เวกเตอร์ปกติ: การคำนวณและตัวอย่าง - กายภาพ - 2026

เวกเตอร์ปกติเป็นสิ่งหนึ่งที่จะกำหนดทิศทางที่ตั้งฉากกิจการเรขาคณิตบางส่วนภายใต้การพิจารณาซึ่งอาจจะเป็นด้วยเส้นโค้งเครื่องบินหรือพื้นผิวเช่น

เป็นแนวคิดที่มีประโยชน์มากในการกำหนดตำแหน่งของอนุภาคที่เคลื่อนที่หรือพื้นผิวบางส่วนในอวกาศ ในกราฟต่อไปนี้เป็นไปได้ที่จะเห็นว่าเวกเตอร์ปกติของเส้นโค้งตามอำเภอใจ C เป็นอย่างไร:

รูปที่ 1. เส้นโค้ง C ที่มีเวกเตอร์ปกติกับเส้นโค้งที่จุด P ที่มา: Svjo

พิจารณาจุด P บนเส้นโค้ง C จุดสามารถแทนอนุภาคเคลื่อนที่ที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นทางรูปตัว C เส้นสัมผัสกับเส้นโค้งที่จุด P วาดด้วยสีแดง

สังเกตว่าเวกเตอร์Tแทนเจนต์ถึง C ในแต่ละจุดในขณะที่เวกเตอร์Nตั้งฉากกับTและชี้ไปที่จุดศูนย์กลางของวงกลมในจินตนาการที่มีส่วนโค้งเป็นส่วนของ C เวกเตอร์จะแสดงเป็นตัวหนาในข้อความที่พิมพ์สำหรับ แยกความแตกต่างจากปริมาณอื่น ๆ ที่ไม่ใช่เวกเตอร์

เวกเตอร์Tจะระบุตำแหน่งที่อนุภาคเคลื่อนที่อยู่เสมอดังนั้นจึงระบุความเร็วของอนุภาค ในทางกลับกันเวกเตอร์Nชี้ไปในทิศทางที่อนุภาคหมุนอยู่เสมอด้วยวิธีนี้จะบ่งบอกถึงความเว้าของเส้นโค้ง C

จะนำเวกเตอร์ปกติไประนาบได้อย่างไร?

เวกเตอร์ปกติไม่จำเป็นต้องเป็นเวกเตอร์หน่วยนั่นคือเวกเตอร์ที่มีโมดูลัสเป็น 1 แต่ถ้าเป็นเช่นนั้นจะเรียกว่าเวกเตอร์หน่วยปกติ

รูปที่ 2. ทางด้านซ้ายระนาบ P และเวกเตอร์สองตัวปกติของระนาบดังกล่าว ทางด้านขวาของเวกเตอร์หน่วยในสามทิศทางที่กำหนดพื้นที่ ที่มา: Wikimedia Commons ดูหน้าสำหรับผู้แต่ง

ในหลาย ๆ แอพพลิเคชั่นจำเป็นต้องรู้เวกเตอร์ปกติของระนาบแทนที่จะเป็นเส้นโค้ง เวกเตอร์นี้แสดงการวางแนวของเครื่องบินดังกล่าวในอวกาศ ตัวอย่างเช่นพิจารณาระนาบ P (สีเหลือง) ของรูป:

: มีสองเวกเตอร์ปกติที่จะมีเครื่องบินลำนี้n ₁และn 2 การใช้อย่างใดอย่างหนึ่งจะขึ้นอยู่กับบริบทที่พบเครื่องบินดังกล่าว การได้รับเวกเตอร์ปกติกับระนาบนั้นง่ายมากหากทราบสมการของระนาบ:

ที่นี่เวกเตอร์Nแสดงในรูปของเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากi , jและkซึ่งกำหนดทิศทางตามสามทิศทางที่กำหนดช่องว่าง xyz ดูรูปที่ 2 ทางขวา

เวกเตอร์ปกติจากผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ขั้นตอนง่ายๆในการค้นหาเวกเตอร์ปกติใช้คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ระหว่างเวกเตอร์สองตัว

ดังที่ทราบกันดีว่าจุดที่แตกต่างกันสามจุดและไม่เรียงกันเป็นแนวเดียวกันกำหนดระนาบ P ตอนนี้มันเป็นไปได้ที่จะได้เวกเตอร์สองตัวuและvที่เป็นของระนาบดังกล่าวที่มีจุดสามจุดนี้

เมื่อเวกเตอร์จะได้รับผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ยู x โวลต์เป็นงานที่มีผลในทางกลับเวกเตอร์ซึ่งมีคุณสมบัติของการเป็นตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดโดยUและV

รู้จักเวกเตอร์นี้แสดงเป็นNและจากนี้จะสามารถกำหนดสมการของระนาบได้ด้วยสมการที่ระบุในส่วนก่อนหน้านี้:

N = u x v

รูปต่อไปนี้แสดงขั้นตอนที่อธิบายไว้:

รูปที่ 3 ด้วยเวกเตอร์สองตัวและผลคูณเวกเตอร์หรือกากบาทสมการของระนาบที่มีเวกเตอร์สองตัวจะถูกกำหนด ที่มา: Wikimedia Commons ไม่มีผู้เขียนที่อ่านได้โดยเครื่อง M.Romero Schmidtke สันนิษฐาน (ตามการร้องเรียนการละเมิดลิขสิทธิ์)

ตัวอย่าง

ค้นหาสมการของระนาบที่กำหนดโดยจุด A (2,1,3); B (0,1,1); ค (4.2.1)

สารละลาย

แบบฝึกหัดนี้แสดงให้เห็นถึงขั้นตอนที่อธิบายไว้ข้างต้น การมีจุด 3 จุดหนึ่งในนั้นถูกเลือกให้เป็นจุดกำเนิดร่วมของเวกเตอร์สองตัวที่อยู่ในระนาบที่กำหนดโดยจุดเหล่านี้ ยกตัวอย่างเช่นจุด A ถูกกำหนดให้เป็นแหล่งกำเนิดและเวกเตอร์ABและAC มีการสร้าง

Vector ABคือเวกเตอร์ที่มีจุดกำเนิดคือจุด A และจุดสิ้นสุดคือจุด B พิกัดของเวกเตอร์ABถูกกำหนดโดยการลบพิกัดของ B ออกจากพิกัดของ A ตามลำดับ:

เราดำเนินการในลักษณะเดียวกันเพื่อค้นหาเวกเตอร์AC :

การคำนวณผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

มีหลายขั้นตอนในการค้นหาผลคูณระหว่างสองเวกเตอร์ ตัวอย่างนี้ใช้โพรซีเดอร์ช่วยในการจำที่ใช้รูปต่อไปนี้เพื่อค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ระหว่างเวกเตอร์หน่วยi , jและk:

รูปที่ 4. กราฟเพื่อกำหนดผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ระหว่างเวกเตอร์หน่วย ที่มา: self made.

ในการเริ่มต้นควรจำไว้ว่าผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ระหว่างเวกเตอร์คู่ขนานเป็นโมฆะดังนั้น:

ฉัน x ฉัน = 0; j x j = 0; k x k = 0

และเนื่องจากผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เป็นเวกเตอร์อื่นที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่เข้าร่วมจึงเคลื่อนที่ไปตามทิศทางของลูกศรสีแดงที่เรามี:

หากคุณต้องไปในทิศทางตรงกันข้ามกับลูกศรให้เพิ่มเครื่องหมาย (-):

โดยรวมแล้วเป็นไปได้ที่จะสร้างผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ 9 ชิ้นโดยใช้เวกเตอร์หน่วยi , jและkซึ่ง 3 จะเป็นโมฆะ

AB x AC = (-2 ผม + 0 j -2 k ) x (2 i + j -2 k ) = -4 ( i x i ) -2 ( i x j ) +4 ( i x k ) +0 ( j x i ) + 0 ( j x j ) - 0 ( j x k ) - 4 ( k x i ) -2 ( k x j ) + 4 ( k x k ) = -2 k -4j -4 j +2 ฉัน = 2 ฉัน -8 j -2 k

สมการของเครื่องบิน

เวกเตอร์ N ถูกกำหนดโดยผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ที่คำนวณไว้ก่อนหน้านี้:

N = 2 ฉัน -8 j -2 k

ดังนั้น a = 2, b = -8, c = -2 เครื่องบินที่ต้องการคือ:

ค่าของ d ยังคงถูกกำหนด นี่เป็นเรื่องง่ายถ้าค่าของจุด A, B หรือ C ใด ๆ ที่มีอยู่ถูกแทนที่ในสมการของระนาบ การเลือก C เช่น:

x = 4; y = 2; z = 1

ยังคงอยู่:

ในระยะสั้นแผนที่ต้องการคือ:

ผู้อ่านที่อยากรู้อยากเห็นอาจสงสัยว่าจะได้ผลลัพธ์แบบเดียวกันหรือไม่ถ้าแทนที่จะทำAB x ACจะได้รับเลือกให้ทำAC x AB คำตอบคือใช่ระนาบที่กำหนดโดยจุดทั้งสามนี้ไม่ซ้ำกันและมีเวกเตอร์ปกติสองตัวดังแสดงในรูปที่ 2

สำหรับจุดที่เลือกเป็นจุดกำเนิดของเวกเตอร์ไม่มีปัญหาในการเลือกอีกสองจุด

อ้างอิง

1. Figueroa, D. (2005). ซีรี่ส์: ฟิสิกส์สำหรับวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม เล่มที่ 1. Kinematics. แก้ไขโดย Douglas Figueroa (USB) 31- 62.
2. การหาค่าปกติของเครื่องบิน กู้คืนจาก: web.ma.utexas.edu.
3. ลาร์สัน, อาร์. (1986). แคลคูลัสและเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. Mc Graw Hill 616-647
4. เส้นและระนาบใน R 3 กู้คืนจาก: math.harvard.edu.
5. เวกเตอร์ปกติ กู้คืนจาก mathworld.wolfram.com.