สามเหลี่ยมเฉียบพลัน: ลักษณะและประเภท - เลข - 2025

สามเหลี่ยมเฉียบพลันคือบรรดาผู้ที่สามมุมภายในมุมเฉียบพลัน; นั่นคือการวัดของแต่ละมุมเหล่านี้น้อยกว่า 90 °องศา การที่เราไม่มีมุมฉากแสดงว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสไม่ถือเป็นรูปเรขาคณิตนี้

ดังนั้นหากเราต้องการมีข้อมูลบางประเภทเกี่ยวกับด้านหรือมุมใด ๆ จำเป็นต้องใช้ประโยชน์จากทฤษฎีอื่น ๆ ที่ช่วยให้เราสามารถเข้าถึงข้อมูลดังกล่าวได้ สิ่งที่เราสามารถใช้ได้คือทฤษฎีบทไซน์และทฤษฎีบทโคไซน์

ลักษณะเฉพาะ

ในบรรดาลักษณะที่รูปทรงเรขาคณิตนี้มีเราสามารถเน้นสิ่งที่ได้รับจากข้อเท็จจริงง่ายๆของการเป็นสามเหลี่ยม ในบรรดาสิ่งเหล่านี้เรามี:

- สามเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้านและสามมุม

- ผลรวมของมุมภายในทั้งสามเท่ากับ 180 °

- ผลรวมของทั้งสองด้านจะมากกว่าส่วนที่สามเสมอ

ตัวอย่างเช่นลองดู ABC สามเหลี่ยมต่อไปนี้ โดยทั่วไปเราระบุด้านข้างด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็กและมุมด้วยอักษรตัวใหญ่เพื่อให้ด้านหนึ่งและมุมตรงข้ามมีตัวอักษรเดียวกัน

จากคุณสมบัติที่ให้ไปแล้วเรารู้ว่า:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> b และ b + c> a

คุณสมบัติหลักที่ทำให้สามเหลี่ยมประเภทนี้แตกต่างจากส่วนที่เหลือคือตามที่เราได้กล่าวไปแล้วว่ามุมภายในของมันเป็นมุมแหลม นั่นคือการวัดของแต่ละมุมน้อยกว่า 90 °

สามเหลี่ยมเฉียบพลันพร้อมกับสามเหลี่ยมป้าน (ซึ่งมุมใดมุมหนึ่งมีค่ามากกว่า 90 °) เป็นส่วนหนึ่งของชุดสามเหลี่ยมเฉียง ชุดนี้ประกอบด้วยสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก

เนื่องจากสามเหลี่ยมเฉียงเป็นส่วนหนึ่งเราจึงต้องสามารถแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมเฉียบพลันได้เราจึงต้องใช้ประโยชน์จากทฤษฎีบทไซน์และทฤษฎีบทโคไซน์

ทฤษฎีบทไซน์

ทฤษฎีบทไซน์บอกเราว่าอัตราส่วนของด้านหนึ่งต่อไซน์ของมุมตรงข้ามมีค่าเท่ากับสองเท่าของรัศมีของวงกลมที่เกิดจากจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยมดังกล่าว กล่าวคือ:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / บาป (C)

ทฤษฎีบทโคไซน์

ในทางกลับกันทฤษฎีบทโคไซน์ทำให้เรามีความเท่าเทียมกันสามประการสำหรับสามเหลี่ยม ABC ใด ๆ :

ก² = ข² + ค² -2bc * cos (A)

ข² = ก² + ค² -2ac * cos (B)

ค² = a ² + b ² -2ab * cos (C)

ทฤษฎีบทเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่ากฎของไซน์และกฎของโคไซน์ตามลำดับ

ลักษณะเฉพาะอีกประการหนึ่งที่เราสามารถให้ได้ของสามเหลี่ยมเฉียบพลันคือสองสิ่งนี้เท่ากันหากตรงตามเกณฑ์ใด ๆ ต่อไปนี้:

- หากมีสามด้านเหมือนกัน

- ถ้าพวกเขามีด้านเดียวและสองมุมเท่ากัน

- ถ้ามีสองด้านเท่ากันและมีมุม

ประเภท

รูปสามเหลี่ยมเฉียบพลันสามารถจำแนกได้ตามด้านข้าง สิ่งเหล่านี้อาจเป็น:

สามเหลี่ยมเฉียบพลันด้านเท่ากัน

เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเท่ากันทั้งหมดดังนั้นมุมภายในทั้งหมดจึงมีค่าเท่ากันซึ่งก็คือ A = B = C = 60 °องศา

