ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลี: สมการการประยุกต์ใช้และแบบฝึกหัดที่แก้ไขได้ - กายภาพ - 2025

Bernoulli ทฤษฎีบทซึ่งอธิบายพฤติกรรมของของเหลวในการเคลื่อนไหวที่ถูกกําหนดโดยทางคณิตศาสตร์และทางกายภาพ Daniel Bernoulli ในการทำงานของไฮโดรไดนามิกส์ ตามหลักการของไหลในอุดมคติ (ไม่มีแรงเสียดทานหรือความหนืด) ที่ไหลเวียนผ่านท่อปิดจะมีพลังงานคงที่ในเส้นทางของมัน

ทฤษฎีบทสามารถอนุมานได้จากหลักการอนุรักษ์พลังงานและแม้กระทั่งจากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน นอกจากนี้หลักการของ Bernoulli ยังระบุด้วยว่าการเพิ่มขึ้นของความเร็วของของเหลวหมายถึงการลดลงของความดันที่ตกอยู่การลดลงของพลังงานศักย์หรือทั้งสองอย่างในเวลาเดียวกัน

Daniel Bernoulli

ทฤษฎีบทมีการใช้งานที่แตกต่างกันมากมายทั้งในโลกของวิทยาศาสตร์และในชีวิตประจำวันของผู้คน

ผลที่ตามมามีอยู่ในแรงยกของเครื่องบินในปล่องไฟของบ้านและอุตสาหกรรมในท่อน้ำและพื้นที่อื่น ๆ

สมการของ Bernoulli

แม้ว่า Bernoulli จะเป็นผู้ที่อนุมานได้ว่าความดันลดลงเมื่ออัตราการไหลเพิ่มขึ้น แต่ความจริงก็คือ Leonhard Euler เป็นผู้พัฒนาสมการ Bernoulli ในรูปแบบที่เป็นที่รู้จักในปัจจุบัน

ไม่ว่าในกรณีใดสมการของ Bernoulli ซึ่งไม่มีอะไรมากไปกว่านิพจน์ทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีบทของเขามีดังต่อไปนี้:

v ² ∙ƿ / 2 + P + ƿ∙ g ∙ z = ค่าคงที่

ในนิพจน์นี้ v คือความเร็วของของไหลผ่านส่วนที่พิจารณาƿคือความหนาแน่นของของเหลว P คือความดันของของเหลว g คือค่าของการเร่งความเร็วของแรงโน้มถ่วงและ z คือความสูงที่วัดได้ในทิศทาง ของแรงโน้มถ่วง

เป็นนัยในสมการของ Bernoulli ที่ว่าพลังงานของของเหลวประกอบด้วยองค์ประกอบสามส่วน:

- ส่วนประกอบทางจลศาสตร์ซึ่งเป็นองค์ประกอบที่เป็นผลมาจากความเร็วที่ของเหลวเคลื่อนที่

- ส่วนประกอบที่มีศักยภาพหรือความโน้มถ่วงซึ่งเกิดจากความสูงที่ของเหลวอยู่

- พลังงานความดันซึ่งเป็นสิ่งที่ของเหลวมีอยู่เป็นผลมาจากความกดดันที่มันถูกกดดัน

ในทางกลับกันสมการของ Bernoulli สามารถแสดงได้เช่นนี้:

v ₁ ² ∙ƿ / 2 + P ₁ + ƿ∙ g ∙ z ₁ = v ₂ ² ∙ƿ / 2 + P ₂ + ƿ∙ g ∙ z ₂

นิพจน์สุดท้ายนี้ใช้งานได้จริงในการวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงที่ของไหลประสบเมื่อองค์ประกอบใด ๆ ที่ประกอบเป็นสมการเปลี่ยนแปลง

แบบฟอร์มประยุกต์

ในบางครั้งการเปลี่ยนแปลงในระยะρgzของสมการของ Bernoulli นั้นน้อยมากเมื่อเทียบกับเงื่อนไขอื่น ๆ ที่มีประสบการณ์ดังนั้นจึงอาจถูกละเลยได้ ตัวอย่างเช่นเหตุการณ์นี้เกิดขึ้นในกระแสที่เครื่องบินกำลังบินอยู่

ในโอกาสเหล่านี้สมการ Bernoulli จะแสดงดังนี้:

P + q = P ₀

ในนิพจน์นี้ q คือความดันไดนามิกและเทียบเท่ากับ v ² ∙ƿ / 2 และ P ₀คือสิ่งที่เรียกว่าความดันรวมและเป็นผลรวมของความดันสถิต P และความดันไดนามิก q

