สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว: คุณสมบัติความสัมพันธ์และสูตรตัวอย่าง - เลข - 2026

หน้าจั่วรูปสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่ทั้งสองฝ่ายจะขนานกับแต่ละอื่น ๆ และนอกจากนี้ทั้งสองมุมที่อยู่ติดกันให้เป็นหนึ่งในด้านขนานเหล่านั้นมีมาตรการเดียวกัน

ในรูปที่ 1 เรามี ABCD รูปสี่เหลี่ยมซึ่งด้าน AD และ BC ขนานกัน นอกจากนี้มุม∠DABและ∠ADCที่อยู่ติดกับ AD ด้านขนานจะมีค่าαเท่ากัน

รูปที่ 1. รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ที่มา: F. Zapata

ดังนั้นรูปหลายเหลี่ยมหรือรูปหลายเหลี่ยมสี่ด้านนี้จึงมีผลกับรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูด้านที่ขนานกันเรียกว่าฐานและด้านที่ไม่ขนานกันเรียกว่าด้านข้าง ลักษณะที่สำคัญอีกประการหนึ่งคือความสูงซึ่งเป็นระยะทางที่แยกด้านที่ขนานกัน

นอกจากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วแล้วยังมีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูประเภทอื่น ๆ :

-T Rapezoid scalene ซึ่งมีมุมทั้งหมดและด้านที่แตกต่างกัน

- เรพรอยด์ทรงสี่เหลี่ยมซึ่งด้านหนึ่งมีมุมติดกันด้านขวา

รูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูมีอยู่ทั่วไปในด้านการออกแบบสถาปัตยกรรมอิเล็กทรอนิกส์การคำนวณและอื่น ๆ อีกมากมายดังที่จะเห็นในภายหลัง ดังนั้นความสำคัญของการทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติของมัน

คุณสมบัติ

พิเศษเฉพาะกับสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

ถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นหน้าจั่วจะมีคุณสมบัติลักษณะดังต่อไปนี้:

1.- ด้านข้างมีการวัดเดียวกัน

2.- มุมที่อยู่ติดกับฐานมีค่าเท่ากัน

3.- มุมตรงข้ามเสริม

4.- เส้นทแยงมุมมีความยาวเท่ากันทั้งสองส่วนที่เชื่อมจุดยอดตรงข้ามเหมือนกัน

5.- มุมที่เกิดขึ้นระหว่างฐานและเส้นทแยงมุมเป็นขนาดเดียวกันทั้งหมด

6.- มีเส้นรอบวงที่กำหนดไว้

ในทางกลับกันถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูตรงตามคุณสมบัติใด ๆ ข้างต้นแสดงว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

ถ้าในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วมุมใดมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก (90º) มุมอื่น ๆ ทั้งหมดก็จะถูกต้องเช่นกันกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า นั่นคือสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นกรณีเฉพาะของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

รูปที่ 2 ภาชนะป๊อปคอร์นและโต๊ะเรียนมีรูปร่างเหมือนสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ที่มา: pxfuel (ซ้าย) / McDowell Craig ผ่าน Flickr (ขวา)

สำหรับห้อยโหน

ชุดคุณสมบัติต่อไปนี้ใช้ได้สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูใด ๆ :

7. - ค่ามัธยฐานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูนั่นคือส่วนที่รวมจุดกึ่งกลางของด้านที่ไม่ขนานกันจะขนานกับฐานใด ๆ

8.- ความยาวของค่ามัธยฐานเท่ากับเซมิซัม (ผลรวมหารด้วย 2) ของฐาน

9.- ค่ามัธยฐานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูตัดทแยงมุมที่จุดกึ่งกลาง

10.- เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูตัดกันที่จุดที่แบ่งออกเป็นสองส่วนตามสัดส่วนกับผลหารของฐาน

11.- ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านข้างบวกผลคูณสองเท่าของฐาน

