ENEAGON: คุณสมบัติวิธีการสร้าง ENEAGON ตัวอย่าง - เลข

enegonเป็นรูปหลายเหลี่ยมกับเก้าด้านข้างและเก้าจุดซึ่งอาจจะหรืออาจจะไม่ปกติ ชื่อeneágonoมาจากภาษากรีกและประกอบด้วยคำภาษากรีก ennea (เก้า) และ gonon (มุม)

ชื่ออื่นสำหรับรูปหลายเหลี่ยมเก้าด้านคือ nonagon ซึ่งมาจากคำละติน nonus (เก้า) และ gonon (จุดยอด) ในทางกลับกันถ้าด้านหรือมุมของเอนเนียกอนไม่เท่ากันแสดงว่าคุณมีเอนเอียงที่ผิดปกติ ในทางกลับกันถ้าด้านทั้งเก้าและมุมทั้งเก้ามุมของ eneagon เท่ากันแสดงว่าเป็น eneagon ปกติ

รูปที่ 1. eneagon ปกติและ eneagon ผิดปกติ (ความประณีตของตัวเอง)

คุณสมบัติของ eneagon

สำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่มี n ด้านผลรวมของมุมภายในคือ:

(n - 2) * 180º

ใน enegon จะเป็น n = 9 ดังนั้นผลรวมของมุมภายในคือ:

ซา = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

ในรูปหลายเหลี่ยมจำนวนเส้นทแยงมุมคือ:

D = n (n - 3) / 2 และในกรณีของ enegon เนื่องจาก n = 9 เราจึงมี D = 27

enegon ปกติ

ใน eneagon ปกติหรือ nonagon มีมุมภายในเก้า (9) มุมที่มีการวัดเท่ากันดังนั้นแต่ละมุมจึงวัดได้หนึ่งในเก้าของผลรวมทั้งหมดของมุมภายใน

การวัดมุมภายในของ enegon คือ1260º / 9 = 140º

รูปที่ 2. Apothem รัศมีด้านข้างมุมและจุดยอดของ eneagon ปกติ (ความประณีตของตัวเอง)

เพื่อให้ได้มาซึ่งสูตรสำหรับพื้นที่ของ enegon ปกติที่มีด้าน d จะสะดวกในการสร้างโครงสร้างเสริมบางอย่างเช่นที่แสดงในรูปที่ 2

ศูนย์ O พบได้โดยการติดตามเส้นแบ่งครึ่งของสองด้านที่อยู่ติดกัน จุดศูนย์กลาง O ห่างจากจุดยอดเท่ากัน

รัศมีความยาว r คือส่วนจากจุดศูนย์กลาง O ถึงจุดยอดของ enegon รูปที่ 2 แสดงรัศมี OD และ OE ของความยาว r

apothem คือส่วนที่ไปจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดกึ่งกลางของด้านหนึ่งของ enegon ตัวอย่างเช่น OJ คือ apothem ที่มีความยาวเป็น.

พื้นที่ของ enegon รู้จักด้านข้างและ apothem

เราพิจารณาสามเหลี่ยม ODE ในรูปที่ 2 พื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้คือผลคูณของ DE ฐานและความสูง OJ หารด้วย 2:

พื้นที่ ODE = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

เนื่องจากมี 9 สามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากันใน enegon จึงสรุปได้ว่าพื้นที่เดียวกันคือ:

พื้นที่ Enegon = (9/2) (d * a)

บริเวณด้านข้างที่เป็นที่รู้จัก

หากทราบเฉพาะความยาว d ของด้านข้างของ enegon จำเป็นต้องหาความยาวของอะโปเธมเพื่อใช้สูตรในส่วนก่อนหน้านี้

เราพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก OJE ใน J (ดูรูปที่ 2) หากใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติแทนเจนต์เราจะได้รับ:

ตาล (∡ OEJ) = OJ / EJ

มุม∡OEJ = 140º / 2 = 70ºเนื่องจาก EO เป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในของ enegon

ในทางกลับกัน OJ คือเครื่องหมายของความยาว a.

จากนั้นเนื่องจาก J เป็นจุดกึ่งกลางของ ED จึงเป็นไปตามนั้น EJ = d / 2

การแทนที่ค่าก่อนหน้าในความสัมพันธ์แทนเจนต์ที่เรามี:

ตาล (70º) = a / (d / 2)

ตอนนี้เราล้างความยาวของ apothem:

a = (d / 2) สีแทน (70º)

ผลลัพธ์ก่อนหน้านี้ถูกแทนที่ในสูตรพื้นที่เพื่อให้ได้:

พื้นที่ของ enegon = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) tan (70º))

ในที่สุดเราพบสูตรที่ช่วยให้ได้พื้นที่ของ enegon ปกติหากทราบเฉพาะความยาว d ของด้านข้าง:

พื้นที่ของ enegon = (9/4) d ² tan (70º) = 6.1818 d ²

ปริมณฑลของ enegon ปกติรู้จักด้านข้าง

เส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมคือผลรวมด้านข้าง ในกรณีของ enegon เนื่องจากแต่ละด้านวัดความยาว d เส้นรอบวงของมันจะเป็นผลรวมเก้าคูณ d นั่นคือ:

