- Coplanar เวกเตอร์และสมการของเครื่องบิน
- สมการคาร์ทีเซียนของระนาบ
- เงื่อนไขสำหรับเวกเตอร์สามตัวที่จะไม่ใช่ coplanar
- สภาพที่ไม่ใช่ coplanarity
- เงื่อนไขทางเลือกของการไม่ร่วมมือกัน
- แบบฝึกหัดที่แก้ไข
- - การออกกำลังกาย 1
- สารละลาย
- - การออกกำลังกาย 2
- สารละลาย
- อ้างอิง
ไม่ใช่ - เวกเตอร์ในระนาบเดียวกันเป็นผู้ที่ไม่ได้ร่วมระนาบเดียวกัน เวกเตอร์ฟรีสองตัวและจุดกำหนดระนาบเดียว เวกเตอร์ที่สามอาจใช้ระนาบนั้นร่วมกันหรือไม่ก็ได้และถ้าไม่เป็นเช่นนั้นก็จะเป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คู่ระนาบ
ไม่สามารถแสดงเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ดาวเคราะห์ในช่องว่างสองมิติเช่นกระดานดำหรือแผ่นกระดาษได้เนื่องจากเวกเตอร์บางส่วนมีอยู่ในมิติที่สาม ในการแสดงให้ถูกต้องคุณต้องใช้มุมมอง
รูปที่ 1. เวกเตอร์ Coplanar และ non-coplanar (ความประณีตของตัวเอง)
หากเราดูรูปที่ 1 วัตถุทั้งหมดที่แสดงอยู่ในระนาบของหน้าจออย่างเคร่งครัดอย่างไรก็ตามด้วยมุมมองที่สมองของเราสามารถจินตนาการถึงเครื่องบิน (P) ที่ออกมาจากมันได้
บนระนาบนั้น (P) คือเวกเตอร์r , s , uในขณะที่เวกเตอร์vและwไม่อยู่ในระนาบนั้น
ดังนั้นเวกเตอร์r , s , uจึงเป็น coplanar หรือ coplanar ซึ่งกันและกันเนื่องจากใช้ระนาบเดียวกัน (P) เวกเตอร์vและwไม่ใช้ระนาบร่วมกับเวกเตอร์อื่น ๆ ที่แสดงดังนั้นจึงไม่ใช่เครื่องบินร่วม
Coplanar เวกเตอร์และสมการของเครื่องบิน
ระนาบถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันหากมีสามจุดในพื้นที่สามมิติ
สมมติว่าทั้งสามจุดคือจุด A จุด B และจุด C ที่กำหนดระนาบ (P) ด้วยจุดเหล่านี้จึงเป็นไปได้ที่จะสร้างเวกเตอร์สองตัวAB = uและAC = vซึ่งโดยการสร้าง coplanar กับระนาบ (P)
ผลคูณไขว้ (หรือผลคูณไขว้) ของเวกเตอร์ทั้งสองนี้ส่งผลให้เวกเตอร์ที่สามตั้งฉาก (หรือปกติ) กับพวกมันดังนั้นจึงตั้งฉากกับระนาบ (P):
n = u X v => n ⊥ uและn ⊥ v => n ⊥ (P)
จุดอื่นใดที่เป็นของระนาบ (P) ต้องเป็นไปตามที่เวกเตอร์AQตั้งฉากกับเวกเตอร์n ; เทียบเท่ากับการบอกว่า dot product (หรือ dot product) ของn ที่มีAQต้องเป็นศูนย์:
n • AQ = 0 (*)
เงื่อนไขก่อนหน้านี้เทียบเท่ากับการบอกว่า:
AQ • ( u X v ) = 0
สมการนี้ทำให้แน่ใจว่าจุด Q เป็นของระนาบ (P)
สมการคาร์ทีเซียนของระนาบ
สมการข้างต้นสามารถเขียนในรูปแบบคาร์ทีเซียน ในการทำเช่นนี้เราเขียนพิกัดของจุด A, Q และส่วนประกอบของเวกเตอร์ปกติn :
ดังนั้นส่วนประกอบของ AQ คือ:
เงื่อนไขสำหรับเวกเตอร์AQ ที่จะอยู่ในระนาบ (P) คือเงื่อนไข (*) ซึ่งตอนนี้เขียนไว้ดังนี้:
การคำนวณจุดผลิตภัณฑ์ยังคงอยู่:
หากได้รับการพัฒนาและจัดเรียงใหม่จะยังคงอยู่:
นิพจน์ก่อนหน้านี้คือสมการคาร์ทีเซียนของระนาบ (P) ซึ่งเป็นฟังก์ชันของส่วนประกอบของเวกเตอร์ปกติถึง (P) และพิกัดของจุด A ที่เป็นของ (P)
เงื่อนไขสำหรับเวกเตอร์สามตัวที่จะไม่ใช่ coplanar
เท่าที่เห็นในส่วนก่อนหน้านี้สภาพAQ • ( ยูเอ็กซ์วี ) = 0 รับประกันว่าเวกเตอร์AQเป็นระนาบเดียวกันเพื่อUและV
ถ้าเราเรียกเวกเตอร์AQ wเราสามารถยืนยันได้ว่า:
w , uและvเป็น coplanar ถ้าw • ( u X v ) = 0
สภาพที่ไม่ใช่ coplanarity
ถ้าผลคูณสาม (หรือผลิตภัณฑ์ผสม) ของเวกเตอร์สามตัวแตกต่างจากศูนย์แสดงว่าเวกเตอร์ทั้งสามนั้นไม่ใช่คู่กัน
ถ้าw • ( u X v ) ≠ 0 แล้วเวกเตอร์ u, v และ w จะไม่ใช่ coplanar
หากมีการนำส่วนประกอบคาร์ทีเซียนของเวกเตอร์ u, v และ w มาใช้เงื่อนไขของการไม่เป็นคู่กันสามารถเขียนได้ดังนี้:
