- สูตร
- ระยะห่างแบบยุคลิดในสองมิติ
- พื้นผิวที่ไม่ใช่แบบยุคลิด
- ระยะห่างแบบยุคลิดใน n มิติ
- วิธีการคำนวณระยะทางแบบยุคลิด
- ตัวอย่าง
- อ้างอิง
ระยะทางยุคลิดเป็นจำนวนบวกที่บ่งชี้ว่าการแยกระหว่างจุดสองจุดในพื้นที่ที่หลักการและทฤษฎีของเรขาคณิตของยุคลิดเป็นจริง
ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด A และ B ในปริภูมิแบบยุคลิดคือความยาวของเวกเตอร์ABซึ่งเป็นของเส้นเดียวที่ผ่านจุดเหล่านี้
รูปที่ 1 . ช่องว่างแบบยุคลิดมิติเดียวที่สร้างขึ้นโดยเส้น (OX) หลายจุดจะแสดงบนพื้นที่ดังกล่าวพิกัดและระยะทาง (จัดทำโดย Ricardo Pérez).
ช่องว่างที่มนุษย์รับรู้และตำแหน่งที่เราเคลื่อนที่เป็นพื้นที่สามมิติ (3-D) ที่ซึ่งสัจพจน์และทฤษฎีบทของเรขาคณิตของยูคลิดถูกเติมเต็ม พื้นที่ย่อยสองมิติ (ระนาบ) และพื้นที่ย่อยหนึ่งมิติ (เส้น) มีอยู่ในช่องว่างนี้
ช่องว่างแบบยุคลิดอาจเป็นมิติเดียว (1-D) สองมิติ (2 มิติ) สามมิติ (3 มิติ) หรือ n มิติ (nD)
จุดในช่องว่างมิติเดียว X คือจุดที่อยู่ในเส้นเชิง (OX) ทิศทางจาก O ถึง X คือทิศทางบวก ในการหาจุดบนเส้นนี้ระบบคาร์ทีเซียนจะถูกใช้ซึ่งประกอบด้วยการกำหนดตัวเลขให้กับแต่ละจุดของเส้น
สูตร
ระยะทางแบบยุคลิด d (A, B) ระหว่างจุด A และ B ซึ่งอยู่บนเส้นถูกกำหนดให้เป็นรากที่สองของกำลังสองของความแตกต่างในพิกัด X:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
คำจำกัดความนี้รับประกันได้ว่า: ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดเป็นปริมาณบวกเสมอ และระยะห่างระหว่าง A และ B เท่ากับระยะห่างระหว่าง B และ A
รูปที่ 1 แสดงปริภูมิแบบยุคลิดหนึ่งมิติที่เกิดจากเส้น (OX) และหลายจุดบนเส้นดังกล่าว แต่ละจุดมีพิกัด:
จุด A มีพิกัด XA = 2.5 จุด B พิกัด XB = 4 และจุด C พิกัด XC = -2.5
d (A, B) = √ ((4 - 2.5) 2) = 1.5
d (B, A) = √ ((2.5 - 4) 2) = 1.5
d (A, C) = √ ((- 2.5 - 2.5) 2) = 5.0
ระยะห่างแบบยุคลิดในสองมิติ
อวกาศแบบยุคลิดสองมิติคือระนาบ จุดของระนาบแบบยุคลิดเป็นไปตามสัจพจน์ของเรขาคณิตแบบยุคลิดตัวอย่างเช่น:
- เส้นเดียวผ่านสองจุด
- จุดสามจุดบนระนาบเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมภายในรวมกันได้สูงสุด180º
- ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขาของมัน
ในสองมิติจุดมีพิกัด X และ Y
ตัวอย่างเช่นจุด P มีพิกัด (XP, YP) และพิกัดจุด Q (XQ, YQ)
ระยะห่างแบบยุคลิดระหว่างจุด P และ Q ถูกกำหนดด้วยสูตรต่อไปนี้:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
ควรสังเกตว่าสูตรนี้เทียบเท่ากับทฤษฎีบทพีทาโกรัสดังแสดงในรูปที่ 2
รูปที่ 2. ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด P และ Q ในระนาบเป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส (จัดทำโดย Ricardo Pérez).
