สามเหลี่ยม: ประวัติองค์ประกอบการจำแนกคุณสมบัติ - วิทยาศาสตร์ - 2025

สามเหลี่ยมแบนและปิดรูปเรขาคณิตประกอบด้วยสามด้าน สามเหลี่ยมถูกกำหนดโดยเส้นสามเส้นที่ตัดกันสองทีละสองเส้นสร้างมุมสามมุมซึ่งกันและกัน รูปทรงสามเหลี่ยมที่เต็มไปด้วยสัญลักษณ์มีอยู่ในวัตถุนับไม่ถ้วนและเป็นองค์ประกอบของการก่อสร้าง

ต้นกำเนิดของสามเหลี่ยมสูญหายไปในประวัติศาสตร์ จากหลักฐานทางโบราณคดีเป็นที่ทราบกันดีว่ามนุษย์ดึกดำบรรพ์รู้จักมันเป็นอย่างดีเนื่องจากซากทางโบราณคดียืนยันว่าถูกใช้ในเครื่องมือและอาวุธ

รูปที่ 1. รูปสามเหลี่ยม ที่มา: Publicdomainpictures.

นอกจากนี้ยังเห็นได้ชัดว่าชาวอียิปต์โบราณมีความรู้ที่มั่นคงเกี่ยวกับเรขาคณิตและโดยเฉพาะอย่างยิ่งในรูปทรงสามเหลี่ยม สะท้อนให้เห็นในองค์ประกอบทางสถาปัตยกรรมของอาคารอนุสรณ์สถาน

ในพาไพรัส Rhind คุณจะพบสูตรสำหรับการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมคางหมูตลอดจนปริมาตรและแนวคิดอื่น ๆ ของตรีโกณมิติพื้นฐาน

ในส่วนของพวกเขาเป็นที่ทราบกันดีว่าชาวบาบิโลนสามารถคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปทรงเรขาคณิตอื่น ๆ ซึ่งใช้เพื่อวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติเช่นการแบ่งดินแดน พวกเขายังมีความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติหลายประการของรูปสามเหลี่ยม

อย่างไรก็ตามชาวกรีกโบราณเป็นผู้จัดระบบแนวคิดทางเรขาคณิตจำนวนมากที่แพร่หลายในปัจจุบันแม้ว่าความรู้นี้ส่วนใหญ่จะไม่ได้เป็นเอกสิทธิ์เนื่องจากมีการแบ่งปันกับอารยธรรมโบราณอื่น ๆ เหล่านี้อย่างแน่นอน

องค์ประกอบสามเหลี่ยม

องค์ประกอบของสามเหลี่ยมใด ๆ แสดงไว้ในรูปต่อไปนี้ มีสามจุด: จุดยอดด้านข้างและมุม

รูปที่ 2. สัญกรณ์ของรูปสามเหลี่ยมและองค์ประกอบ ที่มา: Wikimedia Commons แก้ไขโดย F. Zapata

-Vertices : คือจุดตัดกันของเส้นที่เซ็กเมนต์กำหนดสามเหลี่ยม ในรูปด้านบนเช่นเส้น L _ACที่มีเซ็กเมนต์ AC ตัดกับเส้น L _ABที่มีเซ็กเมนต์ AB อย่างแม่นยำที่จุด A

- ด้านข้าง : ระหว่างจุดยอดแต่ละคู่จะมีการวาดส่วนของเส้นตรงซึ่งถือเป็นด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม ส่วนนี้สามารถแสดงด้วยตัวอักษรปิดท้ายหรือใช้ตัวอักษรเฉพาะเพื่อเรียกมัน ในตัวอย่างของรูปที่ 2 ด้าน AB เรียกอีกอย่างว่า "c"

- มุม : ระหว่างแต่ละด้านที่มีจุดยอดร่วมกับมุมเกิดขึ้นซึ่งจุดยอดเกิดขึ้นพร้อมกับจุดยอดของสามเหลี่ยม โดยทั่วไปมุมจะแสดงด้วยอักษรกรีกตามที่ระบุไว้ตอนต้น

ในการสร้างสามเหลี่ยมโดยเฉพาะโดยมีรูปร่างและขนาดที่กำหนดเพียงแค่มีชุดข้อมูลต่อไปนี้:

- ทั้งสามด้านค่อนข้างชัดเจนในกรณีของสามเหลี่ยม

- สองด้านและมุมระหว่างทั้งสองด้านและทันทีที่วาดด้านที่เหลือ

- สองมุม (ภายใน) และด้านข้างระหว่างพวกเขา โดยการขยายทั้งสองด้านที่ขาดหายไปจะถูกวาดและสามเหลี่ยมพร้อมแล้ว

สัญกรณ์

โดยทั่วไปในสัญกรณ์สามเหลี่ยมจะใช้รูปแบบต่อไปนี้: จุดยอดแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ด้านข้างด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์เล็กและมุมด้วยตัวอักษรกรีก (ดูรูปที่ 2)

ด้วยวิธีนี้สามเหลี่ยมจึงถูกตั้งชื่อตามจุดยอด ตัวอย่างเช่นสามเหลี่ยมทางซ้ายในรูปที่ 2 คือสามเหลี่ยม ABC และรูปสามเหลี่ยมทางขวาคือสามเหลี่ยม A'B'C '

นอกจากนี้ยังสามารถใช้สัญกรณ์อื่น ๆ ตัวอย่างเช่นมุมαในรูปที่ 2 แสดงเป็น BAC สังเกตว่าตัวอักษรของจุดยอดจะอยู่ตรงกลางและตัวอักษรจะเขียนในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

บางครั้งจะใช้คาเร็ตเพื่อแสดงมุม:

α = ∠A

ประเภทของสามเหลี่ยม

มีเกณฑ์หลายประการในการจำแนกรูปสามเหลี่ยม สิ่งที่ปกติที่สุดคือการจัดประเภทตามการวัดด้านข้างหรือตามการวัดมุมของพวกเขา ขึ้นอยู่กับการวัดด้านข้างของพวกเขาสามเหลี่ยมอาจเป็น: สเกลเนสหน้าจั่วหรือด้านเท่ากัน:

-Scaleno : ทั้งสามด้านนั้นแตกต่างกัน

-Isósceles : มีสองด้านเท่ากันและอีกด้านหนึ่งที่แตกต่างกัน

-Equilátero : ทั้งสามด้านเท่ากัน

รูปที่ 3 การจำแนกรูปสามเหลี่ยมตามด้านข้าง ที่มา: F. Zapata

ตามการวัดมุมของพวกเขาสามเหลี่ยมมีชื่อดังนี้:

- สิ่งกีดขวางหากมุมภายในด้านใดด้านหนึ่งมากกว่า90º

- มุมแหลมเมื่อมุมภายในทั้งสามของสามเหลี่ยมเป็นมุมแหลมนั่นคือน้อยกว่า90º

- สี่เหลี่ยมผืนผ้าในกรณีที่มุมภายในมุมใดมุมหนึ่งมีค่า90º ด้านที่เป็นรูป90ºเรียกว่าขาและด้านตรงข้ามมุมขวาคือด้านตรงข้ามมุมฉาก

รูปที่ 4 การจำแนกรูปสามเหลี่ยมตามมุมภายใน ที่มา: F. Zapata

ความสอดคล้องของรูปสามเหลี่ยม

เมื่อสามเหลี่ยมสองรูปมีรูปร่างเหมือนกันและมีขนาดเท่ากันจะกล่าวได้ว่ามีความเท่ากัน แน่นอนความสอดคล้องเกี่ยวข้องกับความเท่าเทียมกันดังนั้นทำไมเรขาคณิตจึงพูดถึง "สามเหลี่ยมที่เท่ากันสองรูป" แทนที่จะเป็น "สามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากัน"

ทางที่ดีควรใช้คำว่า "ความสอดคล้อง" เพื่อยึดติดกับความจริงเนื่องจากสามเหลี่ยมสองรูปอาจมีรูปร่างและขนาดเหมือนกัน แต่จะวางแนวแตกต่างกันในระนาบ (ดูรูปที่ 3) จากมุมมองของรูปทรงเรขาคณิตพวกเขาจะไม่เหมือนเดิมอีกต่อไป

รูปที่ 5. สามเหลี่ยมที่สอดคล้องกัน แต่ไม่จำเป็นต้องเท่ากันเนื่องจากการวางแนวในระนาบแตกต่างกัน ที่มา: F. Zapata

