- คุณสมบัติ
- พิเศษเฉพาะกับสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว
- สำหรับห้อยโหน
- ความสัมพันธ์และสูตร
- ความสัมพันธ์เฉพาะของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว
- ความสัมพันธ์สำหรับราวสำหรับออกกำลังกายใด ๆ
- ความสัมพันธ์สำหรับรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วกับเส้นรอบวงที่จารึกไว้
- สูตรสำหรับการกำหนดด้านหนึ่งการรู้จักอีกด้านและมุม
- การกำหนดด้านหนึ่งรู้อีกด้านและเส้นทแยงมุม
- ฐานจากความสูงพื้นที่และฐานอื่น ๆ
- รู้จักฐานด้านข้างพื้นที่และมุม
- ค่ามัธยฐานด้านข้างพื้นที่และมุมที่รู้จัก
- ความสูงที่รู้จักกันดี
- ความสูงที่รู้จักกันเป็นมุมและสองด้าน
- รู้จักเส้นทแยงมุมทุกด้านหรือสองด้านและมุม
- เส้นรอบวงของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
- พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว
- - ถ้ารู้รอบด้าน
- - เมื่อคุณมีสองด้านและมุม
- - ถ้าทราบรัศมีของวงกลมที่จารึกและมุม
- - เมื่อทราบฐานและมุม
- - ถ้าสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถจารึกเส้นรอบวงได้
- - รู้เส้นทแยงมุมและมุมที่เกิดขึ้นซึ่งกันและกัน
- - เมื่อคุณมีด้านข้างค่ามัธยฐานและมุม
- รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ
- ตัวอย่างของการใช้รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว
- ในงานสถาปัตยกรรมและการก่อสร้าง
- ในการออกแบบ
- แบบฝึกหัดที่แก้ไข
- - แบบฝึกหัด 1
- วิธีแก้ปัญหา
- แนวทางแก้ไข b
- แนวทางแก้ไข c
- แนวทางแก้ไข d
- - แบบฝึกหัด 2
- วิธีแก้ปัญหา
- แนวทางแก้ไข b
- แนวทางแก้ไข c
- แนวทางแก้ไข d
- อ้างอิง
หน้าจั่วรูปสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่ทั้งสองฝ่ายจะขนานกับแต่ละอื่น ๆ และนอกจากนี้ทั้งสองมุมที่อยู่ติดกันให้เป็นหนึ่งในด้านขนานเหล่านั้นมีมาตรการเดียวกัน
ในรูปที่ 1 เรามี ABCD รูปสี่เหลี่ยมซึ่งด้าน AD และ BC ขนานกัน นอกจากนี้มุม∠DABและ∠ADCที่อยู่ติดกับ AD ด้านขนานจะมีค่าαเท่ากัน

รูปที่ 1. รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ที่มา: F. Zapata
ดังนั้นรูปหลายเหลี่ยมหรือรูปหลายเหลี่ยมสี่ด้านนี้จึงมีผลกับรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว
ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูด้านที่ขนานกันเรียกว่าฐานและด้านที่ไม่ขนานกันเรียกว่าด้านข้าง ลักษณะที่สำคัญอีกประการหนึ่งคือความสูงซึ่งเป็นระยะทางที่แยกด้านที่ขนานกัน
นอกจากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วแล้วยังมีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูประเภทอื่น ๆ :
-T Rapezoid scalene ซึ่งมีมุมทั้งหมดและด้านที่แตกต่างกัน
- เรพรอยด์ทรงสี่เหลี่ยมซึ่งด้านหนึ่งมีมุมติดกันด้านขวา
รูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูมีอยู่ทั่วไปในด้านการออกแบบสถาปัตยกรรมอิเล็กทรอนิกส์การคำนวณและอื่น ๆ อีกมากมายดังที่จะเห็นในภายหลัง ดังนั้นความสำคัญของการทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติของมัน
คุณสมบัติ
พิเศษเฉพาะกับสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว
ถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นหน้าจั่วจะมีคุณสมบัติลักษณะดังต่อไปนี้:
1.- ด้านข้างมีการวัดเดียวกัน
2.- มุมที่อยู่ติดกับฐานมีค่าเท่ากัน
3.- มุมตรงข้ามเสริม
4.- เส้นทแยงมุมมีความยาวเท่ากันทั้งสองส่วนที่เชื่อมจุดยอดตรงข้ามเหมือนกัน
5.- มุมที่เกิดขึ้นระหว่างฐานและเส้นทแยงมุมเป็นขนาดเดียวกันทั้งหมด
6.- มีเส้นรอบวงที่กำหนดไว้
ในทางกลับกันถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูตรงตามคุณสมบัติใด ๆ ข้างต้นแสดงว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว
ถ้าในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วมุมใดมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก (90º) มุมอื่น ๆ ทั้งหมดก็จะถูกต้องเช่นกันกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า นั่นคือสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นกรณีเฉพาะของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