การประยุกต์ใช้งาน

ทฤษฎีบทของ Bernoulli มีการใช้งานมากมายและหลากหลายในสาขาต่างๆเช่นวิทยาศาสตร์วิศวกรรมการกีฬา ฯลฯ

พบแอปพลิเคชั่นที่น่าสนใจในการออกแบบเตาผิง ปล่องไฟถูกสร้างขึ้นสูงเพื่อให้เกิดความแตกต่างของแรงดันระหว่างฐานและช่องระบายอากาศของปล่องไฟมากขึ้นเนื่องจากง่ายต่อการแยกก๊าซจากการเผาไหม้

แน่นอนว่าสมการ Bernoulli ยังใช้กับการศึกษาการเคลื่อนที่ของของเหลวที่ไหลในท่อ จากสมการที่ว่าการลดพื้นที่หน้าตัดของท่อเพื่อเพิ่มความเร็วของของไหลที่ไหลผ่านก็แสดงถึงการลดลงของความดันด้วย

นอกจากนี้ยังใช้สมการ Bernoulli ในการบินและในยานพาหนะ Formula 1 ในกรณีของการบินผล Bernoulli เป็นต้นกำเนิดของการยกของเครื่องบิน

ปีกเครื่องบินได้รับการออกแบบโดยมีเป้าหมายเพื่อให้มีการไหลเวียนของอากาศมากขึ้นที่ด้านบนของปีก

ดังนั้นในส่วนบนของปีกความเร็วอากาศจึงสูงและความดันจึงต่ำกว่า ความแตกต่างของความดันนี้ก่อให้เกิดแรงขึ้นในแนวตั้ง (แรงยก) ที่ทำให้เครื่องบินอยู่ในอากาศ ผลที่คล้ายกันนี้จะได้รับกับ ailerons ของรถสูตร 1

การออกกำลังกายได้รับการแก้ไข

กระแสน้ำไหลที่ 5.18 m / s ผ่านท่อที่มีหน้าตัด 4.2 ซม. ² น้ำที่ลงมาจากความสูง 9.66 เมตรถึงระดับที่ต่ำกว่าด้วยความสูงของศูนย์ระดับความสูงในขณะที่พื้นที่ภาคตัดขวางของหลอดเพิ่มขึ้น 7.6 ซม. 2

a) คำนวณความเร็วของกระแสน้ำที่ระดับล่าง

b) กำหนดความดันที่ระดับล่างโดยรู้ว่าความดันที่ระดับบนคือ 152000 Pa

สารละลาย

ก) เนื่องจากต้องอนุรักษ์กระแสจึงเป็นความจริงที่ว่า:

Q _{ระดับบน} = Q _{ระดับล่าง}

v ₁ . S ₁ = v 2 ส₂

5.18 ม. / วินาที 4.2 ซม. ² = v 2 7.6 ซม. ^ ²

การแก้ปัญหาได้รับว่า:

v ₂ = 2.86 ม. / วินาที

ข) การใช้ทฤษฎีบทของ Bernoulli ระหว่างสองระดับและคำนึงถึงว่าความหนาแน่นของน้ำคือ 1000 กิโลกรัม / เมตร³ก็จะได้รับว่า

v ₁ ² ∙ƿ / 2 + P ₁ + ƿ∙ g ∙ z ₁ = v ₂ ² ∙ƿ / 2 + P ₂ + ƿ∙ g ∙ z ₂

(1/2). 1,000 กก. / ม. ³ . (5.18 ม. / วินาที) ² + 152000 + 1,000 กก. / ม. ³ . 10 ม. / วินาที² . 9.66 ม. =

= (1/2). 1,000 กก. / ม. ³ . (2.86 ม. / วินาที) ² + P ₂ + 1,000 กก. / ม. ³ . 10 ม. / วินาที² . 0 ม

การแก้ปัญหาสำหรับ P ₂เราได้รับ:

P ₂ = 257926.4 Pa

อ้างอิง

1. หลักการของ Bernoulli (ND) บน Wikipedia สืบค้นเมื่อวันที่ 12 พฤษภาคม 2018 จาก es.wikipedia.org.
2. หลักการของ Bernoulli (ND) ในวิกิพีเดีย. สืบค้นเมื่อวันที่ 12 พฤษภาคม 2018 จาก en.wikipedia.org.
3. แบตเชเลอร์ GK (2510) บทนำสู่พลวัตของไหล สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์
4. แกะ, H. (1993). Hydrodynamics (6th ed.). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์
5. มอตต์โรเบิร์ต (2539) กลศาสตร์ของไหลประยุกต์ (ฉบับที่ 4) เม็กซิโก: การศึกษาของเพียร์สัน.