อันดับในสถิติคืออะไร? (พร้อมตัวอย่าง) - ดูดาส - 2025

ช่วง , ช่วงหรือกว้างในสถิติคือความแตกต่าง (ลบ) ระหว่างค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของชุดของข้อมูลจากตัวอย่างหรือประชากร หากช่วงแสดงด้วยตัวอักษร R และข้อมูลแสดงด้วย x สูตรสำหรับช่วงจะเป็นเพียง:

R = x _{สูงสุด} - x _นาที

โดยที่ x _maxคือค่าสูงสุดของข้อมูลและ x _minคือค่าต่ำสุด

รูปที่ 1. ช่วงของข้อมูลที่สอดคล้องกับประชากรของCádizในช่วงสองศตวรรษที่ผ่านมา ที่มา: Wikimedia Commons

แนวคิดนี้มีประโยชน์มากในการวัดการกระจายอย่างง่าย ๆ เพื่อชื่นชมความแปรปรวนของข้อมูลได้อย่างรวดเร็วเนื่องจากเป็นการบ่งชี้ส่วนขยายหรือความยาวของช่วงเวลาที่พบสิ่งเหล่านี้

ตัวอย่างเช่นสมมติว่ามีการวัดความสูงของกลุ่มนักศึกษาวิศวกรรมชายชั้นปีที่ 1 จำนวน 25 คนในมหาวิทยาลัยแห่งหนึ่ง นักเรียนที่สูงที่สุดในกลุ่มคือ 1.93 ม. และสั้นที่สุด 1.67 ม. ค่าเหล่านี้เป็นค่าสูงสุดของข้อมูลตัวอย่างดังนั้นเส้นทางของพวกเขาคือ:

R = 1.93 - 1.67 ม. = 0.26 ม. หรือ 26 ซม.

ความสูงของนักเรียนในกลุ่มนี้จะกระจายไปตามช่วงนี้

ข้อดีและข้อเสีย

ช่วงคือดังที่เราได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้การวัดว่าข้อมูลกระจายออกไปอย่างไร ช่วงเล็ก ๆ บ่งชี้ว่าข้อมูลใกล้เคียงมากหรือน้อยและการแพร่กระจายต่ำ ในทางกลับกันช่วงที่กว้างขึ้นบ่งชี้ว่าข้อมูลมีการกระจายตัวมากขึ้น

ข้อดีของการคำนวณช่วงนั้นชัดเจนคือหาได้ง่ายและรวดเร็วเนื่องจากเป็นข้อแตกต่างง่ายๆ

นอกจากนี้ยังมีหน่วยเดียวกับข้อมูลที่ใช้งานได้และแนวคิดนี้ง่ายต่อการตีความสำหรับผู้สังเกตการณ์ทุกคน

ในตัวอย่างความสูงของนักศึกษาวิศวกรรมถ้าช่วงเป็น 5 ซม. เราจะบอกว่านักเรียนมีขนาดเท่ากันโดยประมาณ แต่ด้วยระยะ 26 ซม. เราจะสันนิษฐานได้ทันทีว่ามีนักเรียนที่มีความสูงระดับกลางทั้งหมดอยู่ในกลุ่มตัวอย่าง สมมติฐานนี้ถูกต้องเสมอไปหรือไม่?

ข้อเสียของช่วงเป็นตัวชี้วัดการกระจายตัว

หากเราดูอย่างละเอียดอาจเป็นไปได้ว่าในกลุ่มตัวอย่างของนักศึกษาวิศวกรรม 25 คนมีเพียงคนเดียวเท่านั้นที่วัดได้ 1.93 และอีก 24 คนที่เหลือมีความสูงใกล้ 1.67 ม.

และถึงกระนั้นช่วงก็ยังคงเหมือนเดิมแม้ว่าจะตรงกันข้ามก็เป็นไปได้อย่างสมบูรณ์: ความสูงของส่วนใหญ่อยู่ที่ประมาณ 1.90 ม. และมีเพียง 1.67 ม.

