เวกเตอร์ในอวกาศ: กราฟวิธีการใช้งานแบบฝึกหัด - กายภาพ - 2026

เวกเตอร์ในพื้นที่เป็นสิ่งที่แสดงโดยระบบพิกัดที่กำหนดโดย x, y, z ส่วนใหญ่แล้วระนาบ xy คือระนาบพื้นผิวแนวนอนและแกน z แทนความสูง (หรือความลึก)

แกนพิกัดคาร์ทีเซียนที่แสดงในรูปที่ 1 แบ่งสเปซออกเป็น 8 พื้นที่เรียกว่าอ็อกแทนต์ซึ่งคล้ายคลึงกับการที่แกน x - y แบ่งระนาบออกเป็น 4 ส่วน จากนั้นเราจะมีเลขฐานแปดที่ 1, เลขฐานสองตัวที่ 2 เป็นต้น

รูปที่ 1. เวกเตอร์ในอวกาศ ที่มา: self made.

รูปที่ 1 มีการแทนเวกเตอร์vในช่องว่าง จำเป็นต้องใช้มุมมองบางอย่างเพื่อสร้างภาพลวงตาของสามมิติบนระนาบของหน้าจอซึ่งทำได้โดยการวาดมุมมองแบบเฉียง

ในการสร้างกราฟเวกเตอร์ 3 มิติเราต้องใช้เส้นประที่กำหนดพิกัดของการฉายบนกริดหรือ "เงา" ของvบนพื้นผิว xy การฉายภาพนี้เริ่มต้นที่ O และสิ้นสุดที่จุดสีเขียว

เมื่อถึงจุดนั้นคุณต้องเดินต่อไปตามแนวตั้งจนถึงความสูงที่จำเป็น (หรือความลึก) ตามค่าของ z จนกว่าคุณจะถึง P เวกเตอร์จะเริ่มจาก O และสิ้นสุดที่ P ซึ่งในตัวอย่างอยู่ในเลขฐานแปดที่ 1

การประยุกต์ใช้งาน

เวกเตอร์ในอวกาศใช้กันอย่างแพร่หลายในกลศาสตร์และสาขาอื่น ๆ ของฟิสิกส์และวิศวกรรมเนื่องจากโครงสร้างที่ล้อมรอบเราต้องใช้รูปทรงเรขาคณิตในสามมิติ

เวกเตอร์ตำแหน่งในอวกาศใช้เพื่อวางตำแหน่งวัตถุที่เกี่ยวข้องกับจุดอ้างอิงที่เรียกว่าจุดกำเนิด OR ดังนั้นจึงเป็นเครื่องมือที่จำเป็นในการนำทางด้วยเช่นกัน แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด

กองกำลังที่กระทำต่อโครงสร้างเช่นสลักเกลียวตัวยึดสายเคเบิลเสาและอื่น ๆ เป็นเวกเตอร์ในธรรมชาติและมุ่งเน้นไปที่อวกาศ เพื่อให้ทราบถึงผลของมันจำเป็นต้องทราบที่อยู่ (และจุดที่ใช้ด้วย)

และบ่อยครั้งที่ทราบทิศทางของแรงโดยการรู้จุดสองจุดในอวกาศซึ่งเป็นของแนวปฏิบัติของมัน ด้วยวิธีนี้แรงคือ:

F = F u

ที่ไหน F เป็นขนาดหรือขนาดของแรงและยูเป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย (โมดูล 1) กำกับตามแนวของการกระทำF

สัญกรณ์และการแสดงเวกเตอร์ 3 มิติ

ก่อนที่เราจะแก้ไขตัวอย่างต่อไปเราจะตรวจสอบสัญกรณ์เวกเตอร์ 3 มิติสั้น ๆ

ในตัวอย่างในรูปที่ 1 เวกเตอร์ v ซึ่งมีจุดกำเนิดตรงกับจุดกำเนิด O และจุดสิ้นสุดคือจุด P มีพิกัด xyz เป็นบวกในขณะที่พิกัด y เป็นลบ พิกัดเหล่านี้คือ x ₁ , y ₁ , z ₁ซึ่งเป็นพิกัดของ P.

ดังนั้นถ้าเรามีเวกเตอร์ที่เชื่อมโยงกับจุดกำเนิดนั่นคือซึ่งจุดเริ่มต้นตรงกับ O มันง่ายมากที่จะระบุพิกัดของมันซึ่งจะเป็นจุดสุดขั้วหรือ P เพื่อแยกความแตกต่างระหว่างจุดกับเวกเตอร์เราจะใช้เพื่อ ตัวอักษรตัวหนาตัวสุดท้ายและวงเล็บดังนี้:

v = <x ₁ , y ₁ , z ₁ >

ในขณะที่จุด P แสดงด้วยวงเล็บ:

P = (x ₁ , y ₁ , z ₁ )

การแทนค่าอื่นใช้เวกเตอร์หน่วยi , jและkที่กำหนดทิศทางของช่องว่างสามทิศทางบนแกน x, y และ z ตามลำดับ

เวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉากซึ่งกันและกันและมีลักษณะเป็นออร์โธนิก (ดูรูปที่ 2) ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ 3 มิติสามารถเขียนเป็น:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Angles and Director Cosines of a Vector

รูปที่ 2 ยังแสดงมุมกรรมการγ ₁ , γ ₂และγ ₃ที่เวกเตอร์vทำตามลำดับด้วยแกน x, y และ z เมื่อรู้มุมเหล่านี้และขนาดของเวกเตอร์มันจะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์ นอกจากนี้โคไซน์ของมุมกรรมการตรงตามความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

(cos γ ₁ ) ² + (cos γ ₂ ) ² + (cos γ ₃ ) ² = 1

รูปที่ 2. เวกเตอร์หน่วย i, j และ k กำหนด 3 ทิศทางพิเศษของอวกาศ ที่มา: self made.

