LAPLACE TRANSFORM: คำจำกัดความประวัติศาสตร์และสิ่งที่มีไว้สำหรับ - เลข - 2026

ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมาการแปลงลาปลาซมีความสำคัญอย่างมากในการศึกษาด้านวิศวกรรมคณิตศาสตร์ฟิสิกส์ในด้านวิทยาศาสตร์อื่น ๆ รวมถึงความสนใจในทฤษฎีเป็นอย่างมากเป็นวิธีง่ายๆในการแก้ปัญหาที่มาจาก วิทยาศาสตร์และวิศวกรรม.

เดิมทีการแปลง Laplace นำเสนอโดย Pierre-Simón Laplace ในการศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นและในขั้นต้นถือว่าเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มีความสนใจเชิงทฤษฎีอย่างแท้จริง

การใช้งานในปัจจุบันเกิดขึ้นเมื่อนักคณิตศาสตร์หลายคนพยายามให้เหตุผลอย่างเป็นทางการกับ "กฎการดำเนินงาน" ที่ Heaviside ใช้ในการศึกษาสมการของทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า

คำนิยาม

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่กำหนดไว้สำหรับ t ≥ 0 การแปลง Laplace ถูกกำหนดดังนี้:

กล่าวกันว่าการแปลง Laplace จะมีอยู่จริงหากอินทิกรัลก่อนหน้านี้มาบรรจบกันมิฉะนั้นการแปลง Laplace จะถูกกล่าวว่าไม่มีอยู่จริง

โดยทั่วไปอักษรตัวพิมพ์เล็กจะใช้เพื่อแสดงถึงฟังก์ชันที่จะแปลงและอักษรตัวใหญ่จะตรงกับการแปลง ด้วยวิธีนี้เราจะมี:

ตัวอย่าง

พิจารณาฟังก์ชันคงที่ f (t) = 1 เรามีการเปลี่ยนแปลงคือ:

เมื่อใดก็ตามที่อินทิกรัลมาบรรจบกันนั่นคือเมื่อใดก็ตามที่ s> 0 มิฉะนั้น s <0 อินทิกรัลจะแตกต่าง

ให้ g (t) = t การแปลง Laplace ได้รับจาก

โดยการรวมโดยส่วนต่างๆและรู้ว่า te ^-stมีแนวโน้มที่จะเป็น 0 เมื่อ t มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดและ s> 0 พร้อมกับตัวอย่างก่อนหน้านี้เรามี:

การแปลงอาจมีหรือไม่มีอยู่ตัวอย่างเช่นสำหรับฟังก์ชัน f (t) = 1 / t อินทิกรัลที่กำหนดการแปลงลาปลาซของมันจะไม่บรรจบกันดังนั้นจึงไม่มีการแปลง

เงื่อนไขที่เพียงพอที่จะรับประกันว่าการแปลง Laplace ของฟังก์ชัน f มีอยู่คือ f จะต่อเนื่องทีละชิ้นสำหรับ t ≥ 0 และเป็นลำดับเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันถูกกล่าวว่าต่อเนื่องทีละชิ้นสำหรับ t ≥ 0 เมื่อสำหรับช่วงเวลาใด ๆ ที่มี a> 0 มีจำนวนจุด จำกัด t _{k โดย}ที่ f มีความไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่องกันในแต่ละช่วงย่อย

ในทางกลับกันฟังก์ชันจะถูกกล่าวว่าเป็นลำดับเลขชี้กำลัง c ถ้ามีค่าคงที่จริง M> 0, c และ T> 0 เช่นนั้น:

จากตัวอย่างเรามีว่า f (t) = t ²เป็นลำดับเลขชี้กำลังตั้งแต่ -t ² - <e ^3tสำหรับทั้งหมด t> 0

อย่างเป็นทางการเรามีทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท (เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่)

ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องส่วนหนึ่งสำหรับ t> 0 และของลำดับเลขชี้กำลัง c การแปลง Laplace จะมีอยู่สำหรับ s> c

สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่านี่เป็นเงื่อนไขที่เพียงพอกล่าวคืออาจเป็นกรณีที่มีฟังก์ชันที่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขเหล่านี้และถึงกระนั้นการแปลงลาปลาซก็มีอยู่

ตัวอย่างคือฟังก์ชัน f (t) = t ^-1/2ซึ่งไม่ต่อเนื่องทีละ^ชิ้นสำหรับ t ≥ 0 แต่มีการแปลง Laplace อยู่