ไม่ว่าในกรณีใดการกระจายของข้อมูลจะแตกต่างกันมาก

ข้อเสียของช่วงเป็นตัวชี้วัดการกระจายเนื่องจากใช้เฉพาะค่ามากและไม่สนใจสิ่งอื่น ๆ ทั้งหมด เนื่องจากข้อมูลส่วนใหญ่สูญหายคุณจึงไม่รู้ว่าจะกระจายข้อมูลตัวอย่างอย่างไร

ลักษณะสำคัญอีกประการหนึ่งคือช่วงของตัวอย่างไม่เคยลดลง หากเราเพิ่มข้อมูลเพิ่มเติมนั่นคือเราพิจารณาข้อมูลมากขึ้นช่วงจะเพิ่มขึ้นหรือคงเดิม

และไม่ว่าในกรณีใดจะมีประโยชน์เฉพาะเมื่อทำงานกับตัวอย่างขนาดเล็กไม่แนะนำให้ใช้เพียงอย่างเดียวเพื่อวัดการกระจายในตัวอย่างขนาดใหญ่

สิ่งที่ต้องทำคือเสริมด้วยการคำนวณการวัดการกระจายอื่น ๆ ที่คำนึงถึงข้อมูลที่มาจากข้อมูลทั้งหมด: ช่วงระหว่างควอไทล์ความแปรปรวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและสัมประสิทธิ์การแปรผัน

ช่วงระหว่างควอไทล์ควอไทล์และตัวอย่างการทำงาน

เราได้ตระหนักว่าจุดอ่อนของช่วงที่เป็นตัวชี้วัดการกระจายคือการใช้ประโยชน์จากค่าสูงสุดของการกระจายข้อมูลเท่านั้นโดยละเว้นค่าอื่น ๆ

เพื่อหลีกเลี่ยงความไม่สะดวกนี้จะใช้ควอไทล์: ค่าสามค่าที่เรียกว่าการวัดตำแหน่ง

พวกเขาแจกจ่ายข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่มออกเป็นสี่ส่วน (มาตรการตำแหน่งอื่น ๆ ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายคือเดซิลและเปอร์เซ็นไทล์) นี่คือลักษณะของมัน:

-The แรกควอไทล์ Q ₁คือค่าของข้อมูลดังกล่าวว่า 25% ของทั้งหมดของพวกเขาน้อยกว่าคิว1

- ควอไทล์ที่สอง Q ₂คือค่ามัธยฐานของการแจกแจงซึ่งหมายความว่าครึ่งหนึ่ง (50%) ของข้อมูลน้อยกว่าค่านี้

-Finally ที่สามควอไทล์ Q ₃แสดงให้เห็นว่า 75% ของข้อมูลที่น้อยกว่า Q 3

จากนั้นช่วงระหว่างควอไทล์หรือช่วงระหว่างควอไทล์ถูกกำหนดให้เป็นความแตกต่างระหว่างควอไทล์ที่สาม Q ₃และควอไทล์แรก Q ₁ของข้อมูล:

ช่วงอินเตอร์ควอไทล์ = R _Q = Q ₃ - Q ₁

ด้วยวิธีนี้ค่าของช่วง R _{Q จึง}ไม่ได้รับผลกระทบจากค่ามาก ด้วยเหตุนี้จึงแนะนำให้ใช้เมื่อต้องจัดการกับการแจกแจงที่เบ้เช่นนักเรียนที่สูงมากหรือเตี้ยมากที่อธิบายไว้ข้างต้น

- การคำนวณควอไทล์

มีหลายวิธีในการคำนวณพวกเขาที่นี่เราจะเสนอวิธีหนึ่ง แต่ในกรณีใด ๆ จำเป็นต้องทราบหมายเลขคำสั่งซื้อ "N _o " ซึ่งเป็นสถานที่ที่ควอไทล์ที่เกี่ยวข้องครอบครองในการแจกแจง

นั่นคือถ้าตัวอย่างเช่นคำที่ตรงกับ Q ₁คือวินาทีที่สามหรือสี่และอื่น ๆ ของการแจกแจง

ควอร์ไทล์แรก

N _หรือ (Q ₁ ) = (N + 1) / 4

ควอไทล์ที่สองหรือค่ามัธยฐาน

N _หรือ (Q ₂ ) = (N + 1) / 2

ควอร์ไทล์ที่สาม

N _หรือ (Q ₃ ) = 3 (N + 1) / 4

โดยที่ N คือจำนวนข้อมูล

มัธยฐานคือค่าที่อยู่ตรงกลางของการแจกแจง หากจำนวนข้อมูลเป็นเลขคี่จะไม่มีปัญหาในการค้นหา แต่ถ้าเป็นค่าคู่ค่ากลางทั้งสองจะถูกเฉลี่ยเพื่อให้เป็นหนึ่งเดียวกัน