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

- การออกกำลังกาย 1

ในรูปที่ 2 มุมγ ₁ , γ ₂และγ ₃ที่เวกเตอร์vของโมดูลัส 50 รูปแบบที่มีแกนพิกัดตามลำดับ: 75.0º, 60.0ºและ34.3º ค้นหาส่วนประกอบคาร์ทีเซียนของเวกเตอร์และเป็นตัวแทนของมันในแง่ของหน่วยเวกเตอร์ผม , เจและk

สารละลาย

การฉายเวกเตอร์vบนแกน_xคือ v _x = 50 cos 75º = 12,941 ในทำนองเดียวกันการฉายของvบนแกน y คือ v _y = 50 cos 60 º = 25 และสุดท้ายบนแกน z คือ v _z = 50 cos 34.3 º = 41.3 ตอนนี้vสามารถแสดงเป็น:

v = 12.9 i + 25.0 j + 41.3 k

- การออกกำลังกาย 2

ค้นหาความตึงเครียดในแต่ละสายเคเบิลที่ยึดถังในรูปที่อยู่ในสภาพสมดุลถ้าน้ำหนักเท่ากับ 30 N

รูปที่ 3. แผนภาพความเครียดสำหรับการออกกำลังกาย 2.

สารละลาย

บนที่เก็บข้อมูลแผนภาพร่างกายอิสระระบุว่าT _D (สีเขียว) ชดเชยน้ำหนักW (สีเหลือง) ดังนั้น T _D = W = 30 N

ที่โหนดเวกเตอร์T _Dจะชี้ลงในแนวตั้งจากนั้น:

T _D = 30 (- k ) N.

ในการสร้างแรงดันไฟฟ้าที่เหลือให้ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

ขั้นตอนที่ 1: ค้นหาพิกัดของทุกจุด

A = (4.5,0,3) (A อยู่บนระนาบของผนัง xz)

B = (1.5,0,0) (B อยู่บนแกน x)

C = (0, 2.5, 3) (C อยู่บนระนาบของผนังและ z)

D = (1.5, 1.5, 0) (D อยู่บนระนาบ xy แนวนอน)

ขั้นตอนที่ 2: ค้นหาเวกเตอร์ในแต่ละทิศทางโดยการลบพิกัดของจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้น

DA = <3; -1.5; 3>

ดีซี = <-1.5; หนึ่ง; 3>

DB = <0; -1.5; 0>

ขั้นตอนที่ 3: คำนวณโมดูลและเวกเตอร์หน่วย

เวกเตอร์หน่วยได้มาจากนิพจน์: u = r / r โดยr (เป็นตัวหนา) เป็นเวกเตอร์และ r (ไม่ใช่ตัวหนา) เป็นโมดูลของเวกเตอร์ดังกล่าว

DA = (3 ² + (-1.5) ² + 3 ² ) ^½ = 4.5; DC = ((-1.5) ² + 1 ² + 3 ² ) ^½ = 3.5

คุณ_DA = <3; -1.5; 3> 4.5 = <0.67; -0.33; 0.67>

ยู_DC = <-1.5; หนึ่ง; 3> 3.5 = <-0.43; 0.29; 0.86>

ยู_DB = <0; -หนึ่ง; 0>

คุณ_D = <0; 0; -1>

ขั้นตอนที่ 4: แสดงความเครียดทั้งหมดเป็นเวกเตอร์

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0.67; -0.33; 0.67>

T _DC = T _DC ยู_{DC =} T _DC <-0.43; 0.29; 0.86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -หนึ่ง; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

ขั้นตอนที่ 5: ใช้เงื่อนไขสมดุลคงที่และแก้ระบบสมการ

ในที่สุดเงื่อนไขของสมดุลคงที่จะถูกนำไปใช้กับที่เก็บข้อมูลเพื่อให้ผลรวมเวกเตอร์ของแรงทั้งหมดบนโหนดเป็นศูนย์:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

เนื่องจากความเค้นอยู่ในอวกาศจึงทำให้เกิดระบบสมการสามสมการสำหรับแต่ละองค์ประกอบ (x, y และ z) ของความเค้น

0.67 ครั้ง_DA -0.43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0.33 T _DA + 0.29 T _DC - T _DB = 0

0.67 T _DA + 0.86 T _DC +0 T _DB - 30 = 0

วิธีแก้ปัญหาคือ T _DA = 14.9 N; T _DA = 23.3 น; T _DB = 1.82 N

อ้างอิง

1. Bedford, 2000. A. กลศาสตร์วิศวกรรม: สถิตยศาสตร์. แอดดิสันเวสลีย์ 38-52.
2. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. เล่ม 1. Kinematics. 31-68.
3. ทางกายภาพ. โมดูล 8: เวกเตอร์ ดึงมาจาก: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. กลศาสตร์สำหรับวิศวกร. คงที่ พิมพ์ครั้งที่ 6. บริษัท สำนักพิมพ์คอนติเนนตัล. 15-53.
5. เครื่องคำนวณการบวกเวกเตอร์ สืบค้นจาก: 1728.org