Laplace เปลี่ยนฟังก์ชันพื้นฐานบางอย่าง

ตารางต่อไปนี้แสดงการแปลง Laplace ของฟังก์ชันทั่วไป

ประวัติศาสตร์

การแปลงร่างของลาปลาซเป็นชื่อของปิแอร์ - ไซมอนลาปลาซนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์เชิงทฤษฎีชาวฝรั่งเศสผู้ซึ่งเกิดในปี 1749 และเสียชีวิตในปี พ.ศ. 2370 ชื่อเสียงของเขาเป็นที่รู้จักในนามนิวตันแห่งฝรั่งเศส

ในปีพ. ศ

เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดา แต่เขาก็ละทิ้งการสอบสวนนี้ไปอย่างรวดเร็ว ต่อมาโจเซฟหลุยส์ลากรองจ์ผู้ซึ่งชื่นชมออยเลอร์เป็นอย่างมากได้ตรวจสอบปริพันธ์ประเภทนี้และเกี่ยวข้องกับทฤษฎีความน่าจะเป็น

พ.ศ. 2325 ลาปลาซ

ในปี 1782 Laplace เริ่มศึกษาปริพันธ์เช่นการแก้สมการเชิงอนุพันธ์และตามที่นักประวัติศาสตร์กล่าวไว้ในปี พ.ศ. 2328 เขาตัดสินใจที่จะปฏิรูปปัญหาใหม่ซึ่งต่อมาได้ก่อให้เกิดการเปลี่ยนแปลงของลาปลาซตามที่เข้าใจกันในปัจจุบัน

เมื่อได้รับการแนะนำให้รู้จักกับทฤษฎีความน่าจะเป็นนักวิทยาศาสตร์ในเวลานั้นไม่ค่อยมีใครสนใจและถูกมองว่าเป็นเพียงวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มีความสนใจในเชิงทฤษฎีเท่านั้น

Oliver Heaviside

ในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 วิศวกรชาวอังกฤษ Oliver Heaviside ค้นพบว่าตัวดำเนินการที่แตกต่างกันสามารถถือว่าเป็นตัวแปรพีชคณิตได้ดังนั้น Laplace จึงเปลี่ยนการประยุกต์ใช้สมัยใหม่

Oliver Heaviside เป็นนักฟิสิกส์วิศวกรไฟฟ้าและนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษที่เกิดในลอนดอนในปี 1850 และเสียชีวิตในปี 2468 ในขณะที่พยายามแก้ปัญหาสมการเชิงอนุพันธ์ที่ประยุกต์ใช้กับทฤษฎีการสั่นสะเทือนและใช้การศึกษาของ Laplace เขาเริ่มสร้าง แอพพลิเคชั่นสมัยใหม่ของ Laplace transforms

ผลลัพธ์ที่นำเสนอโดย Heaviside แพร่กระจายอย่างรวดเร็วไปทั่วชุมชนวิทยาศาสตร์ในเวลานั้น แต่เนื่องจากงานของเขาไม่เข้มงวดนักเขาจึงถูกวิพากษ์วิจารณ์อย่างรวดเร็วจากนักคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิม

อย่างไรก็ตามประโยชน์ของงานของ Heaviside ในการแก้สมการทางฟิสิกส์ทำให้วิธีการของเขาเป็นที่นิยมในหมู่นักฟิสิกส์และวิศวกร

แม้จะมีความพ่ายแพ้เหล่านี้และหลังจากความพยายามที่ล้มเหลวมาหลายทศวรรษในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 อาจมีการให้เหตุผลอย่างเข้มงวดกับกฎการปฏิบัติงานที่ Heaviside กำหนด

ความพยายามเหล่านี้ก่อให้เกิดผลเนื่องจากความพยายามของนักคณิตศาสตร์หลายคนเช่น Bromwich, Carson, van der Pol และคนอื่น ๆ

คุณสมบัติ

ในคุณสมบัติของการแปลง Laplace มีดังต่อไปนี้:

ความเป็นเส้นตรง

ให้ c1 และ c2 เป็นค่าคงที่และฟังก์ชัน f (t) และ g (t) ซึ่งการแปลงลาปลาซคือ F (s) และ G (s) ตามลำดับจากนั้นเรามี:

เนื่องจากคุณสมบัตินี้การแปลง Laplace จึงกล่าวได้ว่าเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น

ตัวอย่าง

ทฤษฎีบทการแปลครั้งแรก

ถ้ามันเกิดขึ้น:

และ 'a' คือจำนวนจริงดังนั้น:

ตัวอย่าง

ตั้งแต่การแปลง Laplace ของ cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) แล้ว:

ทฤษฎีบทการแปลที่สอง

ใช่

ดังนั้น

ตัวอย่าง

ถ้า f (t) = t ^ 3 แล้ว F (s) = 6 / s ^ 4 ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของ

คือ G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

การเปลี่ยนแปลงขนาด

ใช่

และ 'a' เป็นของจริงที่ไม่ใช่ศูนย์เราต้อง

ตัวอย่าง

เนื่องจากการแปลงของ f (t) = sin (t) คือ F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) เราจึงมีสิ่งนั้น