12.- ส่วนที่รวมจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมมีความยาวเท่ากับส่วนต่างกึ่งของฐาน

13.- มุมที่อยู่ติดกับด้านข้างเป็นส่วนเสริม

14.- สี่เหลี่ยมคางหมูมีเส้นรอบวงที่จารึกไว้ก็ต่อเมื่อผลรวมของฐานเท่ากับผลรวมของด้านข้าง

15.- ถ้าสี่เหลี่ยมคางหมูมีเส้นรอบวงที่จารึกไว้มุมที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลางของเส้นรอบวงดังกล่าวและด้านข้างที่ผ่านปลายด้านเดียวกันเป็นมุมฉาก

ความสัมพันธ์และสูตร

ชุดของความสัมพันธ์และสูตรต่อไปนี้อ้างถึงรูปที่ 3 โดยที่นอกจากหน้าจั่วรูปสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนที่สำคัญอื่น ๆ ที่กล่าวถึงแล้วจะแสดงเช่นเส้นทแยงมุมความสูงและค่ามัธยฐาน

รูปที่ 3. ค่ามัธยฐานเส้นทแยงมุมความสูงและเส้นรอบวงที่มีเส้นรอบวงในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ที่มา: F. Zapata

ความสัมพันธ์เฉพาะของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDAและ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180ºและ∡CDA + ∡ABC = 180º

4. - BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6. - A, B, C และ D เป็นของวงกลมที่ถูกล้อมรอบ

ความสัมพันธ์สำหรับราวสำหรับออกกำลังกายใด ๆ

1. ถ้า AK = KB และ DL = LC ⇒ KL - AD และ KL - BC

8. - KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 และ DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC และ DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (ค.ศ. - พ.ศ. ) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180ºและ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- ถ้า AD + BC = AB + DC ⇒∃ R ห่างจาก AD, BC, AB และ DC เท่ากัน

15.- ถ้า∃ R เท่ากันจาก AD, BC, AB และ DC แล้ว:

∡BRA = ∡DRC = 90º

ความสัมพันธ์สำหรับรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วกับเส้นรอบวงที่จารึกไว้

ถ้าในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วผลรวมของฐานเท่ากับสองเท่าของด้านข้างแสดงว่ามีเส้นรอบวงที่จารึกไว้

รูปที่ 4. สี่เหลี่ยมคางหมูที่มีเส้นรอบวงจารึกไว้ ที่มา: F. Zapata

คุณสมบัติต่อไปนี้ใช้เมื่อรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วมีเส้นรอบวงที่จารึกไว้ (ดูรูปที่ 4 ด้านบน):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- เส้นทแยงมุมตัดกันเป็นมุมฉาก: AC ⊥ BD

18.- ความสูงวัดเช่นเดียวกับค่ามัธยฐาน: HF = KL นั่นคือ h = m

19.- กำลังสองของความสูงเท่ากับผลคูณของฐาน: h ² = BC⋅AD

20.- ภายใต้เงื่อนไขเฉพาะเหล่านี้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับกำลังสองของความสูงหรือผลคูณของฐาน: พื้นที่ = h ² = BC⋅AD

สูตรสำหรับการกำหนดด้านหนึ่งการรู้จักอีกด้านและมุม

การรู้ฐานด้านข้างและมุมฐานอื่น ๆ สามารถกำหนดได้โดย:

a = b + 2c คอสα

b = a - 2c คอสα

หากกำหนดความยาวของฐานและมุมตามข้อมูลที่ทราบแล้วความยาวของทั้งสองด้านคือ:

c = (a - b) / (2 คอสα)

การกำหนดด้านหนึ่งรู้อีกด้านและเส้นทแยงมุม

a = (ง₁ ² - ค² ) / b;

b = (ง₁ ² - ค² ) / ก

c = √ (ง₁ ² - a⋅b)

