สามเหลี่ยมหน้าจั่ว: ลักษณะสูตรและพื้นที่การคำนวณ - เลข - 2026

หน้าจั่วสามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้านที่สองของพวกเขามีตัวชี้วัดที่เหมือนกันและด้านที่สามเป็นวัดที่แตกต่างกัน ด้านสุดท้ายนี้เรียกว่าฐาน เนื่องจากลักษณะนี้จึงได้รับชื่อนี้ซึ่งในภาษากรีกแปลว่า "ขาเท่ากัน"

รูปสามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ถือว่าง่ายที่สุดในรูปทรงเรขาคณิตเนื่องจากประกอบด้วยสามด้านมุมสามมุมและจุดยอดสามจุด เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านและมุมน้อยที่สุดเมื่อเทียบกับรูปหลายเหลี่ยมอื่น ๆ อย่างไรก็ตามการใช้งานนั้นกว้างขวางมาก

ลักษณะของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

สามเหลี่ยมหน้าจั่วถูกจำแนกโดยใช้การวัดด้านข้างเป็นพารามิเตอร์เนื่องจากด้านทั้งสองมีความเท่ากัน (มีความยาวเท่ากัน)

ตามความกว้างของมุมภายในสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะถูกจัดประเภทเป็น:

• สามเหลี่ยมหน้าจั่วสามเหลี่ยมมุมฉาก : สองด้านเท่ากัน มุมหนึ่งคือตรง (90 ^หรือ ) และอื่น ๆ ที่มี เดียวกัน (45 ^หรือแต่ละคน)
• สามเหลี่ยมหน้าจั่วสามเหลี่ยม : สองด้านเท่ากัน มุมใดมุมหนึ่งเป็นมุมป้าน (> 90 ^หรือ )
• สามเหลี่ยมหน้าจั่วสามเหลี่ยม : สองด้านเท่ากัน มุมทั้งหมดเป็นมุมแหลม (<90 ^หรือ ) โดยที่ทั้งสองมีขนาดเท่ากัน

ส่วนประกอบ

• ค่ามัธยฐาน : เป็นเส้นที่เริ่มต้นจากจุดกึ่งกลางของด้านหนึ่งและไปถึงจุดยอดตรงข้าม ค่ามัธยฐานทั้งสามมาบรรจบกัน ณ จุดหนึ่งที่เรียกว่าศูนย์แบรีเซ็นเตอร์หรือเซนทรอยด์
• เส้นแบ่งครึ่ง : เป็นรังสีที่แบ่งมุมของแต่ละจุดยอดออกเป็นสองมุมที่มีขนาดเท่ากัน นั่นคือเหตุผลที่เรียกว่าแกนสมมาตรและสามเหลี่ยมประเภทนี้มีเพียงอันเดียว
• เส้นแบ่งครึ่ง : เป็นส่วนที่ตั้งฉากกับด้านข้างของสามเหลี่ยมซึ่งมีต้นกำเนิดอยู่ตรงกลาง สามเหลี่ยมมีสามตัวกลางและบรรจบกันที่จุดที่เรียกว่าเส้นรอบวง
• ความสูง : มันคือเส้นที่ต่อจากจุดยอดไปยังด้านที่อยู่ตรงข้ามและเส้นนี้ก็ตั้งฉากกับด้านนั้นด้วย รูปสามเหลี่ยมทั้งหมดมีสามความสูงซึ่งตรงกับจุดที่เรียกว่าออร์โธเซนเตอร์

คุณสมบัติ

สามเหลี่ยมหน้าจั่วถูกกำหนดหรือระบุได้เนื่องจากมีคุณสมบัติหลายประการที่แสดงถึงพวกเขาซึ่งมีต้นกำเนิดมาจากทฤษฎีที่เสนอโดยนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่:

มุมภายใน

ผลรวมของมุมภายในจะเท่ากับ 180 ^°เสมอ

ผลรวมของด้าน

ผลรวมของการวัดของสองด้านต้องมากกว่าหน่วยวัดของด้านที่สามเสมอ a + b> c

ด้านที่สอดคล้องกัน

สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีสองด้านที่มีขนาดหรือความยาวเท่ากัน นั่นคือมีความสอดคล้องกันและด้านที่สามแตกต่างจากด้านนี้