เกณฑ์ความสอดคล้อง

รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันหากมีสิ่งต่อไปนี้เกิดขึ้น:

- ทั้งสามด้านวัดเท่ากัน (อีกครั้งนี่คือสิ่งที่ชัดเจนที่สุด)

- มีด้านที่เหมือนกันสองด้านและมีมุมเดียวกันระหว่างกัน

- ทั้งสองมีมุมภายในที่เหมือนกันสองมุมและด้านข้างระหว่างมุมเหล่านี้วัดเท่ากัน

ดังจะเห็นได้ว่าสามเหลี่ยมทั้งสองมีคุณสมบัติตรงตามเงื่อนไขที่จำเป็นเพื่อให้เมื่อสร้างขึ้นรูปร่างและขนาดจะเท่ากันทุกประการ

เกณฑ์ความสอดคล้องมีประโยชน์อย่างมากเนื่องจากในทางปฏิบัติต้องผลิตชิ้นส่วนและชิ้นส่วนเชิงกลจำนวนนับไม่ถ้วนในลักษณะที่ขนาดและรูปร่างเหมือนกันทุกประการ

ความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมจะคล้ายกับอีกรูปหนึ่งหากมีรูปร่างเหมือนกันแม้ว่าจะมีขนาดต่างกันก็ตาม เพื่อให้แน่ใจว่ารูปร่างเหมือนกันจำเป็นต้องให้มุมภายในมีค่าเท่ากันและด้านข้างเป็นสัดส่วน

รูปที่ 6 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกัน: ขนาดต่างกัน แต่สัดส่วนเท่ากัน ที่มา: F. Zapata

สามเหลี่ยมในรูปที่ 2 ก็คล้ายกันเช่นเดียวกับในรูปที่ 6 ด้วยวิธีนี้:

สำหรับด้านข้างอัตราส่วนความคล้ายคลึงกันดังต่อไปนี้ถือ:

คุณสมบัติ

คุณสมบัติพื้นฐานของรูปสามเหลี่ยมมีดังนี้:

- ผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมใด ๆ จะเท่ากับ180ºเสมอ

- สำหรับรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ผลรวมของมุมภายนอกจะเท่ากับ 360 °

- มุมภายนอกของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมภายในทั้งสองที่ไม่ติดกับมุมดังกล่าว

ทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทแรกของ Thales

เป็นผลมาจากนักปรัชญาชาวกรีกและนักคณิตศาสตร์ Thales of Miletus ผู้พัฒนาทฤษฎีหลายประการที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิต ข้อแรกระบุดังต่อไปนี้:

รูปที่ 7 ทฤษฎีบทของ Thales ที่มา: F. Zapata

กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

a / a´= b / b´= c / c´

ทฤษฎีบทแรกของ Thales ใช้ได้กับรูปสามเหลี่ยมเช่นเรามี ABC สามเหลี่ยมสีน้ำเงินอยู่ทางซ้ายซึ่งตัดด้วยแนวขนานสีแดงทางด้านขวา:

รูปที่ 8. ทฤษฎีบทของ Thales และรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

สามเหลี่ยมสีม่วง AB'C 'คล้ายกับสามเหลี่ยมสีน้ำเงิน ABC ดังนั้นตามทฤษฎีบทของ Thales สามารถเขียนได้ดังต่อไปนี้:

AB´ / AC´ = AB / AC

และเป็นไปตามที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้ในส่วนของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม อย่างไรก็ตามเส้นขนานสามารถเป็นแนวตั้งหรือขนานกับด้านตรงข้ามมุมฉากและได้สามเหลี่ยมที่คล้ายกันในลักษณะเดียวกัน

ทฤษฎีบทที่สองของ Thales

ทฤษฎีบทนี้ยังหมายถึงรูปสามเหลี่ยมและวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง O เช่นที่แสดงด้านล่าง ในรูปนี้ AC คือเส้นผ่านศูนย์กลางของเส้นรอบวงและ B คือจุดบน B ซึ่งแตกต่างจาก A และ B

ทฤษฎีบทที่สองของ Thales ระบุว่า:

รูปที่ 9. ทฤษฎีบทที่สองของ Thales ที่มา: Wikimedia Commons อุปนัย

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

นี่เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงที่สุดในประวัติศาสตร์ มีสาเหตุมาจาก Pythagoras นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกแห่ง Samos (569 - 475 BC) และใช้ได้กับสามเหลี่ยมมุมฉาก พูดว่า:

หากเรายกตัวอย่างสามเหลี่ยมสีน้ำเงินในรูปที่ 8 หรือสามเหลี่ยมสีม่วงเนื่องจากทั้งสองเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจึงสามารถระบุได้ว่า:

AC ² = AB ² + BC ² (สามเหลี่ยมสีน้ำเงิน)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (สามเหลี่ยมสีม่วง)

พื้นที่ของสามเหลี่ยม

พื้นที่ของสามเหลี่ยมถูกกำหนดโดยผลคูณของฐาน a และความสูง h หารด้วย 2 และโดยตรีโกณมิติความสูงนี้สามารถเขียนได้เป็น h = b sinθ

รูปที่ 10. พื้นที่ของสามเหลี่ยม ที่มา: Wikimedia Commons

ตัวอย่างของรูปสามเหลี่ยม

ตัวอย่าง 1

ว่ากันว่าด้วยทฤษฎีบทแรกของเขา Thales สามารถวัดความสูงของมหาพีระมิดในอียิปต์ซึ่งเป็นหนึ่งใน 7 สิ่งมหัศจรรย์ของโลกยุคโบราณโดยการวัดเงาที่ฉายบนพื้นและคาดว่าจะเกิดจากเสาเข็มลงไปที่พื้น

นี่คือโครงร่างของขั้นตอนตามด้วย Tales:

รูปที่ 11. โครงการวัดความสูงของมหาพีระมิดโดยความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม ที่มา: Wikimedia Commons Dake

Thales สันนิษฐานอย่างถูกต้องว่ารังสีดวงอาทิตย์ตกกระทบขนานกัน ด้วยเหตุนี้เขาจึงจินตนาการถึงสามเหลี่ยมมุมฉากขนาดใหญ่ทางด้านขวา

มี D คือความสูงของพีระมิดและ C คือระยะทางเหนือพื้นดินที่วัดจากจุดศูนย์กลางไปยังเงาที่ปิรามิดบนพื้นทะเลทราย การวัด C อาจจะยาก แต่ก็ง่ายกว่าการวัดความสูงของพีระมิด

ทางด้านซ้ายคือรูปสามเหลี่ยมขนาดเล็กมีขา A และ B โดยที่ A คือความสูงของเสาเข็มที่ขับเคลื่อนในแนวดิ่งลงสู่พื้นและ B คือเงาที่ทอด ความยาวทั้งสองสามารถวัดได้เช่นเดียวกับ C (C เท่ากับความยาวของเงา + ครึ่งหนึ่งของความยาวของพีระมิด)

ดังนั้นโดยความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม:

A / B = D / C

และความสูงของมหาพีระมิดกลายเป็น: D = C (A / B)

ตัวอย่าง 2

โครงถักในงานโยธาเป็นโครงสร้างที่ทำจากไม้หรือโลหะที่มีลักษณะเป็นแท่งตรงบาง ๆ ซึ่งใช้เป็นส่วนรองรับในอาคารหลายหลัง พวกเขาเรียกอีกอย่างว่าโครงถักโครงถักหรือโครงถัก

ในนั้นสามเหลี่ยมจะปรากฏอยู่เสมอเนื่องจากแท่งเชื่อมต่อกันที่จุดที่เรียกว่าโหนดซึ่งสามารถแก้ไขหรือเชื่อมต่อได้

รูปที่ 12. สามเหลี่ยมอยู่ในกรอบของสะพานนี้ ที่มา: PxHere

ตัวอย่างที่ 3

วิธีการที่เรียกว่าสามเหลี่ยมช่วยให้ได้ตำแหน่งของจุดที่ไม่สามารถเข้าถึงได้โดยทราบระยะทางอื่น ๆ ที่วัดได้ง่ายกว่าโดยมีการสร้างรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีตำแหน่งที่ต้องการระหว่างจุดยอด