โดยที่ d ₁คือความยาวของเส้นทแยงมุม

ฐานจากความสูงพื้นที่และฐานอื่น ๆ

a = (2 A) / h - ข

b = (2 A) / h - ก

รู้จักฐานด้านข้างพื้นที่และมุม

ค = (2A) /

ค่ามัธยฐานด้านข้างพื้นที่และมุมที่รู้จัก

c = A / (m บาปα)

ความสูงที่รู้จักกันดี

h = √

ความสูงที่รู้จักกันเป็นมุมและสองด้าน

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c บาปα

รู้จักเส้นทแยงมุมทุกด้านหรือสองด้านและมุม

วันที่₁ = √ (ค² + ab)

วันที่₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

ง₁ = √ (ข² + ค² - 2 bc คอสβ)

เส้นรอบวงของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

P = a + b + 2c

พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

การคำนวณพื้นที่มีหลายสูตรขึ้นอยู่กับข้อมูลที่ทราบ สิ่งต่อไปนี้เป็นที่รู้จักกันดีที่สุดขึ้นอยู่กับฐานและความสูง:

A = h⋅ (a + b) / 2

และคุณยังสามารถใช้สิ่งอื่น ๆ เหล่านี้:

- ถ้ารู้รอบด้าน

A = √

- เมื่อคุณมีสองด้านและมุม

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

- ถ้าทราบรัศมีของวงกลมที่จารึกและมุม

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

- เมื่อทราบฐานและมุม

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

- ถ้าสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถจารึกเส้นรอบวงได้

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

- รู้เส้นทแยงมุมและมุมที่เกิดขึ้นซึ่งกันและกัน

A = (ง₁ ² /2) γ = เสน (ง₁ ² /2) δเสน

- เมื่อคุณมีด้านข้างค่ามัธยฐานและมุม

A = mc.sen α = mc.sen β

รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

มีเพียงสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเท่านั้นที่มีเส้นรอบวงล้อมรอบ ถ้าฐานที่มากขึ้น a จะรู้ว่าด้านข้าง c และเส้นทแยงมุม d ₁นั้นรัศมี R ของวงกลมที่ผ่านจุดยอดทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

โดยที่ p = (a + c + d ₁ ) / 2

ตัวอย่างของการใช้รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วปรากฏในด้านการออกแบบดังที่เห็นในรูปที่ 2 และนี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมบางส่วน:

ในงานสถาปัตยกรรมและการก่อสร้าง

ชาวอินคาโบราณรู้จักรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วและใช้เป็นองค์ประกอบอาคารในหน้าต่างนี้ในเมือง Cuzco ประเทศเปรู:

รูปที่ 5. หน้าต่างสี่เหลี่ยมคางหมูของ Coricancha, Cuzco ที่มา: Wikimedia Commons

และที่นี่รูปสี่เหลี่ยมคางหมูจะปรากฏขึ้นอีกครั้งในสิ่งที่เรียกว่าแผ่นสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งเป็นวัสดุที่ใช้บ่อยในการก่อสร้าง:

รูปที่ 6. แผ่นโลหะสี่เหลี่ยมคางหมูป้องกันหน้าต่างของอาคารชั่วคราว ที่มา: Wikimedia Commons

ในการออกแบบ

เราได้เห็นแล้วว่ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วปรากฏในสิ่งของในชีวิตประจำวันรวมถึงอาหารเช่นช็อกโกแลตแท่งนี้:

รูปที่ 7. ช็อกโกแลตแท่งที่มีใบหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ที่มา: pxfuel.