พื้นผิวที่ไม่ใช่แบบยุคลิด
ช่องว่างสองมิติไม่ใช่ทั้งหมดที่เป็นไปตามรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิด พื้นผิวของทรงกลมเป็นช่องว่างสองมิติ
มุมของสามเหลี่ยมบนพื้นผิวทรงกลมไม่รวมกันได้ถึง180ºและด้วยเหตุนี้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงไม่เป็นจริงดังนั้นพื้นผิวทรงกลมจึงไม่เป็นไปตามสัจพจน์ของยูคลิด
ระยะห่างแบบยุคลิดใน n มิติ
แนวคิดของพิกัดสามารถขยายให้ใหญ่ขึ้นได้:
- ในจุด 2 มิติ P มีพิกัด (XP, YP)
- ใน 3 มิติจุด Q มีพิกัด (XQ, YQ, ZQ)
- ใน 4 มิติจุด R จะมีพิกัด (XR, YR, ZR, WR)
- ใน nD จุด P จะมีพิกัด (P1, P2, P3, … .. , Pn)
ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด P และ Q ของปริภูมิแบบยุคลิด n มิติคำนวณด้วยสูตรต่อไปนี้:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …… .. + (Qn - Pn) ^ 2)
ตำแหน่งของจุดทั้งหมด Q ในปริภูมิยูคลิด n มิติที่มีระยะห่างเท่ากันจากจุดคงที่อีกจุดหนึ่ง (จุดศูนย์กลาง) ก่อตัวเป็นไฮเพอร์สเฟียร์ n มิติ
วิธีการคำนวณระยะทางแบบยุคลิด
ต่อไปนี้แสดงวิธีคำนวณระยะห่างระหว่างจุดสองจุดที่อยู่ในปริภูมิสามมิติแบบยุคลิด
สมมติว่าจุด A ของพิกัดคาร์ทีเซียน x, y, z กำหนดโดย A :( 2, 3, 1) และจุด B ของพิกัด B :( -3, 2, 2)
เราต้องการกำหนดระยะห่างระหว่างจุดเหล่านี้ซึ่งการใช้งานเกิดจากความสัมพันธ์ทั่วไป:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5,196
ตัวอย่าง
มีสองจุด P และ Q จุด P ของพิกัดคาร์ทีเซียน x, y, z กำหนดโดย P :( 2, 3, 1) และจุด Q ของพิกัด Q :( -3, 2, 1)
ระบบจะขอให้ค้นหาพิกัดของจุดกึ่งกลาง M ของส่วนที่เชื่อมต่อทั้งสองจุด
จุดที่ไม่รู้จัก M ถือว่ามีพิกัด (X, Y, Z)
เนื่องจาก M เป็นจุดกึ่งกลางจึงต้องเป็นจริง d (P, M) = d (Q, M) ดังนั้น d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 ต้องเป็นจริงด้วย:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
ในกรณีนี้คำที่สามมีค่าเท่ากันในสมาชิกทั้งสองนิพจน์ก่อนหน้านี้ลดความซับซ้อนเป็น:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
จากนั้นเรามีสมการที่มี X และ Y ที่ไม่รู้จักสองสมการจำเป็นต้องใช้สมการอื่นในการแก้ปัญหา
จุด M เป็นของเส้นที่ผ่านจุด P และ Q ซึ่งเราสามารถคำนวณได้ดังนี้:
อันดับแรกเราจะหาเวกเตอร์ผู้กำกับPQของเส้น: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>
จากนั้นPM = OP + a PQโดยที่OPเป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของจุด P และเป็นพารามิเตอร์ที่เป็นของจำนวนจริง
สมการข้างต้นเรียกว่าสมการเวกเตอร์ของเส้นซึ่งในพิกัดคาร์ทีเซียนใช้รูปแบบต่อไปนี้:
<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>
เรามีส่วนประกอบที่สอดคล้องกัน:
X - 2 = 2-5 ก; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0
นั่นคือ X = 4 - 5a, Y = 6 - a สุดท้าย Z = 1
มันถูกแทนที่ในนิพจน์กำลังสองที่เกี่ยวข้องกับ X ถึง Y:
(4 - 5 ก - 2) ^ 2 + (6 - ก - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - ก - 2) ^ 2
มันง่ายขึ้น:
(2 - 5 ก) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - ก) ^ 2
ตอนนี้แผ่ออก:
4 + 25 ก ^ 2 - 20a + 9 + ก ^ 2 - 6a = 49 + 25 ก ^ 2 - 70a + 16 + ก ^ 2 - 8a
ทำให้ง่ายขึ้นโดยยกเลิกเงื่อนไขที่เหมือนกันในสมาชิกทั้งสอง:
4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a
พารามิเตอร์ a ถูกล้าง:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52 ส่งผลให้ a = 1
นั่นคือ X = 4 - 5, Y = 6 - 1 สุดท้าย Z = 1
ในที่สุดเราก็ได้พิกัดคาร์ทีเซียนของจุดกึ่งกลาง M ของส่วน:
M: (-1, 5, 1)
อ้างอิง
- Lehmann C. (1972) เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. UTEHA
- Superprof ระยะห่างระหว่างสองจุด ดึงมาจาก: superprof.es
- ไต้หวัน ระยะห่างระหว่าง Affine Sublinear Manifolds กู้คืนจาก: prometeo.matem.unam.mx/
- วิกิพีเดีย ระยะทางแบบยุคลิด สืบค้นจาก: es.wikipedia.com
- วิกิพีเดีย อวกาศยุคลิด. สืบค้นจาก: es.wikipedia.com