รูปที่ 2 ภาชนะป๊อปคอร์นและโต๊ะเรียนมีรูปร่างเหมือนสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ที่มา: pxfuel (ซ้าย) / McDowell Craig ผ่าน Flickr (ขวา)
สำหรับห้อยโหน
ชุดคุณสมบัติต่อไปนี้ใช้ได้สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูใด ๆ :
7. - ค่ามัธยฐานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูนั่นคือส่วนที่รวมจุดกึ่งกลางของด้านที่ไม่ขนานกันจะขนานกับฐานใด ๆ
8.- ความยาวของค่ามัธยฐานเท่ากับเซมิซัม (ผลรวมหารด้วย 2) ของฐาน
9.- ค่ามัธยฐานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูตัดทแยงมุมที่จุดกึ่งกลาง
10.- เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูตัดกันที่จุดที่แบ่งออกเป็นสองส่วนตามสัดส่วนกับผลหารของฐาน
11.- ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านข้างบวกผลคูณสองเท่าของฐาน
12.- ส่วนที่รวมจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมมีความยาวเท่ากับส่วนต่างกึ่งของฐาน
13.- มุมที่อยู่ติดกับด้านข้างเป็นส่วนเสริม
14.- สี่เหลี่ยมคางหมูมีเส้นรอบวงที่จารึกไว้ก็ต่อเมื่อผลรวมของฐานเท่ากับผลรวมของด้านข้าง
15.- ถ้าสี่เหลี่ยมคางหมูมีเส้นรอบวงที่จารึกไว้มุมที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลางของเส้นรอบวงดังกล่าวและด้านข้างที่ผ่านปลายด้านเดียวกันเป็นมุมฉาก
ความสัมพันธ์และสูตร
ชุดของความสัมพันธ์และสูตรต่อไปนี้อ้างถึงรูปที่ 3 โดยที่นอกจากหน้าจั่วรูปสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนที่สำคัญอื่น ๆ ที่กล่าวถึงแล้วจะแสดงเช่นเส้นทแยงมุมความสูงและค่ามัธยฐาน

รูปที่ 3. ค่ามัธยฐานเส้นทแยงมุมความสูงและเส้นรอบวงที่มีเส้นรอบวงในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ที่มา: F. Zapata
ความสัมพันธ์เฉพาะของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว
1.- AB = DC = c = d
2.- ∡DAB = ∡CDAและ∡ABC = ∡BCD
3.- ∡DAB + ∡BCD = 180ºและ∡CDA + ∡ABC = 180º
4. - BD = AC
5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α 1
6. - A, B, C และ D เป็นของวงกลมที่ถูกล้อมรอบ
ความสัมพันธ์สำหรับราวสำหรับออกกำลังกายใด ๆ
- ถ้า AK = KB และ DL = LC ⇒ KL - AD และ KL - BC
8. - KL = (AD + BC) / 2
9.- AM = MC = AC / 2 และ DN = NB = DB / 2
10.- AO / OC = AD / BC และ DO / OB = AD / BC
11.- AC 2 + DB 2 = AB 2 + DC 2 + 2⋅AD⋅BC
12.- MN = (ค.ศ. - พ.ศ. ) / 2
13.- ∡DAB + ∡ABC = 180ºและ∡CDA + ∡BCD = 180º
14.- ถ้า AD + BC = AB + DC ⇒∃ R ห่างจาก AD, BC, AB และ DC เท่ากัน
15.- ถ้า∃ R เท่ากันจาก AD, BC, AB และ DC แล้ว:
∡BRA = ∡DRC = 90º
ความสัมพันธ์สำหรับรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วกับเส้นรอบวงที่จารึกไว้
ถ้าในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วผลรวมของฐานเท่ากับสองเท่าของด้านข้างแสดงว่ามีเส้นรอบวงที่จารึกไว้