การแปลงอนุพันธ์ของ Laplace

ถ้า f, f ', f' ', … , f ⁽ⁿ⁾ต่อเนื่องสำหรับ t ≥ 0 และมีลำดับเลขชี้กำลังและ f ⁽ⁿ⁾ (t) ต่อเนื่องทีละชิ้นสำหรับ t ≥ 0 จากนั้น

การแปลงลาปลาซของปริพันธ์

ใช่

ดังนั้น

การคูณด้วย t

ถ้าเราต้อง

ดังนั้น

หารด้วย t

ถ้าเราต้อง

ดังนั้น

ฟังก์ชันเป็นระยะ

ให้ f เป็นฟังก์ชันคาบโดยมีคาบ T> 0 นั่นคือ f (t + T) = f (t) แล้ว

พฤติกรรมของ F (s) มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด

ถ้า f ต่อเนื่องกันในส่วนและลำดับเลขชี้กำลังและ

ดังนั้น

การแปลงผกผัน

เมื่อเราใช้การแปลง Laplace กับฟังก์ชัน f (t) เราจะได้ F (s) ซึ่งแสดงถึงการแปลงนี้ ในทำนองเดียวกันเราสามารถพูดได้ว่า f (t) คือการแปลงลาปลาซผกผันของ F (s) และเขียนเป็น

เรารู้ว่าการแปลงลาปลาซของ f (t) = 1 และ g (t) = t คือ F (s) = 1 / s และ G (s) = 1 / s ²ตามลำดับดังนั้นเราจึงมี

การแปลงลาปลาซผกผันทั่วไปบางประการมีดังนี้

นอกจากนี้การแปลงลาปลาซผกผันยังเป็นแบบเส้นตรงนั่นคือมันเป็นความจริง

ออกกำลังกาย

หา

ในการแก้แบบฝึกหัดนี้เราต้องจับคู่ฟังก์ชัน F กับตารางก่อนหน้าอย่างใดอย่างหนึ่ง ในกรณีนี้ถ้าเรารับ + ​​1 = 5 และใช้คุณสมบัติเชิงเส้นของการแปลงผกผันเราจะคูณและหารด้วย 4! การเดินทาง

สำหรับการแปลงผกผันครั้งที่สองเราใช้เศษส่วนบางส่วนเพื่อเขียนฟังก์ชัน F ใหม่จากนั้นจึงเปลี่ยนคุณสมบัติของความเป็นเชิงเส้นโดยได้รับ

ดังที่เราเห็นจากตัวอย่างเหล่านี้เป็นเรื่องปกติที่ฟังก์ชัน F ที่ได้รับการประเมินจะไม่ตรงกับฟังก์ชันใด ๆ ที่ระบุในตารางอย่างแม่นยำ สำหรับกรณีเหล่านี้ดังที่เห็นได้ก็เพียงพอที่จะเขียนฟังก์ชันใหม่จนกว่าจะถึงรูปแบบที่เหมาะสม

การประยุกต์ใช้การแปลง Laplace

สมการเชิงอนุพันธ์

การประยุกต์ใช้หลักของการแปลงลาปลาซคือการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

การใช้คุณสมบัติของการแปลงอนุพันธ์เป็นที่ชัดเจนว่า

Y ของอนุพันธ์ n-1 ประเมินที่ t = 0

คุณสมบัตินี้ทำให้การแปลงมีประโยชน์มากสำหรับการแก้ปัญหาค่าเริ่มต้นที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงวิธีใช้การแปลงลาปลาซเพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์

ตัวอย่าง 1

ระบุปัญหาค่าเริ่มต้นต่อไปนี้

ใช้ Laplace transform เพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหา

เราใช้การแปลงลาปลาซกับสมาชิกแต่ละคนของสมการเชิงอนุพันธ์

โดยคุณสมบัติของการแปลงอนุพันธ์เรามี

โดยการพัฒนานิพจน์ทั้งหมดและการล้าง Y (s) ที่เรามี

การใช้เศษส่วนบางส่วนเพื่อเขียนใหม่ทางด้านขวามือของสมการที่เราได้รับ

สุดท้ายเป้าหมายของเราคือการหาฟังก์ชัน y (t) ที่ตรงตามสมการเชิงอนุพันธ์ การใช้การแปลงลาปลาซผกผันทำให้เราได้ผลลัพธ์

ตัวอย่าง 2

แก้

เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้เราใช้การแปลงทั้งสองด้านของสมการและแยกคำตามเทอม

ด้วยวิธีนี้เราจึงได้ผลลัพธ์

การแทนที่ด้วยค่าเริ่มต้นที่กำหนดและการแก้ Y (s)

