ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ย: คำจำกัดความและสูตรแบบฝึกหัดที่แก้ไขได้ - กายภาพ - 2026

ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยของการหมุนถูกกำหนดให้เป็นมุมที่หมุนต่อหน่วยเวลาของเวกเตอร์ตำแหน่งของจุดที่อธิบายวงกลม ใบพัดของพัดลมเพดาน (เช่นเดียวกับที่แสดงในรูปที่ 1) ตามการเคลื่อนที่เป็นวงกลมและความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยของการหมุนจะคำนวณโดยการหาผลหารระหว่างมุมที่หมุนและเวลาที่มุมนั้นเคลื่อนที่ไป

กฎที่ว่าการเคลื่อนที่แบบหมุนตามนั้นค่อนข้างคล้ายกับกฎที่คุ้นเคยสำหรับการเคลื่อนที่แบบแปล นอกจากนี้ยังสามารถวัดระยะทางที่เดินทางได้เป็นเมตรอย่างไรก็ตามขนาดเชิงมุมมีความเกี่ยวข้องเป็นพิเศษเนื่องจากช่วยในการอธิบายการเคลื่อนไหวได้ดีมาก

รูปที่ 1. ใบพัดของพัดลมมีความเร็วเชิงมุม ที่มา: Pixabay

โดยทั่วไปอักษรกรีกใช้สำหรับปริมาณเชิงมุมและอักษรละตินสำหรับปริมาณเชิงเส้นที่สอดคล้องกัน

ความหมายและสูตร

ในรูปที่ 2 การเคลื่อนที่ของจุดบนเส้นทางวงกลม c จะแสดง ตำแหน่ง P ของจุดตรงกับ t ทันทีและตำแหน่งเชิงมุมที่สอดคล้องกับทันทีนั้นคือ ϕ

จากช่วงเวลา t ช่วงเวลาที่ผ่านไป ในช่วงเวลานั้นตำแหน่งใหม่ของจุดคือ P 'และตำแหน่งเชิงมุมเพิ่มขึ้นตามมุม Δϕ

รูปที่ 2. การเคลื่อนที่แบบวงกลมของจุด ที่มา: self made

ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยωคือมุมที่เดินทางต่อหนึ่งหน่วยเวลาดังนั้นผลหาร Δϕ / Δtจะแทนความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยระหว่างเวลา t และ t + Δt:

เนื่องจากมุมถูกวัดเป็นเรเดียนและเวลาเป็นวินาทีหน่วยสำหรับความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยจึงเป็น rad / s ถ้าเราต้องการคำนวณความเร็วเชิงมุมที่ t ทันทีเราจะต้องคำนวณอัตราส่วน Δϕ / Δtเมื่อΔt➡0

การหมุนสม่ำเสมอ

การเคลื่อนที่แบบหมุนจะสม่ำเสมอหากสังเกตได้ทันทีมุมที่เดินทางจะเท่ากันในช่วงเวลาเดียวกัน ถ้าการหมุนสม่ำเสมอความเร็วเชิงมุมในทันทีใด ๆ จะเกิดขึ้นพร้อมกับความเร็วเชิงมุมเฉลี่ย

ในการเคลื่อนที่แบบหมุนสม่ำเสมอเวลาที่เกิดการปฏิวัติสมบูรณ์ครั้งหนึ่งเรียกว่าช่วงเวลาและแสดงโดย T.

นอกจากนี้เมื่อทำการเลี้ยวที่สมบูรณ์มุมที่เดินทางคือ2πดังนั้นในการหมุนสม่ำเสมอความเร็วเชิงมุมωจึงสัมพันธ์กับคาบ T ตามสูตรต่อไปนี้:

ความถี่ f ของการหมุนสม่ำเสมอถูกกำหนดให้เป็นผลหารระหว่างจำนวนรอบและเวลาที่ใช้ในการหมุนนั่นคือถ้า N รอบเกิดขึ้นในเวลา t ความถี่จะเป็น:

f = N / Δt

เนื่องจากเทิร์นเดียว (N = 1) ถูกเดินทางในเวลา T (ช่วงเวลา) จึงได้รับความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

ฉ = 1 / T

นั่นคือในการหมุนสม่ำเสมอความเร็วเชิงมุมสัมพันธ์กับความถี่ผ่านความสัมพันธ์:

ω = 2π ・ ฉ

ความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงมุมและความเร็วเชิงเส้น

ความเร็วเชิงเส้น v คือผลหารระหว่างระยะทางที่เดินทางและเวลาที่ใช้ในการเดินทาง ในรูปที่ 2 ระยะทางที่เดินทางคือความยาวส่วนโค้ง

ส่วนโค้งเป็นสัดส่วนกับมุมเดินทาง Δϕ และรัศมี r ความสัมพันธ์ต่อไปนี้จะถูกเติมเต็ม:

Δs = r ・ Δϕ

โดยมีเงื่อนไขว่า Δϕ วัดเป็นเรเดียน

หากเราแบ่งนิพจน์ก่อนหน้าด้วยเวลาที่ล่วงเลยเราจะได้รับ:

(Δs / Δt) = r ・ (Δϕ / Δt)

ผลหารของสมาชิกตัวแรกคือความเร็วเชิงเส้นและผลหารของสมาชิกตัวที่สองคือความเร็วเชิงมุมเฉลี่ย:

v = r ・ ω

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

- การออกกำลังกาย 1

ปลายใบพัดลมเพดานแสดงในรูปที่ 1 ด้วยความเร็ว 5 m / s และใบพัดมีรัศมี 40 ซม.