ผลิตภัณฑ์สามตัวมีการตีความทางเรขาคณิตและแสดงถึงปริมาตรของคู่ขนานที่สร้างขึ้นโดยเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ coplanar สามตัว
รูปที่ 2. เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ coplanar สามตัวกำหนดคู่ขนานซึ่งมีโวลุ่มเป็นโมดูลของผลิตภัณฑ์สามตัว (ความประณีตของตัวเอง)
เหตุผลมีดังนี้; เมื่อเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คู่ระนาบสองตัวถูกคูณด้วยเวกเตอร์จะได้เวกเตอร์ที่มีขนาดเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่พวกมันสร้างขึ้น
จากนั้นเมื่อเวกเตอร์นี้คูณด้วยสเกลาร์เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ coplanar ตัวที่สามสิ่งที่เรามีคือการฉายภาพไปยังเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบที่สองตัวแรกกำหนดคูณด้วยพื้นที่ที่กำหนด
กล่าวอีกนัยหนึ่งเรามีพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างโดยสองตัวแรกคูณด้วยความสูงของเวกเตอร์ที่สาม
เงื่อนไขทางเลือกของการไม่ร่วมมือกัน
หากคุณมีเวกเตอร์สามตัวและเวกเตอร์ใด ๆ ไม่สามารถเขียนเป็นการรวมเชิงเส้นของอีกสองเวกเตอร์ได้แสดงว่าเวกเตอร์สามตัวนั้นไม่ใช่เวกเตอร์ร่วม นั่นคือเวกเตอร์สามตัวu , vและwไม่ใช่ coplanar หากเงื่อนไข:
α u + β v + γ w = 0
จะพอใจก็ต่อเมื่อα = 0, β = 0 และγ = 0
แบบฝึกหัดที่แก้ไข
- การออกกำลังกาย 1
มีเวกเตอร์สามตัว
คุณ = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) และw = (-1, 2, z)
สังเกตว่าองค์ประกอบ z ของเวกเตอร์wไม่เป็นที่รู้จัก
ค้นหาช่วงของค่าที่ z สามารถรับได้เพื่อรับประกันว่าเวกเตอร์สามตัวจะไม่ใช้ระนาบเดียวกัน
สารละลาย
w • ( u X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18
เราตั้งค่านิพจน์นี้ให้เท่ากับค่าศูนย์
21 z + 18 = 0
และเราแก้หา z
z = -18 / 21 = -6/7
ถ้าตัวแปร z รับค่า -6/7 ดังนั้นเวกเตอร์ทั้งสามจะเป็น coplanar
ดังนั้นค่าของ z ที่รับประกันว่าเวกเตอร์นั้นไม่ใช่ coplanar คือค่าในช่วงเวลาต่อไปนี้:
z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)
- การออกกำลังกาย 2
ค้นหาปริมาตรของ parallelepiped ที่แสดงในรูปต่อไปนี้:
สารละลาย
ในการหาปริมาตรของ parallelepiped ที่แสดงในรูปส่วนประกอบคาร์ทีเซียนของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ coplanar พร้อมกันสามตัวที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดจะถูกกำหนด อันแรกคือเวกเตอร์uของ 4m และขนานกับแกน X:
u = (4, 0, 0) ม
อย่างที่สองคือเวกเตอร์vในระนาบ XY ขนาด 3 ม. ซึ่งเป็น60ºพร้อมแกน X:
v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1.5, 2.6, 0.0) ม
และอันที่สามคือเวกเตอร์w 5m และการฉายในระนาบ XY มีรูปแบบ60ºพร้อมแกน X และ w สร้าง30ºพร้อมแกน Z
w = (5 * บาป30º * cos 60º, 5 * บาป30º * บาป60º, 5 * บาป30º)
เมื่อทำการคำนวณแล้วเรามี: w = (1.25, 2.17, 2.5) ม.
อ้างอิง
- Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. เล่มที่ 1. Kinematics. 31-68.
- ทางกายภาพ. โมดูล 8: เวกเตอร์ ดึงมาจาก: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. กลศาสตร์สำหรับวิศวกร. คงที่ พิมพ์ครั้งที่ 6. สำนักพิมพ์ทวีป. 28-66.
- McLean, W. Schaum ซีรี่ส์ กลศาสตร์สำหรับวิศวกร: สถิติและพลวัต พิมพ์ครั้งที่ 3 McGraw Hill 1-15.
- วิกิพีเดีย เวกเตอร์. สืบค้นจาก: es.wikipedia.org