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

- แบบฝึกหัด 1

รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วมีฐานสูงกว่า 9 ซม. ฐานน้อยกว่า 3 ซม. และเส้นทแยงมุม 8 ซม. คำนวณ:

ก) ด้านข้าง

b) ความสูง

c) ปริมณฑล

ง) พื้นที่

รูปที่ 8. โครงการออกกำลังกาย 1. ที่มา: F. Zapata

วิธีแก้ปัญหา

มีการพล็อตความสูง CP = h โดยที่ส่วนของความสูงกำหนดส่วนต่างๆ:

PD = x = (ab) / 2 ปี

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2

ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับสามเหลี่ยมมุมฉาก DPC:

ค² = H ² + (a - b) ² /4

และไปยังสามเหลี่ยมมุมฉาก APC:

d ² = H ² + AP ² = H ² + (A + B) ² /4

ในที่สุดสมาชิกโดยสมาชิกจะถูกลบสมการที่สองจากตัวแรกและตัวย่อ:

ง² - ค² = ¼ = ¼

ง² - ค² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6.08 ซม.

แนวทางแก้ไข b

เอช² = วันที่² - (A + B) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ² ) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5.29 ซม

แนวทางแก้ไข c

ปริมณฑล = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6.083 = 24.166 ซม

แนวทางแก้ไข d

พื้นที่ = h (a + b) / 2 = 5.29 (12) / 2 = 31.74 ซม

- แบบฝึกหัด 2

มีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วซึ่งฐานใหญ่กว่าสองเท่าของฐานที่เล็กกว่าและฐานที่เล็กกว่านั้นเท่ากับความสูงซึ่งเท่ากับ 6 ซม. ตัดสินใจ:

ก) ความยาวของด้านข้าง

b) ปริมณฑล

c) พื้นที่

d) มุม

รูปที่ 8. รูปแบบการออกกำลังกาย 2. ที่มา: F. Zapata

วิธีแก้ปัญหา

ข้อมูล: a = 12, b = a / 2 = 6 และ h = b = 6

เราดำเนินการดังนี้: เราวาดความสูง h และใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับสามเหลี่ยมด้านตรงข้ามมุมฉาก« c »และขา h และ x:

ค² = ชั่วโมง² + xc ²

จากนั้นคุณต้องคำนวณค่าของความสูงจากข้อมูล (h = b) และของขา x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

การแทนที่นิพจน์ก่อนหน้านี้เรามี:

ค² = b ² + (AB) ² /2 ²

ตอนนี้มีการนำค่าตัวเลขมาใช้และทำให้ง่ายขึ้น:

ค² = 62+ (12-6) 2/4

ค² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

การได้รับ:

c = 3√5 = 6.71 ซม

แนวทางแก้ไข b

เส้นรอบวง P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61.42 ซม

แนวทางแก้ไข c

พื้นที่ตามหน้าที่ของความสูงและความยาวของฐานคือ:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 ซม. ²

แนวทางแก้ไข d

มุมαที่รูปด้านข้างกับฐานที่ใหญ่กว่านั้นได้มาจากตรีโกณมิติ:

Tan (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63.44º

อีกมุมหนึ่งที่สร้างด้านข้างโดยมีฐานที่เล็กกว่าคือβซึ่งเสริมกับα:

β = 180º - α = 180º - 63.44º = 116.56º

อ้างอิง

1. EA 2003. องค์ประกอบของรูปทรงเรขาคณิต: พร้อมแบบฝึกหัดและรูปทรงเรขาคณิตของเข็มทิศ. มหาวิทยาลัย Medellin
2. Campos, F. 2014. Mathematics 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. 2007. ค้นพบรูปหลายเหลี่ยม Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. 2013. รูปหลายเหลี่ยมทั่วไป. Birkhäuser
5. IGER. คณิตศาสตร์ภาคเรียนที่ 1 Tacaná IGER.
6. เรขาคณิตจูเนียร์ 2557. รูปหลายเหลี่ยม. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren และ Hornsby 2549. คณิตศาสตร์: การใช้เหตุผลและการประยุกต์ใช้. วันที่ 10. ฉบับ การศึกษาของเพียร์สัน.
8. Patiño, M. 2006. Mathematics 5. Editorial Progreso.
9. วิกิพีเดีย ราวสำหรับออกกำลังกาย. สืบค้นจาก: es.wikipedia.com