ด้วยข้อมูลเหล่านี้ให้คำนวณ: i) ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยของล้อ ii) จำนวนการหมุนของล้อในหนึ่งวินาที iii) ช่วงเวลาเป็นวินาที

สารละลาย

i) ความเร็วเชิงเส้นคือ v = 5 m / s

รัศมีคือ r = 0.40 ม.

จากความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงเส้นและความเร็วเชิงมุมเราแก้ปัญหาหลัง:

v = r ・ ω => ω = v / r = (5 m / s) / (0.40 ม.) = 12.57 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (12.57 rad / s) / (2π rad) = 2 รอบ / วินาที

iii) T = 1 / f = 1 / (2 เทิร์น / วินาที) = 0.5 วินาทีสำหรับแต่ละเทิร์น

- การออกกำลังกาย 2

รถเข็นของเล่นเคลื่อนที่ไปบนรางวงกลมที่มีรัศมี 2 เมตร ที่ 0s ตำแหน่งเชิงมุมคือ 0 rad แต่เมื่อเวลาผ่านไป t ตำแหน่งเชิงมุมของมันคือ

φ (t) = 2 ・ t.

ด้วยข้อมูลนี้

i) คำนวณความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยในช่วงเวลาต่อไปนี้ ; และในที่สุดก็ล่วงเลย

ii) จากผลลัพธ์ของส่วนที่ i) การเคลื่อนไหวสามารถพูดอะไรได้บ้าง?

iii) กำหนดความเร็วเชิงเส้นเฉลี่ยในช่วงเวลาเดียวกันจากส่วนที่ i)

iv) ค้นหาความเร็วเชิงมุมและความเร็วเชิงเส้นสำหรับช่วงเวลาใด ๆ

สารละลาย

i) ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้:

เราจะคำนวณมุมที่เดินทางและเวลาที่ล่วงเลยไปในแต่ละช่วงเวลา

ช่วงที่ 1: Δϕ = ϕ (0.5 วินาที) - ϕ (0.0 วินาที) = 2 (rad / s) * 0.5s - 2 (rad / s) * 0.0s = 1.0 rad

Δt = 0.5s - 0.0s = 0.5s

ω = Δϕ / Δt = 1.0rad / 0.5s = 2.0 rad / s

ช่วงที่ 2: Δϕ = ϕ (1.0s) - ϕ (0.5s) = 2 (rad / s) * 1.0s - 2 (rad / s) * 0.5s = 1.0 rad

Δt = 1.0s - 0.5s = 0.5s

ω = Δϕ / Δt = 1.0rad / 0.5s = 2.0 rad / s

ช่วงที่ 3: Δϕ = ϕ (1.5s) - ϕ (1.0s) = 2 (rad / s) * 1.5s - 2 (rad / s) * 1.0s = 1.0 rad

Δt = 1.5s - 1.0s = 0.5s

ω = Δϕ / Δt = 1.0rad / 0.5s = 2.0 rad / s

ช่วงที่ 4: Δϕ = ϕ (1.5s) - ϕ (0.0s) = 2 (rad / s) * 1.5s - 2 (rad / s) * 0.0s = 3.0 rad

Δt = 1.5s - 0.0s = 1.5s

ω = Δϕ / Δt = 3.0rad / 1.5s = 2.0 rad / s

ii) ในมุมมองของผลลัพธ์ก่อนหน้านี้ซึ่งมีการคำนวณความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยในช่วงเวลาที่ต่างกันซึ่งจะได้ผลลัพธ์เดียวกันเสมอดูเหมือนว่าจะบ่งชี้ว่าเป็นการเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ อย่างไรก็ตามผลลัพธ์เหล่านี้ยังไม่สามารถสรุปได้

วิธีที่จะให้ข้อสรุปคือการคำนวณความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยสำหรับช่วงเวลาโดยพลการ: Δϕ = ϕ (t ') - ϕ (t) = 2 * t' - 2 * t = 2 * (t'-t)

Δt = t '- t

ω = Δϕ / Δt = 2 * (t'-t) / (t'-t) = 2.0 rad / s

ซึ่งหมายความว่ารถเข็นเด็กมีความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยคงที่ 2 rad / s ในช่วงเวลาใด ๆ ที่พิจารณา แต่คุณสามารถไปได้ไกลกว่านี้หากคุณคำนวณความเร็วเชิงมุมทันที:

สิ่งนี้ถูกตีความว่ารถของเล่นตลอดเวลามีความเร็วเชิงมุมคงที่ = 2 rad / s

อ้างอิง

1. Giancoli, D. ฟิสิกส์. หลักการใช้งาน พิมพ์ครั้งที่ 6. ศิษย์ฮอลล์. 30- 45.
2. Kirkpatrick, L. 2007. ฟิสิกส์: มองโลก. 6 ^{ta การ}แก้ไขแบบย่อ การเรียนรู้ Cengage 117.
3. เรสนิก, อาร์. (2542). ทางกายภาพ. เล่มที่ 1. พิมพ์ครั้งที่สามในภาษาสเปน เม็กซิโก Compañía Editorial Continental SA de CV 33-52
4. Serway, R. , Jewett, J. (2008). ฟิสิกส์สำหรับวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม. เล่ม 1. 7th. ฉบับ เม็กซิโก บรรณาธิการการเรียนรู้ Cengage 32-55.
5. วิกิพีเดีย ความเร็วเชิงมุม. สืบค้นจาก: wikipedia.com