การใช้เศษส่วนอย่างง่ายเราสามารถเขียนสมการใหม่ได้ดังนี้

และการใช้การแปลงลาปลาซผกผันทำให้เราได้ผลลัพธ์

ในตัวอย่างเหล่านี้คุณอาจสรุปผิดพลาดว่าวิธีนี้ไม่ได้ดีไปกว่าวิธีดั้งเดิมในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

ข้อดีของการแปลง Laplace คือคุณไม่จำเป็นต้องใช้รูปแบบพารามิเตอร์หรือกังวลเกี่ยวกับกรณีต่างๆของวิธีสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน

นอกจากนี้เมื่อแก้ปัญหาค่าเริ่มต้นด้วยวิธีนี้ตั้งแต่เริ่มต้นเราใช้เงื่อนไขเริ่มต้นดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องทำการคำนวณอื่น ๆ เพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยเฉพาะ

ระบบสมการเชิงอนุพันธ์

การแปลงลาปลาซยังสามารถใช้เพื่อค้นหาคำตอบสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญพร้อมกันดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง

แก้ไข

ด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น x (0) = 8 และ y (0) = 3

ถ้าเราต้อง

ดังนั้น

การแก้ทำให้เราได้ผลลัพธ์

และใช้การแปลงลาปลาซผกผันที่เรามี

กลศาสตร์และวงจรไฟฟ้า

การแปลงลาปลาซมีความสำคัญอย่างยิ่งในฟิสิกส์โดยส่วนใหญ่มีการใช้งานสำหรับกลศาสตร์และวงจรไฟฟ้า

วงจรไฟฟ้าอย่างง่ายประกอบด้วยองค์ประกอบต่อไปนี้

สวิตช์แบตเตอรี่หรือแหล่งกำเนิดตัวเหนี่ยวนำตัวต้านทานและตัวเก็บประจุ เมื่อปิดสวิตช์จะเกิดกระแสไฟฟ้าขึ้นซึ่งแสดงด้วย i (t) ประจุของตัวเก็บประจุแสดงด้วย q (t)

ตามกฎข้อที่สองของ Kirchhoff แรงดันไฟฟ้าที่เกิดจากแหล่ง E ในวงจรปิดจะต้องเท่ากับผลรวมของแรงดันไฟฟ้าแต่ละตัวที่ลดลง

กระแสไฟฟ้า i (t) เกี่ยวข้องกับประจุ q (t) บนตัวเก็บประจุโดย i = dq / dt ในทางกลับกันแรงดันตกในแต่ละองค์ประกอบถูกกำหนดไว้ดังนี้:

แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานคือ iR = R (dq / dt)

แรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำคือ L (di / dt) = L (d ² q / dt ² )

แรงดันตกคร่อมตัวเก็บประจุคือ q / C

ด้วยข้อมูลเหล่านี้และการใช้กฎข้อที่สองของ Kirchhoff กับวงจรปิดอย่างง่ายจะได้สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่สองซึ่งอธิบายระบบและช่วยให้เราสามารถกำหนดค่าของ q (t) ได้

ตัวอย่าง

ตัวเหนี่ยวนำตัวเก็บประจุและตัวต้านทานเชื่อมต่อกับแบตเตอรี่ E ดังแสดงในรูป ตัวเหนี่ยวนำคือ 2 เฮนรีตัวเก็บประจุ 0.02 ฟาราดและความต้านทาน 16 โอห์ม ในเวลา t = 0 วงจรจะปิด ค้นหาประจุและกระแสได้ตลอดเวลา t> 0 ถ้า E = 300 โวลต์

เรามีสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายวงจรนี้มีดังต่อไปนี้

โดยเงื่อนไขเริ่มต้นคือ q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0)

ใช้การแปลง Laplace เราได้รับสิ่งนั้น

และการแก้สำหรับ Q (t)

จากนั้นใช้การแปลงลาปลาซผกผันที่เรามี

อ้างอิง

1. G.Holbrook, J. (1987). Laplace transform สำหรับวิศวกรอิเล็กทรอนิกส์ Limusa
2. Ruiz, LM, & Hernandez, MP (2006) สมการเชิงอนุพันธ์และการแปลงลาปลาซด้วยแอพพลิเคชั่น UPV กองบรรณาธิการ
3. ซิมมอนส์, GF (1993) สมการเชิงอนุพันธ์พร้อมการใช้งานและบันทึกทางประวัติศาสตร์ McGraw-Hill
4. Spiegel, MR (1991). Laplace แปลงร่าง McGraw-Hill
5. Zill, DG และ Cullen, MR (2008) สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีปัญหาค่าพรมแดน Cengage Learning Editores, SA