ตัวอย่างเช่นในรูปต่อไปนี้เราต้องการทราบว่าเรืออยู่ที่ไหนในทะเลแสดงว่า B

รูปที่ 13. โครงร่างสามเหลี่ยมเพื่อค้นหาเรือ ที่มา: Wikimedia Commons โคเล็ตต์

ขั้นแรกให้วัดระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนชายฝั่งซึ่งในรูปคือ A และ C จากนั้นต้องกำหนดมุมαและβด้วยความช่วยเหลือของกล้องสำรวจซึ่งเป็นอุปกรณ์ที่ใช้วัดมุมแนวตั้งและแนวนอน

ด้วยข้อมูลทั้งหมดนี้รูปสามเหลี่ยมถูกสร้างขึ้นโดยมีจุดยอดบนคือเรือ มันยังคงคำนวณมุมγโดยใช้คุณสมบัติของสามเหลี่ยมและระยะทาง AB และ CB โดยใช้ตรีโกณมิติเพื่อกำหนดตำแหน่งของเรือในทะเล

การออกกำลังกาย

แบบฝึกหัด 1

ในรูปที่แสดงรังสีของดวงอาทิตย์จะขนานกัน ด้วยวิธีนี้ต้นไม้สูง 5 เมตรจึงทอดเงา 6 เมตรบนพื้นดิน ในเวลาเดียวกันเงาของอาคาร 40 เมตร ตามทฤษฎีบทแรกของ Thales ค้นหาความสูงของอาคาร

รูปที่ 14. โครงร่างสำหรับแบบฝึกหัดที่แก้ไขแล้ว 1. ที่มา: F. Zapata

สารละลาย

สามเหลี่ยมสีแดงมีด้าน 5 และ 6 เมตรตามลำดับส่วนสีน้ำเงินมีความสูง H - ความสูงของอาคาร - และฐาน 40 เมตร รูปสามเหลี่ยมทั้งสองมีความคล้ายคลึงกันดังนั้น:

แบบฝึกหัด 2

คุณต้องทราบระยะห่างแนวนอนระหว่างจุด A และ B สองจุด แต่ตั้งอยู่บนพื้นดินที่ไม่สม่ำเสมอมาก

ประมาณที่จุดกึ่งกลาง (P _m ) ของภูมิประเทศดังกล่าวมีความสูง 1.75 เมตรโดดเด่น หากตลับเมตรแสดงถึงความยาว 26 เมตรที่วัดจาก A ถึงความโดดเด่นและ 27 เมตรจาก B ถึงจุดเดียวกันให้หาระยะ AB

รูปที่ 15. โครงร่างสำหรับแบบฝึกหัดที่แก้ไขแล้ว 2 ที่มา: Jiménez, R. Mathematics II เรขาคณิตและตรีโกณมิติ.

สารละลาย

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสถูกนำไปใช้กับหนึ่งในสองรูปสามเหลี่ยมมุมฉากในรูป เริ่มต้นด้วยทางซ้าย:

ด้านตรงข้ามมุมฉาก = c = 26 เมตร

ความสูง = a = 1.75 เมตร

AP _ม. = (26 ² - 1.75 ² ) ^1/2 = 25.94 ม

ตอนนี้ใช้ Pythagoras ในรูปสามเหลี่ยมทางด้านขวาคราวนี้ c = 27 เมตร a = 1.75 เมตร ด้วยค่าเหล่านี้:

BP _ม. = (27 ² - 1.75 ² ) ^1/2 = 26.94 ม

พบระยะห่าง AB โดยการเพิ่มผลลัพธ์เหล่านี้:

AB = 25.94 ม. + 26.94 ม. = 52.88 ม.

อ้างอิง

1. Baldor, JA 1973. เรขาคณิตเครื่องบินและอวกาศ. วัฒนธรรมอเมริกากลาง.
2. Barredo, D. เรขาคณิตของสามเหลี่ยม กู้คืนจาก: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Mathematics II. เรขาคณิตและตรีโกณมิติ. พิมพ์ครั้งที่สอง. เพียร์สัน
4. Wentworth, G. เรขาคณิตของเครื่องบิน สืบค้นจาก: gutenberg.org.
5. วิกิพีเดีย สามเหลี่ยม. กู้คืนจาก: es. wikipedia.org