มุมที่สอดคล้องกัน

สามเหลี่ยมหน้าจั่วเรียกว่าสามเหลี่ยมสามมิติเช่นกันเนื่องจากมีมุมสองมุมที่มีขนาดเท่ากัน (ที่เท่ากัน) สิ่งเหล่านี้ตั้งอยู่ที่ฐานของสามเหลี่ยมตรงข้ามกับด้านที่มีความยาวเท่ากัน

ด้วยเหตุนี้ทฤษฎีบทจึงถูกสร้างขึ้นโดยระบุว่า:

"ถ้าสามเหลี่ยมมีด้านที่เท่ากันสองด้านมุมตรงข้ามกับด้านนั้นก็จะเท่ากันด้วย" ดังนั้นถ้าสามเหลี่ยมมีหน้าจั่วมุมของฐานจะเท่ากัน

ตัวอย่าง:

รูปต่อไปนี้แสดงสามเหลี่ยม ABC โดยการวาดเส้นแบ่งครึ่งจากจุดยอดของมุม B ไปยังฐานสามเหลี่ยมจะถูกแบ่งออกเป็นสองสามเหลี่ยมเท่า ๆ กัน BDA และ BDC:

ด้วยวิธีนี้มุมของจุดยอด B ก็แบ่งออกเป็นสองมุมเท่า ๆ กัน ตอนนี้เส้นแบ่งครึ่งเป็นด้านร่วม (BD) ระหว่างสามเหลี่ยมใหม่สองรูปนั้นในขณะที่ด้าน AB และ BC เป็นด้านที่สมกัน ดังนั้นเราจึงมีกรณีของความสอดคล้องด้านข้างมุมด้านข้าง (LAL)

นี่แสดงให้เห็นว่ามุมของจุดยอด A และ C มีขนาดเท่ากันและสามารถแสดงให้เห็นว่าเนื่องจาก BDA และ BDC ของสามเหลี่ยมมีความเท่ากันด้าน AD และ DC จึงมีความเท่ากันด้วย

ความสูงค่ามัธยฐานเส้นแบ่งครึ่งและเส้นแบ่งครึ่งเป็นเรื่องบังเอิญ

เส้นที่ลากจากจุดยอดตรงข้ามกับฐานไปยังจุดกึ่งกลางของฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วคือความสูงค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่งในเวลาเดียวกันรวมทั้งเส้นแบ่งครึ่งที่สัมพันธ์กับมุมตรงข้ามของฐาน

ส่วนทั้งหมดเหล่านี้เกิดขึ้นพร้อมกันในส่วนที่แสดงถึงพวกเขา

ตัวอย่าง:

รูปต่อไปนี้แสดงสามเหลี่ยม ABC ที่มีจุดกึ่งกลาง M ที่แบ่งฐานออกเป็นสองส่วน BM และ CM

โดยการวาดส่วนจากจุด M ไปยังจุดยอดตรงข้ามตามความหมายจะได้ค่ามัธยฐาน AM ซึ่งสัมพันธ์กับจุดยอด A และด้าน BC

เมื่อเซ็กเมนต์ AM แบ่งสามเหลี่ยม ABC ออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากัน AMB และ AMC นั่นหมายความว่าจะมีกรณีของด้านที่มีความสอดคล้องกันมุมด้านข้างดังนั้น AM จะเป็นตัวแบ่งครึ่งของBÂCด้วย

ดังนั้นเส้นแบ่งครึ่งจะเท่ากับค่ามัธยฐานเสมอและในทางกลับกัน

Segment AM สร้างมุมที่มีการวัดเดียวกันสำหรับสามเหลี่ยม AMB และ AMC นั่นคือเป็นส่วนเสริมในลักษณะที่การวัดของแต่ละคนจะเป็น:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180 ^หรือ

2 _* Med. (AMC) = 180 ^หรือ

Med. (AMC) = 180 ^หรือ ÷ 2

Med. (AMC) = 90 ^หรือ

เป็นที่ทราบกันดีว่ามุมที่เกิดจากส่วน AM เทียบกับฐานของสามเหลี่ยมนั้นเป็นมุมฉากซึ่งแสดงว่าส่วนนี้ตั้งฉากกับฐานโดยสิ้นเชิง

ดังนั้นจึงแสดงถึงความสูงและเส้นแบ่งครึ่งโดยรู้ว่า M คือจุดกึ่งกลาง

ดังนั้นบรรทัด AM:

• แสดงถึงความสูงของ BC
• มีขนาดปานกลาง
• มันมีอยู่ในทวิภาคของ BC
• มันคือเส้นแบ่งครึ่งของมุมจุดยอด

ความสูงสัมพัทธ์

ความสูงที่สัมพันธ์กับด้านเท่ากันจะมีการวัดเดียวกันเช่นกัน

เนื่องจากสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีด้านเท่ากันสองด้านความสูงทั้งสองก็จะเท่ากันด้วย

Ortocenter, barycenter, incenter และบังเอิญ

เนื่องจากความสูงค่ามัธยฐานเส้นแบ่งครึ่งและเส้นแบ่งครึ่งที่สัมพันธ์กับฐานจะแสดงในเวลาเดียวกันโดยส่วนเดียวกันออร์โธเซนเตอร์ศูนย์บรีเซนเตอร์และศูนย์ขลิบจะเป็นจุดคอลลิเนียร์นั่นคือจะพบในบรรทัดเดียวกัน:

วิธีคำนวณปริมณฑล?

เส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมคำนวณโดยการเพิ่มด้านข้าง

เช่นในกรณีนี้สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีสองด้านที่มีการวัดเดียวกันเส้นรอบรูปจะถูกคำนวณด้วยสูตรต่อไปนี้:

P = 2 _* (ด้าน a) + (ด้าน b)

วิธีการคำนวณความสูง?

ความสูงคือเส้นที่ตั้งฉากกับฐานมันแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันเมื่อมันขยายไปถึงจุดยอดตรงข้าม

ความสูงหมายถึงขาตรงข้าม (a) ตรงกลางของฐาน (b / 2) ขาที่อยู่ติดกันและด้านข้าง "a" หมายถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก

การใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถกำหนดค่าของความสูงได้:

ก² + ข² = ค²

ที่ไหน:

a ² = ความสูง (h)

ข² = b / 2.

ค² = ด้านก.

การแทนที่ค่าเหล่านี้ในทฤษฎีบทพีทาโกรัสและการแก้ความสูงเรามี:

ชั่วโมง² + (b / 2) ² = ก²

H ² + B ² /4 = a ²

เอช² = a ² - ข² /4

H = √ (ก² - ข² /4)

หากทราบมุมที่เกิดจากด้านที่สอดคล้องกันความสูงสามารถคำนวณได้ด้วยสูตรต่อไปนี้:

วิธีการคำนวณพื้นที่?

พื้นที่ของสามเหลี่ยมจะคำนวณด้วยสูตรเดียวกันเสมอโดยคูณฐานด้วยความสูงแล้วหารด้วยสอง:

มีบางกรณีที่ทราบเฉพาะการวัดสองด้านของสามเหลี่ยมและมุมที่เกิดขึ้นระหว่างทั้งสองเท่านั้น ในกรณีนี้เพื่อกำหนดพื้นที่จำเป็นต้องใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติ:

วิธีการคำนวณฐานของสามเหลี่ยม?

เนื่องจากสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีด้านเท่ากันสองด้านในการกำหนดค่าของฐานคุณจึงจำเป็นต้องทราบอย่างน้อยการวัดความสูงหรือมุมของมัน

เมื่อทราบความสูงจะใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ก² + ข² = ค²

ที่ไหน:

a ² = ความสูง (h)

ค² = ด้านก.

b ² = b / 2 ไม่เป็นที่รู้จัก

เราแยก b ²ออกจากสูตรและเรามี:

ข² = ก² - ค²

b = √ก² - ค²

เนื่องจากค่านี้สอดคล้องกับครึ่งหนึ่งของฐานจึงต้องคูณด้วยสองเพื่อให้ได้การวัดที่สมบูรณ์ของฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว:

b = 2 _* (√ก² - ค² )

ในกรณีที่ทราบเฉพาะค่าของด้านที่เท่ากันและมุมระหว่างทั้งสองเท่านั้นจะใช้ตรีโกณมิติวาดเส้นจากจุดยอดไปยังฐานที่แบ่งสามเหลี่ยมหน้าจั่วออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป

ด้วยวิธีนี้ครึ่งหนึ่งของฐานคำนวณด้วย:

นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ว่าจะทราบเฉพาะค่าของความสูงและมุมของจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามฐานเท่านั้น ในกรณีนั้นโดยตรีโกณมิติสามารถกำหนดฐานได้:

การออกกำลังกาย

ออกกำลังกายครั้งแรก

หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC โดยรู้ว่าสองด้านคือ 10 ซม. และด้านที่สามคือ 12 ซม.