เมื่อคำนวณหมายเลขคำสั่งซื้อแล้วจะปฏิบัติตามกฎข้อใดข้อหนึ่งในสามข้อนี้:

- หากไม่มีทศนิยมข้อมูลที่ระบุในการแจกแจงจะถูกค้นหาและนี่จะเป็นควอไทล์ที่ค้นหา

- เมื่อหมายเลขคำสั่งซื้ออยู่กึ่งกลางระหว่างสองรายการข้อมูลที่ระบุโดยส่วนจำนวนเต็มจะถูกนำมาเฉลี่ยด้วยข้อมูลต่อไปนี้และผลลัพธ์คือควอไทล์ที่ตรงกัน

- ไม่ว่าในกรณีอื่นมันจะถูกปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุดและนั่นจะเป็นตำแหน่งของควอไทล์

ตัวอย่างที่ใช้งานได้

ในระดับ 0 ถึง 20 นักเรียนกลุ่มคณิตศาสตร์ I 16 คนได้คะแนน (คะแนน) ต่อไปนี้ในการสอบกลางภาค:

16, 10, 12, 8, 9, 15, 18, 20, 9, 11, 1, 13, 17, 9, 10, 14

หา:

ก) ช่วงหรือช่วงของข้อมูล

b) ค่าของควอไทล์ Q ₁และ Q ₃

c) ช่วงระหว่างควอไทล์

รูปที่ 2. คะแนนในการทดสอบคณิตศาสตร์นี้มีความแปรปรวนมากขนาดนั้นเลยหรือ? ที่มา: Pixabay

วิธีแก้ปัญหา

สิ่งแรกที่ต้องทำเพื่อค้นหาเส้นทางคือการจัดลำดับข้อมูลตามลำดับการเพิ่มหรือลด ตัวอย่างเช่นในการเพิ่มลำดับคุณมี:

1, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20

ใช้สูตรที่กำหนดไว้ตอนต้น: R = x _max - x _min

R = 20 - 1 คะแนน = 19 คะแนน

จากผลที่ตามมาการจัดอันดับเหล่านี้มีการกระจายอย่างมาก

แนวทางแก้ไข b

N = 16

N _หรือ (Q ₁ ) = (N + 1) / 4 = (16 + 1) / 4 = 17/4 = 4.25

มันคือตัวเลขที่มีทศนิยมซึ่งมีส่วนของจำนวนเต็มคือ 4 จากนั้นเราไปที่การแจกแจงเรามองหาข้อมูลที่อยู่ในตำแหน่งที่สี่และค่าของมันจะถูกเฉลี่ยด้วยตำแหน่งที่ห้า เนื่องจากทั้งคู่เป็น 9 ค่าเฉลี่ยจึงเป็น 9 เช่นกัน:

คำถาม₁ = 9

ตอนนี้เราทำซ้ำขั้นตอนเพื่อค้นหา Q ₃ :

N _หรือ (Q ₃ ) = 3 (N + 1) / 4 = 3 (16 +1) / 4 = 12.75

อีกครั้งมันเป็นทศนิยม แต่เนื่องจากไม่ใช่ครึ่งทางจึงถูกปัดเศษเป็น 13 ควอไทล์ที่ค้นหาจะอยู่ในตำแหน่งที่สิบสามและเป็น:

คำถาม₃ = 16

แนวทางแก้ไข c

R _Q = Q ₃ - Q ₁ = 16 - 9 = 7 คะแนน

ซึ่งอย่างที่เราเห็นมีขนาดเล็กกว่าช่วงของข้อมูลที่คำนวณในส่วนก) มากเนื่องจากคะแนนต่ำสุดคือ 1 คะแนนซึ่งเป็นค่าที่ห่างจากส่วนที่เหลือมาก

อ้างอิง

1. Berenson, M. 1985. สถิติสำหรับการจัดการและเศรษฐศาสตร์. Interamericana SA
2. Canavos, G. 1988. ความน่าจะเป็นและสถิติ: การประยุกต์ใช้และวิธีการ. McGraw Hill
3. Devore, J. 2012. ความน่าจะเป็นและสถิติสำหรับวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์. 8. ฉบับ กรง
4. ตัวอย่างของควอไทล์ สืบค้นจาก: matematicas10.net.
5. Levin, R. 1988. สถิติสำหรับผู้ดูแลระบบ. ครั้งที่ 2 ฉบับ ศิษย์ฮอลล์.
6. Walpole, R. 2007. ความน่าจะเป็นและสถิติสำหรับวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์. เพียร์สัน