hall
3. Fleming, W. , & Varberg, D. (1991). พีชคณิตและตรีโกณมิติกับเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. การศึกษาของเพียร์สัน.
4. ลาร์สัน, อาร์. (2010). Precalculus (8 ed.) การเรียนรู้ Cengage
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). เรขาคณิตวิเคราะห์เครื่องบิน เมริดา - เวเนซุเอลา: กองบรรณาธิการ Venezolana CA
6. เปเรซ, ซีดี (2549). Precalculation การศึกษาของเพียร์สัน.
7. Purcell, EJ, Varberg, D. , & Rigdon, SE (2007) แคลคูลัส (Ninth ed.) ศิษย์ฮอลล์.
8. แสนซ, เจ. (2548). แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์พร้อมฟังก์ชันเหนือชั้นต้นสำหรับวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม (ฉบับที่สอง) ด้านของสามเหลี่ยม
9. สก็อตต์แคลิฟอร์เนีย (2552) เรขาคณิตเครื่องบินคาร์ทีเซียนส่วน: Conics เชิงวิเคราะห์ (1907) (พิมพ์ซ้ำ). แหล่งฟ้าผ่า
10. ซัลลิแวน, M. (1997). Precalculation การศึกษาของเพียร์สัน.