เวกเตอร์ฟรี: คุณสมบัติตัวอย่างแบบฝึกหัด - กายภาพ - 2026

ฟรีพาหะเป็นผู้ที่มีการระบุไว้อย่างเต็มที่โดยขนาดของทิศทางและความรู้สึกโดยไม่จำเป็น ที่จะ บ่งบอกถึงจุดของการประยุกต์ใช้หรือแหล่งที่มาโดยเฉพาะอย่างยิ่ง

เนื่องจากเวกเตอร์ไม่มีที่สิ้นสุดสามารถวาดได้ด้วยวิธีนี้เวกเตอร์อิสระจึงไม่ใช่เอนทิตีเดียว แต่เป็นชุดของเวกเตอร์ที่ขนานและเหมือนกันซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่ง

รูปที่ 1. เวกเตอร์ฟรีต่างๆ ที่มา: self made.

สมมติว่าเรามีเวกเตอร์ขนาด 3 หลายตัวชี้ขึ้นในแนวตั้งหรือขนาด 5 และเอียงไปทางขวาดังรูปที่ 1

ไม่มีการนำเวกเตอร์เหล่านี้มาใช้โดยเฉพาะ ณ จุดใดจุดหนึ่ง จากนั้นเวกเตอร์สีน้ำเงินหรือสีเขียวใด ๆ ก็เป็นตัวแทนของกลุ่มตามลำดับเนื่องจากลักษณะของพวกมัน - โมดูลทิศทางและความรู้สึก - จะไม่เปลี่ยนแปลงเลยเมื่อถูกถ่ายโอนไปยังที่อื่นในระนาบ

โดยปกติเวกเตอร์อิสระจะแสดงในข้อความที่พิมพ์ด้วยตัวอักษรตัวหนาตัวพิมพ์เล็กตัวอย่างเช่นv หรือด้วยตัวอักษรตัวพิมพ์เล็กและลูกศรข้างต้นนั้นถ้ามันเป็นข้อความที่เขียนด้วยลายมือ

ข้อดีของเวกเตอร์อิสระคือสามารถเคลื่อนย้ายผ่านระนาบหรือผ่านอวกาศและรักษาคุณสมบัติไว้ได้เนื่องจากตัวแทนของเซตใด ๆ ก็ใช้ได้เท่าเทียมกัน

นั่นคือเหตุผลที่พวกเขาใช้ในฟิสิกส์และกลศาสตร์บ่อยครั้ง ตัวอย่างเช่นในการระบุความเร็วเชิงเส้นของของแข็งที่กำลังแปลนั้นไม่จำเป็นต้องเลือกจุดใดจุดหนึ่งบนวัตถุ ดังนั้นเวกเตอร์ความเร็วจะทำงานเหมือนเวกเตอร์ฟรี

อีกตัวอย่างหนึ่งของเวกเตอร์อิสระคือคู่ของกองกำลัง คู่ประกอบด้วยสองแรงที่มีขนาดและทิศทางเท่ากัน แต่ใช้ทิศทางตรงกันข้ามกับจุดที่ต่างกันบนของแข็ง ผลกระทบของคู่รักไม่ได้ทำให้วัตถุเคลื่อนที่ แต่จะทำให้เกิดการหมุนเนื่องจากช่วงเวลาที่เกิดขึ้น

รูปที่ 2 แสดงแรงสองสามอย่างที่ใช้กับพวงมาลัย ด้วยแรงF ₁และF ₂แรงบิดจะถูกสร้างขึ้นเพื่อหมุนมู่เล่รอบศูนย์กลางและในทิศทางตามเข็มนาฬิกา

รูปที่ 2. แรงสองสามอย่างที่บังคับกับพวงมาลัยทำให้หมุนตามเข็มนาฬิกา ที่มา: Bielasko

คุณสามารถเปลี่ยนแปลงแรงบิดบางอย่างและยังคงได้รับผลการหมุนเหมือนเดิมเช่นเพิ่มแรง แต่ลดระยะห่างระหว่างพวกเขา หรือรักษาแรงและระยะทาง แต่ใช้แรงบิดกับจุดคู่อื่นบนพวงมาลัยนั่นคือหมุนแรงบิดรอบศูนย์กลาง

ช่วงเวลาของคู่รักหรือคู่บ่าวสาวเป็นเวกเตอร์ที่มีโมดูลัสเป็น Fd และตั้งฉากกับระนาบของมู่เล่ ในตัวอย่างที่แสดงโดยการประชุมการหมุนตามเข็มนาฬิกามีทิศทางลบ

คุณสมบัติและลักษณะ

ต่างจากเวกเตอร์อิสระ v เวกเตอร์ABและซีดีจะคงที่ (ดูรูปที่ 3) เนื่องจากมีจุดเริ่มต้นและจุดมาถึงที่ระบุ แต่เนื่องจากพวกเขาเป็นทีมผ่อนปรนกับแต่ละอื่น ๆ และในทางกลับกับเวกเตอร์โวพวกเขาเป็นตัวแทนของเวกเตอร์ฟรีวี

รูปที่ 3 เวกเตอร์ฟรีเวกเตอร์เลนส์ทีมและเวกเตอร์คงที่ ที่มา: self made.