สารละลาย

ในการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจำเป็นต้องคำนวณความสูงโดยใช้สูตรพื้นที่ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสเนื่องจากไม่ทราบค่าของมุมที่เกิดขึ้นระหว่างด้านที่เท่ากัน

เรามีข้อมูลของสามเหลี่ยมหน้าจั่วต่อไปนี้:

• ด้านเท่ากัน (ก) = 10 ซม.
• ฐาน (b) = 12 ซม.

ค่าจะถูกแทนที่ในสูตร:

การออกกำลังกายครั้งที่สอง

ความยาวของทั้งสองฝ่ายเท่ากันของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 42 ซม. ยูเนี่ยนของด้านเหล่านี้ในรูปแบบมุมของ 130 หรือ กำหนดค่าของด้านที่สามพื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นและเส้นรอบรูป

สารละลาย

ในกรณีนี้จะทราบการวัดด้านข้างและมุมระหว่างกัน

หากต้องการทราบค่าของด้านที่หายไปนั่นคือฐานของสามเหลี่ยมนั้นจะมีการลากเส้นตั้งฉากกับมันโดยแบ่งมุมออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันส่วนหนึ่งสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากแต่ละอันที่ก่อตัวขึ้น

• ด้านเท่ากัน (a) = 42 ซม.
• มุม (Ɵ) = 130 ^o

ตอนนี้โดยตรีโกณมิติค่าของครึ่งหนึ่งของฐานจะถูกคำนวณซึ่งสอดคล้องกับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก:

ในการคำนวณพื้นที่จำเป็นต้องทราบความสูงของสามเหลี่ยมนั้นซึ่งสามารถคำนวณได้โดยตรีโกณมิติหรือตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสตอนนี้ค่าของฐานได้ถูกกำหนดแล้ว

โดยตรีโกณมิติจะเป็น:

คำนวณปริมณฑล:

P = 2 _* (ด้าน a) + (ด้าน b)

P = 2 _* (42 ซม.) + (76 ซม.)

P = 84 ซม. + 76 ซม

P = 160 ซม.

การออกกำลังกายครั้งที่สาม

คำนวณมุมภายในของสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยรู้ว่ามุมของฐานคือÂ = 55 ^หรือ

สารละลาย

ในการหามุมที่หายไปสองมุม (ÊและÔ) จำเป็นต้องจำคุณสมบัติสองประการของสามเหลี่ยม:

• ผลรวมของมุมภายในของทุกสามเหลี่ยมจะเป็น = 180 ^หรือ :

 + Ê + Ô = 180 ^หรือ

• ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมของฐานจะมีความเท่ากันเสมอนั่นคือมีขนาดเท่ากันดังนั้น:

= Ô

Ê = 55 ^หรือ

ในการกำหนดค่าของมุมÊเราแทนที่ค่าของมุมอื่น ๆ ในกฎข้อแรกและแก้ปัญหาสำหรับÊ:

55 ^หรือ + 55 ^หรือ + Ô = 180 ^หรือ

110 ^หรือ + Ô = 180 ^หรือ

Ô = 180 ^o - 110 ^o

o = 70 o

อ้างอิง

1. Álvarez, E. (2003). องค์ประกอบของรูปทรงเรขาคณิต: พร้อมแบบฝึกหัดมากมายและรูปทรงเรขาคณิตของเข็มทิศ มหาวิทยาลัย Medellin
2. ÁlvaroRendón, AR (2004) การวาดภาพทางเทคนิค: สมุดบันทึกกิจกรรม
3. แองเจิล, AR (2007). พีชคณิตเบื้องต้น. การศึกษาของเพียร์สัน.
4. อาเธอร์กู๊ดแมน LH (2539) พีชคณิตและตรีโกณมิติกับเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. การศึกษาของเพียร์สัน.
5. Baldor, A. (2484). พีชคณิต. ฮาวานา: วัฒนธรรม.
6. JoséJiménez, LJ (2006). คณิตศาสตร์ 2.
7. ทูมาเจ (2541). คู่มือคณิตศาสตร์วิศวกรรม. Wolfram MathWorld