ปริมณฑล = 9 d

ปริมณฑลของ enegon รู้จักรัศมีของมัน

เมื่อพิจารณาจากสามเหลี่ยมมุมฉาก OJE ใน J (ดูรูปที่ 2) จะใช้อัตราส่วนโคไซน์ตรีโกณมิติ:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

ได้มาจากที่ไหน:

d = 2r คอส (70º)

การแทนที่ผลลัพธ์นี้เราได้รับสูตรสำหรับปริมณฑลเป็นฟังก์ชันของรัศมีของ enegon:

ปริมณฑล = 9 d = 18 r cos (70º) = 6.1564 r

วิธีการทำ enegon ปกติ

1- ในการสร้าง eneagon ปกติด้วยไม้บรรทัดและเข็มทิศให้เริ่มจากเส้นรอบวง c ที่ล้อมรอบ eneagon (ดูรูปที่ 3)

2- เส้นตั้งฉากสองเส้นลากผ่านศูนย์กลาง O ของเส้นรอบวง จากนั้นจุดตัด A และ B ของเส้นใดเส้นหนึ่งจะถูกทำเครื่องหมายด้วยเส้นรอบวง

3- ด้วยเข็มทิศโดยตั้งศูนย์กลางที่จุดสกัด B และช่องเปิดเท่ากับรัศมี BO จะมีการดึงส่วนโค้งที่ตัดเส้นรอบวงเดิมที่จุด C

รูปที่ 3. ขั้นตอนในการสร้าง enegon ปกติ (ความประณีตของตัวเอง)

4- ขั้นตอนก่อนหน้านี้ซ้ำแล้วซ้ำอีก แต่สร้างจุดศูนย์กลางที่ A และรัศมี AO ส่วนโค้งจะดึงเส้นรอบวง c ที่จุด E

5- เมื่อเปิด AC และตรงกลางใน A จะมีการวาดส่วนโค้งของเส้นรอบวง ในทำนองเดียวกันกับการเปิด BE และศูนย์ B จะดึงส่วนโค้งอีกอัน จุดตัดของทั้งสองส่วนโค้งนี้ถูกทำเครื่องหมายเป็นจุด G

6- จัดกึ่งกลางที่ G และเปิด GA ส่วนโค้งจะถูกดึงออกมาเพื่อสกัดกั้นแกนทุติยภูมิ (ในกรณีนี้แนวนอน) ที่จุด H จุดตัดของแกนทุติยภูมิที่มีเส้นรอบวงเดิม c ถูกทำเครื่องหมายเป็น I

7- ความยาวของส่วน IH เท่ากับความยาว d ของด้านข้างของ enegon

8- เมื่อเข็มทิศเปิด IH = d ส่วนโค้งของศูนย์กลาง A รัศมี AJ, รัศมีกลาง J AK, รัศมี K ศูนย์กลาง KL และ LP รัศมีศูนย์ L จะถูกดึงออกมาอย่างต่อเนื่อง

9- ในทำนองเดียวกันเริ่มจาก A และจากทางด้านขวาส่วนโค้งของรัศมี IH = d จะถูกวาดโดยทำเครื่องหมายจุด M, N, C และ Q บนเส้นรอบวงเดิม c

10- ในที่สุดกลุ่ม AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ และสุดท้าย PB จะถูกดึงออกมา

ควรสังเกตว่าวิธีการก่อสร้างนั้นไม่ถูกต้องทั้งหมดเนื่องจากสามารถตรวจสอบได้ว่า PB ด้านสุดท้ายยาวกว่าด้านอื่น ๆ 0.7% จนถึงปัจจุบันยังไม่มีวิธีการสร้างด้วยไม้บรรทัดและเข็มทิศที่แม่นยำ 100%

ตัวอย่าง

นี่คือตัวอย่างที่ได้ผล

ตัวอย่าง 1

เราต้องการสร้าง enegon ปกติที่ด้านข้างมีขนาด 2 ซม. รัศมีใดที่ต้องมีเส้นรอบวงที่ล้อมรอบดังนั้นโดยการใช้โครงสร้างที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้จะได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

ในส่วนก่อนหน้าสูตรที่เกี่ยวข้องกับรัศมี r ของวงกลมที่ถูกล้อมรอบกับด้าน d ของ enegon ปกติถูกอนุมานได้:

d = 2r คอส (70º)

การแก้ r จากนิพจน์ก่อนหน้าเรามี:

r = d / (2 cos (70º)) = 1.4619 * ง

การแทนที่ค่า d = 2 ซม. ในสูตรก่อนหน้านี้จะให้รัศมี r เท่ากับ 2.92 ซม.

ตัวอย่าง 2

อะไรคือพื้นที่ของ enegon ปกติที่มีด้านข้าง 2 ซม.?

ในการตอบคำถามนี้เราต้องอ้างถึงสูตรที่แสดงไว้ก่อนหน้านี้ซึ่งช่วยให้เราสามารถค้นหาพื้นที่ของ enegon ที่รู้จักโดยความยาว d ของด้านข้าง: