เวกเตอร์ COPLANAR คืออะไร? (พร้อมเฉลยแบบฝึกหัด) - กายภาพ - 2026

เวกเตอร์ในระนาบเดียวกันหรือระนาบเดียวกันเป็นผู้ที่มีอยู่ในระนาบเดียวกัน เมื่อมีเวกเตอร์เพียงสองเวกเตอร์สิ่งเหล่านี้มักจะเป็น coplanar เนื่องจากมีระนาบที่ไม่มีที่สิ้นสุดจึงเป็นไปได้ที่จะเลือกหนึ่งที่มีพวกมัน

หากคุณมีเวกเตอร์สามตัวขึ้นไปอาจเป็นไปได้ว่าเวกเตอร์บางตัวไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกันกับเวกเตอร์อื่น ๆ ดังนั้นจึงไม่สามารถพิจารณาว่าเป็น coplanar ได้ รูปต่อไปนี้แสดงชุดของเวกเตอร์ coplanar ที่แสดงด้วยตัวหนาA , B , CและD :

รูปที่ 1. เวกเตอร์ coplanar สี่ตัว ที่มา: self made.

เวกเตอร์เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมและคุณสมบัติของปริมาณทางกายภาพที่เกี่ยวข้องกับวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม ตัวอย่างเช่นความเร็วความเร่งและแรง

แรงก่อให้เกิดผลกระทบที่แตกต่างกันต่อวัตถุเมื่อวิธีการใช้นั้นแตกต่างกันไปตัวอย่างเช่นโดยการเปลี่ยนความเข้มทิศทางและทิศทาง แม้แต่การเปลี่ยนพารามิเตอร์เพียงตัวเดียวผลลัพธ์ก็แตกต่างกันมาก

ในหลาย ๆ แอพพลิเคชั่นทั้งในทางสถิตยศาสตร์และพลศาสตร์กองกำลังที่กระทำต่อร่างกายอยู่ในระนาบเดียวกันดังนั้นจึงถือว่าเป็น coplanar

เงื่อนไขสำหรับเวกเตอร์เป็น coplanar

สำหรับเวกเตอร์สามตัวที่จะเป็น coplanar พวกเขาจะต้องอยู่บนระนาบเดียวกันและสิ่งนี้จะเกิดขึ้นหากเป็นไปตามเงื่อนไขใด ๆ ต่อไปนี้:

- เวกเตอร์ขนานกันดังนั้นส่วนประกอบจึงเป็นสัดส่วนและขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

- ผลิตภัณฑ์ผสมของคุณเป็นโมฆะ

- ถ้าคุณมีเวกเตอร์สามตัวและสามารถเขียนเวกเตอร์ใดก็ได้เป็นการรวมเชิงเส้นของอีกสองเวกเตอร์เหล่านี้คือโคพลานาร์ ตัวอย่างเช่นเวกเตอร์ที่เกิดจากผลรวมของอีกสองตัวทั้งสามอยู่ในระนาบเดียวกัน

หรืออีกวิธีหนึ่งคือเงื่อนไข coplanarity สามารถกำหนดได้ดังนี้:

ผลิตภัณฑ์ผสมระหว่างสามเวกเตอร์

ผลิตภัณฑ์ผสมระหว่างเวกเตอร์ถูกกำหนดด้วยเวกเตอร์สามตัวu , vและwทำให้ได้สเกลาร์ที่เป็นผลมาจากการดำเนินการต่อไปนี้:

ยู· ( v x w ) = u · (v x w )

ก่อนที่สินค้าข้ามที่อยู่ในวงเล็บจะดำเนินการ: วี x W ,มีผลเป็นเวกเตอร์ปกติ (ตั้งฉาก) กับระนาบซึ่งทั้งสองVและW โกหก

ถ้าคุณอยู่บนระนาบเดียวกับvและw โดยธรรมชาติแล้วผลคูณสเกลาร์ (ผลิตภัณฑ์จุด) ระหว่าง u และบอกว่าเวกเตอร์ปกติต้องเป็น 0 ด้วยวิธีนี้จะได้รับการตรวจสอบว่าเวกเตอร์ทั้งสามเป็น coplanar (อยู่บนระนาบเดียวกัน)

เมื่อผลิตภัณฑ์ผสมไม่ใช่ศูนย์ผลลัพธ์จะเท่ากับปริมาตรของขนานที่มีเวกเตอร์u , vและwเป็นด้านติดกัน

การประยุกต์ใช้งาน

Coplanar กองกำลังพร้อมกันและไม่ใช่ collinear

กองกำลังพร้อมกันทั้งหมดถูกนำไปใช้กับจุดเดียวกัน ถ้าพวกมันเป็น coplanar เช่นกันพวกมันสามารถถูกแทนที่ด้วยหนึ่งเดียวซึ่งเรียกว่าแรงที่เป็นผลลัพธ์และมีผลเช่นเดียวกับกองกำลังดั้งเดิม