ตัวอย่างเช่นลองหาสามเหลี่ยมต่อไปนี้ซึ่งด้าน a, b และ c มีค่าเป็น 4

สามเหลี่ยมหน้าจั่วสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยมเหล่านี้นอกเหนือจากการมีมุมภายในแบบเฉียบพลันแล้วยังมีลักษณะของการมีด้านเท่ากันสองด้านและด้านที่สามซึ่งโดยทั่วไปจะใช้เป็นฐานต่างกัน

ตัวอย่างของรูปสามเหลี่ยมประเภทนี้อาจเป็นรูปหนึ่งที่มีฐานเป็น 3 และอีกสองด้านมีค่าเป็น 5 ด้วยการวัดเหล่านี้มันจะมีมุมตรงข้ามกับด้านเท่ากันโดยมีค่า 72.55 °และมุมตรงข้ามของ ฐานจะเป็น 34.9 °

สามเหลี่ยมเฉียบพลันสเกลลีน

นี่คือสามเหลี่ยมที่มีด้านต่างกันสองด้าน ดังนั้นมุมทั้งหมดนอกจากจะน้อยกว่า 90 °แล้วจึงแตกต่างจากสองถึงสองมุม

สามเหลี่ยม DEF (ซึ่งมีขนาด d = 4, e = 5 และ f = 6 และมุมของมันคือ D = 41.41 °, E = 55.79 °และ F = 82.8 °) เป็นตัวอย่างที่ดีของสามเหลี่ยมเฉียบพลัน ย้วย

ความละเอียดของสามเหลี่ยมเฉียบพลัน

ดังที่เราได้กล่าวไปก่อนหน้านี้ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลันจำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบทไซน์และโคไซน์

ตัวอย่าง 1

กำหนดสามเหลี่ยม ABC ที่มีมุม A = 30 °, B = 70 °และด้าน a = 5 ซม. เราต้องการทราบค่าของมุม C และด้าน b และ c

สิ่งแรกที่เราทำคือใช้ความจริงที่ว่าผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมคือ 180 °เพื่อให้ได้ค่าของมุม C

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

เราล้าง C และเรามี:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

เนื่องจากเรารู้มุมทั้งสามและด้านหนึ่งแล้วเราจึงสามารถใช้ทฤษฎีบทไซน์เพื่อกำหนดค่าของด้านที่เหลือได้ ตามทฤษฎีบทเรามี:

a / sin (A) = b / sin (B) และ a / sin (A) = c / (sin (C)

เราแยก b ออกจากสมการและเราจะเหลือ:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0.940) / (0.5) ≈ 9.4

ตอนนี้เราต้องคำนวณค่าของ c เท่านั้น เราดำเนินการในลักษณะเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้:

c = (a * บาป (C)) / บาป (A) ≈ (5 * 0.984) / (0.5) ≈ 9.84

ดังนั้นเราจึงได้รับข้อมูลทั้งหมดของสามเหลี่ยม อย่างที่เราเห็นสามเหลี่ยมนี้จัดอยู่ในประเภทของสามเหลี่ยมเฉียบพลันที่ย้วย

ตัวอย่าง 2

กำหนด DEF สามเหลี่ยมที่มีด้าน d = 4cm, e = 5cm และ f = 6cm เราต้องการทราบค่าของมุมของสามเหลี่ยมดังกล่าว

ในกรณีนี้เราจะใช้กฎโคไซน์ซึ่งบอกเราว่า:

วัน² = อี² + f ² - 2efcos (D)

จากสมการนี้เราสามารถแก้ปัญหา cos (D) ซึ่งทำให้เราได้ผลลัพธ์:

คอส (D) = ((4) ² - (5) ² - (6) ² ) / (- 2 * 5 * 6) = 0.75

ดังนั้นเราจึงมีD≈ 41.41 °

ตอนนี้ใช้ทฤษฎีบทเซโนมเรามีสมการต่อไปนี้:

d / (บาป (D) = e / (บาป (E)

การแก้บาป (E) เรามี:

บาป (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0.66) / 4 ≈ 0.827

ดังนั้นเราจึงมีE≈55.79°

สุดท้ายโดยใช้ว่าผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมคือ 180 °เรามีF≈82.8°

1. Landaverde, F. d. (2540). เรขาคณิต (พิมพ์ซ้ำเอ็ด) ความคืบหน้า.
2. Leake, D. (2549). รูปสามเหลี่ยม (ภาพประกอบเอ็ด) ไฮเนมันน์ - เรนทรี.
3. ลีลกรัมฮวนมานูเอล. (2546). เรขาคณิตเมตริกของเครื่องบิน CODEPRE
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). รูปทรงเรขาคณิต เทคโนโลยี CR
5. ซัลลิแวน, M. (1997). ตรีโกณมิติและเรขาคณิตวิเคราะห์. การศึกษาของเพียร์สัน.