คุณสมบัติหลักของเวกเตอร์ฟรีมีดังต่อไปนี้:

ใด ๆ ที่เวกเตอร์AB (ดูรูปที่ 2) จะเป็นกล่าวว่าตัวแทนของเวกเตอร์ฟรีวี

- โมดูลทิศทางและความรู้สึกเหมือนกันในตัวแทนของเวกเตอร์อิสระ ในรูปที่ 2 เวกเตอร์ABและซีดีแสดงถึงเวกเตอร์ฟรีvและเป็นเลนส์แบบทีม

- เมื่อกำหนดจุด P ในอวกาศจึงเป็นไปได้เสมอที่จะหาตัวแทนของเวกเตอร์อิสระvที่มีจุดกำเนิดเป็น P และตัวแทนนี้ไม่ซ้ำกัน นี่เป็นคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของเวกเตอร์ฟรีและเป็นคุณสมบัติที่ทำให้สามารถใช้งานได้หลากหลาย

-A เวกเตอร์อิสระว่างเปล่าแสดงเป็น0และเป็นเซตของเวกเตอร์ทั้งหมดที่ไม่มีขนาดทิศทางและความรู้สึก

ถ้าเวกเตอร์ABหมายถึงฟรีเวกเตอร์โวลต์แล้วเวกเตอร์BAหมายถึงเวกเตอร์ฟรี -วี

- สัญกรณ์V ^{3 จะใช้}เพื่อกำหนดชุดของเวกเตอร์อิสระทั้งหมดในอวกาศและV ²เพื่อกำหนดเวกเตอร์ฟรีทั้งหมดในระนาบ

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

ด้วยเวกเตอร์ฟรีสามารถดำเนินการต่อไปนี้ได้:

- สรุป

- การลบ

- การคูณสเกลาร์โดยเวกเตอร์

- ผลิตภัณฑ์สแคลร์ระหว่างสองเวกเตอร์

- ผลคูณระหว่างสองเวกเตอร์

- การรวมเวกเตอร์เชิงเส้น

และอื่น ๆ.

- การออกกำลังกาย 1

นักเรียนพยายามว่ายน้ำจากจุดหนึ่งบนฝั่งแม่น้ำไปยังอีกจุดหนึ่งที่อยู่ตรงข้ามกัน เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้มันว่ายน้ำโดยตรงด้วยความเร็ว 6 กม. / ชม. ในทิศทางตั้งฉากอย่างไรก็ตามกระแสน้ำมีความเร็ว 4 กม. / ชม. ซึ่งเบี่ยงเบนไป

คำนวณความเร็วผลลัพธ์ของนักว่ายน้ำและปริมาณที่เขาเบี่ยงเบนไปจากกระแสน้ำ

สารละลาย

ความเร็วที่ได้ของนักว่ายน้ำคือผลรวมเวกเตอร์ของความเร็วของเขา (เทียบกับแม่น้ำลากขึ้นในแนวตั้ง) และความเร็วของแม่น้ำ (ลากจากซ้ายไปขวา) ซึ่งดำเนินการตามที่ระบุในรูปด้านล่าง:

ขนาดของความเร็วที่ได้จะสอดคล้องกับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่แสดงดังนั้น:

v = (6 ² + 4 ² ) ^½กม. / ชม. = 7.2 กม. / ชม

ทิศทางสามารถคำนวณได้จากมุมเทียบกับแนวตั้งฉากกับฝั่ง:

α = arctg (4/6) = 33.7ºหรือ56.3ºเทียบกับฝั่ง

แบบฝึกหัด 2

ค้นหาช่วงเวลาของกองกำลังคู่ที่แสดงในรูป:

สารละลาย

ช่วงเวลาคำนวณโดย:

ม = r x F

หน่วยของช่วงเวลาคือ lb-f.ft เนื่องจากทั้งคู่อยู่ในระนาบของหน้าจอช่วงเวลาจึงถูกกำหนดให้ตั้งฉากกับมันทั้งด้านนอกหรือด้านใน

เนื่องจากแรงบิดในตัวอย่างมีแนวโน้มที่จะหมุนวัตถุที่ใช้ (ซึ่งไม่ได้แสดงในรูป) ตามเข็มนาฬิกาช่วงเวลานี้จะถือว่าชี้ไปทางด้านในของหน้าจอและมีเครื่องหมายลบ

ขนาดของโมเมนต์คือ M = Fdsen a โดยที่ a คือมุมระหว่างแรงและเวกเตอร์r คุณต้องเลือกจุดที่จะคำนวณโมเมนต์ซึ่งเป็นเวกเตอร์อิสระ ต้นกำเนิดของระบบอ้างอิงถูกเลือกดังนั้นrจึงเปลี่ยนจาก O ไปยังจุดที่ใช้ของแต่ละแรง

ม₁ = ม₂ = -Fdsen60º = -500 20. เสน60º lb-f. ฟุต = -8660.3 lb-f เท้า

โมเมนต์สุทธิคือผลรวมของ M ₁และ M ₂ : -17329.5 lb-f เท้า.

อ้างอิง

1. Beardon, T. 2011. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเวกเตอร์. สืบค้นจาก: nrich.maths.org.
2. Bedford, 2000. A. กลศาสตร์วิศวกรรม: สถิตยศาสตร์. แอดดิสันเวสลีย์ 38-52.
3. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. เล่ม 1. Kinematics. 31-68.
4. ทางกายภาพ. โมดูล 8: เวกเตอร์ ดึงมาจาก: frtl.utn.edu.ar
5. Hibbeler, R. 2006. กลศาสตร์สำหรับวิศวกร. คงที่ พิมพ์ครั้งที่ 6. บริษัท สำนักพิมพ์คอนติเนนตัล. 15-53.
6. เครื่องคำนวณการบวกเวกเตอร์ สืบค้นจาก: 1728.org
7. เวกเตอร์ สืบค้นจาก: en.wikibooks.org