หากร่างกายอยู่ในสภาวะสมดุลเนื่องจากแรงร่วมกันสามกองกำลังพร้อมกันและไม่เรียงกัน (ไม่ขนานกัน) เรียกว่าA , BและCทฤษฎีบทของ Lamy บ่งชี้ว่าความสัมพันธ์ระหว่างแรงเหล่านี้ (ขนาด) มีดังต่อไปนี้:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

ด้วยα, βและγเป็นมุมตรงข้ามกับแรงที่ใช้ดังแสดงในรูปต่อไปนี้:

รูปที่ 2 แรง coplanar สามตัว A, B และ C กระทำต่อวัตถุ ที่มา: Kiwakwok จาก English Wikipedia

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

- การออกกำลังกาย 1

ค้นหาค่าของ k เพื่อให้เวกเตอร์ต่อไปนี้เป็น coplanar:

คุณ = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

สารละลาย

เนื่องจากเรามีส่วนประกอบของเวกเตอร์จึงใช้เกณฑ์ของผลิตภัณฑ์ผสมดังนั้น:

ยู( v x w ) = 0

แก้v x wก่อน เวกเตอร์จะแสดงในรูปของเวกเตอร์หน่วยi , jและkที่แยกแยะทิศทางตั้งฉากทั้งสามในอวกาศ (ความกว้างความสูงและความลึก):

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 ผม + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

ตอนนี้เราพิจารณาผลคูณสเกลาร์ระหว่าง u และเวกเตอร์ที่เป็นผลมาจากการดำเนินการก่อนหน้านี้โดยตั้งค่าการดำเนินการเท่ากับ 0:

ยู ( v x w ) = (-3 i + k j + 2 k ) · (-2 i + 4 j + 9 k ) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

ค่าที่ต้องการคือ: k = - 6

ดังนั้นเวกเตอร์uคือ:

คุณ = <-3, -6, 2>

- การออกกำลังกาย2

ภาพแสดงวัตถุที่มีน้ำหนัก W = 600 N แขวนอยู่ในสภาพสมดุลเนื่องจากสายเคเบิลที่วางไว้ที่มุมดังแสดงในรูปที่ 3 เป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้ทฤษฎีบทของ Lamy ในสถานการณ์นี้ ไม่ว่าในกรณีใด ๆ ให้หาขนาดของT ₁ , T ₂และT ₃ที่ทำให้สมดุลเป็นไปได้

รูปที่ 3. น้ำหนักแขวนอยู่ในสภาวะสมดุลภายใต้การกระทำของความเครียดทั้งสามที่แสดง ที่มา: self made.

สารละลาย

ทฤษฎีบทของ Lamy ใช้ได้ในสถานการณ์นี้หากพิจารณาโหนดที่ใช้ความเค้นทั้งสามเนื่องจากเป็นระบบของกองกำลัง coplanar ขั้นแรกสร้างแผนภาพอิสระสำหรับน้ำหนักแขวนเพื่อกำหนดขนาดของ T _3:

รูปที่ 4. แผนภาพอิสระสำหรับแขวนน้ำหนัก ที่มา: self made.

จากสภาวะสมดุลจะเป็นไปตามนั้น:

มุมระหว่างกองกำลังจะถูกทำเครื่องหมายด้วยสีแดงในรูปต่อไปนี้ซึ่งสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าผลรวมคือ360º ตอนนี้เป็นไปได้ที่จะใช้ทฤษฎีบทของ Lamy เนื่องจากหนึ่งในกองกำลังและสามมุมระหว่างพวกเขาเป็นที่รู้จัก:

รูปที่ 5. - ใช้มุมสีแดงเพื่อใช้ทฤษฎีบทของ Lamy ที่มา: self made.

T ₁ / sin 127º = W / sin 106º

ดังนั้น: T ₁ = sin 127º (W / sin 106º) = 498.5 N

อีกครั้งทฤษฎีบทของ Lamy ถูกนำไปใช้เพื่อแก้ปัญหาสำหรับ T ₂ :

T ₂ / บาป 127 = T ₁ / บาป127º

T ₂ = T ₁ = 498.5 น

อ้างอิง

1. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. เล่มที่ 1. Kinematics. 31-68.
2. ทางกายภาพ. โมดูล 8: เวกเตอร์ ดึงมาจาก: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. กลศาสตร์สำหรับวิศวกร. คงที่ พิมพ์ครั้งที่ 6. สำนักพิมพ์ทวีป. 28-66.
4. McLean, W. Schaum ซีรี่ส์ กลศาสตร์สำหรับวิศวกร: สถิติและพลวัต พิมพ์ครั้งที่ 3 McGraw Hill 1-15.
5. วิกิพีเดีย เวกเตอร์. สืบค้นจาก: es.wikipedia.org.