รูปที่ 4. สี่เหลี่ยมคางหมูที่มีเส้นรอบวงจารึกไว้ ที่มา: F. Zapata
คุณสมบัติต่อไปนี้ใช้เมื่อรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วมีเส้นรอบวงที่จารึกไว้ (ดูรูปที่ 4 ด้านบน):
16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2
17.- เส้นทแยงมุมตัดกันเป็นมุมฉาก: AC ⊥ BD
18.- ความสูงวัดเช่นเดียวกับค่ามัธยฐาน: HF = KL นั่นคือ h = m
19.- กำลังสองของความสูงเท่ากับผลคูณของฐาน: h 2 = BC⋅AD
20.- ภายใต้เงื่อนไขเฉพาะเหล่านี้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับกำลังสองของความสูงหรือผลคูณของฐาน: พื้นที่ = h 2 = BC⋅AD
สูตรสำหรับการกำหนดด้านหนึ่งการรู้จักอีกด้านและมุม
การรู้ฐานด้านข้างและมุมฐานอื่น ๆ สามารถกำหนดได้โดย:
a = b + 2c คอสα
b = a - 2c คอสα
หากกำหนดความยาวของฐานและมุมตามข้อมูลที่ทราบแล้วความยาวของทั้งสองด้านคือ:
c = (a - b) / (2 คอสα)
การกำหนดด้านหนึ่งรู้อีกด้านและเส้นทแยงมุม
a = (ง1 2 - ค2 ) / b;
b = (ง1 2 - ค2 ) / ก
c = √ (ง1 2 - a⋅b)
โดยที่ d 1คือความยาวของเส้นทแยงมุม
ฐานจากความสูงพื้นที่และฐานอื่น ๆ
a = (2 A) / h - ข
b = (2 A) / h - ก
รู้จักฐานด้านข้างพื้นที่และมุม
ค = (2A) /
ค่ามัธยฐานด้านข้างพื้นที่และมุมที่รู้จัก
c = A / (m บาปα)
ความสูงที่รู้จักกันดี
h = √
ความสูงที่รู้จักกันเป็นมุมและสองด้าน
h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c บาปα
รู้จักเส้นทแยงมุมทุกด้านหรือสองด้านและมุม
วันที่1 = √ (ค2 + ab)
วันที่1 = √ (a 2 + c 2 - 2 ac Cos α)
ง1 = √ (ข2 + ค2 - 2 bc คอสβ)
เส้นรอบวงของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
P = a + b + 2c
พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว
การคำนวณพื้นที่มีหลายสูตรขึ้นอยู่กับข้อมูลที่ทราบ สิ่งต่อไปนี้เป็นที่รู้จักกันดีที่สุดขึ้นอยู่กับฐานและความสูง:
A = h⋅ (a + b) / 2
และคุณยังสามารถใช้สิ่งอื่น ๆ เหล่านี้:
- ถ้ารู้รอบด้าน
A = √
- เมื่อคุณมีสองด้านและมุม
A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α
- ถ้าทราบรัศมีของวงกลมที่จารึกและมุม
A = 4 r 2 / Sen α = 4 r 2 / Sen β
- เมื่อทราบฐานและมุม
A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β
- ถ้าสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถจารึกเส้นรอบวงได้
A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2
- รู้เส้นทแยงมุมและมุมที่เกิดขึ้นซึ่งกันและกัน
A = (ง1 2 /2) γ = เสน (ง1 2 /2) δเสน
- เมื่อคุณมีด้านข้างค่ามัธยฐานและมุม
A = mc.sen α = mc.sen β
รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ
มีเพียงสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเท่านั้นที่มีเส้นรอบวงล้อมรอบ ถ้าฐานที่มากขึ้น a จะรู้ว่าด้านข้าง c และเส้นทแยงมุม d 1นั้นรัศมี R ของวงกลมที่ผ่านจุดยอดทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ:
R = a⋅c⋅d 1 / 4√
โดยที่ p = (a + c + d 1 ) / 2
ตัวอย่างของการใช้รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว
รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วปรากฏในด้านการออกแบบดังที่เห็นในรูปที่ 2 และนี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมบางส่วน:
ในงานสถาปัตยกรรมและการก่อสร้าง
ชาวอินคาโบราณรู้จักรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วและใช้เป็นองค์ประกอบอาคารในหน้าต่างนี้ในเมือง Cuzco ประเทศเปรู:

รูปที่ 5. หน้าต่างสี่เหลี่ยมคางหมูของ Coricancha, Cuzco ที่มา: Wikimedia Commons
และที่นี่รูปสี่เหลี่ยมคางหมูจะปรากฏขึ้นอีกครั้งในสิ่งที่เรียกว่าแผ่นสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งเป็นวัสดุที่ใช้บ่อยในการก่อสร้าง:

รูปที่ 6. แผ่นโลหะสี่เหลี่ยมคางหมูป้องกันหน้าต่างของอาคารชั่วคราว ที่มา: Wikimedia Commons
ในการออกแบบ
เราได้เห็นแล้วว่ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วปรากฏในสิ่งของในชีวิตประจำวันรวมถึงอาหารเช่นช็อกโกแลตแท่งนี้:

รูปที่ 7. ช็อกโกแลตแท่งที่มีใบหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ที่มา: pxfuel.
แบบฝึกหัดที่แก้ไข
- แบบฝึกหัด 1
รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วมีฐานสูงกว่า 9 ซม. ฐานน้อยกว่า 3 ซม. และเส้นทแยงมุม 8 ซม. คำนวณ:
ก) ด้านข้าง
b) ความสูง
c) ปริมณฑล
ง) พื้นที่

รูปที่ 8. โครงการออกกำลังกาย 1. ที่มา: F. Zapata
วิธีแก้ปัญหา
มีการพล็อตความสูง CP = h โดยที่ส่วนของความสูงกำหนดส่วนต่างๆ:
PD = x = (ab) / 2 ปี
AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2
ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับสามเหลี่ยมมุมฉาก DPC:
ค2 = H 2 + (a - b) 2 /4
และไปยังสามเหลี่ยมมุมฉาก APC:
d 2 = H 2 + AP 2 = H 2 + (A + B) 2 /4
ในที่สุดสมาชิกโดยสมาชิกจะถูกลบสมการที่สองจากตัวแรกและตัวย่อ:
ง2 - ค2 = ¼ = ¼
ง2 - ค2 = ¼ = ab
c 2 = d 2 - ab ⇒ c = √ (d 2 - ab) = √ (8 2 - 9⋅3) = √37 = 6.08 ซม.
แนวทางแก้ไข b
เอช2 = วันที่2 - (A + B) 2 /4 = 8 2 - (12 2 /2 2 ) = 8 2 - 6 2 = 28
h = 2 √7 = 5.29 ซม
แนวทางแก้ไข c
ปริมณฑล = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6.083 = 24.166 ซม
แนวทางแก้ไข d
พื้นที่ = h (a + b) / 2 = 5.29 (12) / 2 = 31.74 ซม
- แบบฝึกหัด 2
มีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วซึ่งฐานใหญ่กว่าสองเท่าของฐานที่เล็กกว่าและฐานที่เล็กกว่านั้นเท่ากับความสูงซึ่งเท่ากับ 6 ซม. ตัดสินใจ:
ก) ความยาวของด้านข้าง
b) ปริมณฑล
c) พื้นที่
d) มุม

รูปที่ 8. รูปแบบการออกกำลังกาย 2. ที่มา: F. Zapata
วิธีแก้ปัญหา
ข้อมูล: a = 12, b = a / 2 = 6 และ h = b = 6
เราดำเนินการดังนี้: เราวาดความสูง h และใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับสามเหลี่ยมด้านตรงข้ามมุมฉาก« c »และขา h และ x:
ค2 = ชั่วโมง2 + xc 2
จากนั้นคุณต้องคำนวณค่าของความสูงจากข้อมูล (h = b) และของขา x:
a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2
การแทนที่นิพจน์ก่อนหน้านี้เรามี:
ค2 = b 2 + (AB) 2 /2 2
ตอนนี้มีการนำค่าตัวเลขมาใช้และทำให้ง่ายขึ้น:
ค2 = 62+ (12-6) 2/4
ค2 = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)
การได้รับ:
c = 3√5 = 6.71 ซม
แนวทางแก้ไข b
เส้นรอบวง P = a + b + 2 c
P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61.42 ซม
แนวทางแก้ไข c
พื้นที่ตามหน้าที่ของความสูงและความยาวของฐานคือ:
A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 ซม. 2
แนวทางแก้ไข d
มุมαที่รูปด้านข้างกับฐานที่ใหญ่กว่านั้นได้มาจากตรีโกณมิติ:
Tan (α) = h / x = 6/3 = 2
α = ArcTan (2) = 63.44º
อีกมุมหนึ่งที่สร้างด้านข้างโดยมีฐานที่เล็กกว่าคือβซึ่งเสริมกับα:
β = 180º - α = 180º - 63.44º = 116.56º
อ้างอิง
- EA 2003. องค์ประกอบของรูปทรงเรขาคณิต: พร้อมแบบฝึกหัดและรูปทรงเรขาคณิตของเข็มทิศ. มหาวิทยาลัย Medellin
- Campos, F. 2014. Mathematics 2. Grupo Editorial Patria.
- Freed, K. 2007. ค้นพบรูปหลายเหลี่ยม Benchmark Education Company.
- Hendrik, V. 2013. รูปหลายเหลี่ยมทั่วไป. Birkhäuser
- IGER. คณิตศาสตร์ภาคเรียนที่ 1 Tacaná IGER.
- เรขาคณิตจูเนียร์ 2557. รูปหลายเหลี่ยม. Lulu Press, Inc.
- Miller, Heeren และ Hornsby 2549. คณิตศาสตร์: การใช้เหตุผลและการประยุกต์ใช้. วันที่ 10. ฉบับ การศึกษาของเพียร์สัน.
- Patiño, M. 2006. Mathematics 5. Editorial Progreso.
- วิกิพีเดีย ราวสำหรับออกกำลังกาย. สืบค้นจาก: es.wikipedia.com
