ทฤษฎีบทของ VARIGNON: ตัวอย่างและแบบฝึกหัดที่มีการแก้ไข - เลข - 2025

ทฤษฎีบท Varignonระบุว่าหากรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ ที่มีการเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านอย่างต่อเนื่องสี่เหลี่ยมด้านขนานจะถูกสร้างขึ้น ทฤษฎีบทนี้กำหนดขึ้นโดยปิแอร์วาริญงและตีพิมพ์ในปี 1731 ในหนังสือ Elements of Mathematics”

การตีพิมพ์หนังสือเล่มนี้เกิดขึ้นหลายปีหลังจากที่เขาเสียชีวิต เนื่องจาก Varignon เป็นผู้แนะนำทฤษฎีบทนี้จึงตั้งชื่อสี่เหลี่ยมด้านขนานตามชื่อเขา ทฤษฎีบทขึ้นอยู่กับเรขาคณิตแบบยูคลิดและนำเสนอความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตของรูปสี่เหลี่ยม

ทฤษฎีบทของ Varignon คืออะไร?

Varignon ระบุว่าตัวเลขที่กำหนดโดยจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมจะทำให้ได้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเสมอและพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมเสมอกันถ้ามันแบนและนูน ตัวอย่างเช่น:

ในรูปคุณจะเห็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีพื้นที่ X โดยที่จุดกึ่งกลางของด้านข้างแสดงด้วย E, F, G และ H และเมื่อรวมเข้าด้วยกันจะสร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเป็นผลรวมของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นและครึ่งหนึ่งของสิ่งนี้จะตรงกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เนื่องจากพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจึงสามารถกำหนดขอบเขตของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นได้

ดังนั้นเส้นรอบวงจึงเท่ากับผลรวมของความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยม เนื่องจากค่ามัธยฐานของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ในทางกลับกันถ้าความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมเท่ากันทุกประการรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ตัวอย่างเช่น:

จากรูปจะเห็นได้ว่าโดยการรวมจุดกึ่งกลางของด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมด้านข้างจะได้รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ในทางกลับกันถ้าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตั้งฉากกันรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

นอกจากนี้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อรูปสี่เหลี่ยมมีเส้นทแยงมุมที่มีความยาวเท่ากันและตั้งฉากด้วย

ทฤษฎีบทไม่ได้ถูกเติมเต็มในรูปสี่เหลี่ยมระนาบเท่านั้น แต่ยังนำไปใช้ในรูปทรงเรขาคณิตเชิงพื้นที่หรือในขนาดใหญ่ นั่นคือในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ไม่นูน ตัวอย่างนี้อาจเป็นรูปแปดหน้าโดยที่จุดกึ่งกลางคือเซนทรอยด์ของแต่ละใบหน้าและสร้างขนานกัน

ด้วยวิธีนี้โดยการรวมจุดกึ่งกลางของตัวเลขที่แตกต่างกันจะสามารถหาเส้นขนานได้ วิธีง่ายๆในการตรวจสอบว่าเป็นจริงหรือไม่คือด้านตรงข้ามจะต้องขนานกันเมื่อขยายออกไป

ตัวอย่าง

ตัวอย่างแรก

การขยายด้านตรงข้ามเพื่อแสดงว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

ตัวอย่างที่สอง

โดยการรวมจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

ทฤษฎีบทถูกใช้ในการรวมกันของจุดที่อยู่ตรงกลางด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมด้านข้างและยังสามารถใช้กับจุดประเภทอื่น ๆ เช่นไตรเซกชันเพนตาส่วนหรือแม้แต่จำนวนส่วนที่ไม่มีที่สิ้นสุด ( nth) เพื่อแบ่งด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ ออกเป็นส่วนที่เป็นสัดส่วน

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

แบบฝึกหัด 1

ในรูปเรามี ABCD รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสของพื้นที่ Z โดยที่จุดกึ่งกลางของด้านข้างนี้คือ PQSR ตรวจสอบว่ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน Varignon ถูกสร้างขึ้น

สารละลาย

สามารถตรวจสอบได้ว่าเมื่อเข้าร่วม PQSR ชี้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน Varignon จะถูกสร้างขึ้นอย่างแม่นยำเนื่องจากระบุจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในคำสั่ง

เพื่อแสดงให้เห็นถึงสิ่งนี้อันดับแรกจุดกึ่งกลาง PQSR จะถูกรวมเข้าด้วยกันดังนั้นจึงเห็นได้ว่ามีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนอีกรูปหนึ่ง ในการพิสูจน์ว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคุณจะต้องลากเส้นตรงจากจุด C ไปยังจุด A เท่านั้นจึงจะเห็นได้ว่า CA ขนานกับ PQ และ RS

ในทำนองเดียวกันเมื่อขยาย PQRS ด้านข้างจะเห็นได้ว่า PQ และ RS ขนานกันดังที่แสดงในภาพต่อไปนี้:

แบบฝึกหัด 2

เรามีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ความยาวของด้านทั้งหมดเท่ากัน ด้วยการรวมจุดกึ่งกลางของด้านเหล่านี้จะเกิด ABCD รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งหารด้วยสองเส้นทแยงมุม AC = 7 ซม. และ BD = 10 ซม. ซึ่งตรงกับการวัดด้านข้างของสี่เหลี่ยม กำหนดพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สารละลาย

โปรดจำไว้ว่าพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ได้คือครึ่งหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานพื้นที่ของสิ่งเหล่านี้สามารถระบุได้โดยทราบว่าการวัดของเส้นทแยงมุมเกิดขึ้นพร้อมกับด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยม ดังนั้นคุณต้อง:

AB = ง

ซีดี = d

_{สี่เหลี่ยมผืนผ้า} = (AB _* CD) = (10cm _* 7cm) = 70cm ²

_{รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน} = a _{สี่เหลี่ยมผืนผ้า} / 2

_{รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน} = 70 ซม. ² /2 = 35 ซม. ²

แบบฝึกหัด 3

ในรูปมีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีการรวมกันของจุด EFGH ความยาวของส่วนจะได้รับ พิจารณาว่าการรวมกันของ EFGH เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือไม่

AB = 2.4 CG = 3.06

EB = 1.75 GD = 2.24

BF = 2.88 DH = 2.02

HR = 3.94 HA = 2.77

สารละลาย

เมื่อกำหนดความยาวของเซ็กเมนต์จึงสามารถตรวจสอบได้ว่ามีสัดส่วนระหว่างเซ็กเมนต์หรือไม่ นั่นคือคุณสามารถรู้ได้ว่ามันขนานกันหรือไม่โดยเกี่ยวข้องกับส่วนของรูปสี่เหลี่ยมด้านล่างดังนี้:

- AE / EB = 2.4 / 1.75 = 1.37

- AH / HD = 2.77 / 2.02 = 1.37

- CF / FB = 3.94 / 2.88 = 1.37

- CG / GD = 3.06 / 2.24 = 1.37

จากนั้นตรวจสอบสัดส่วนเนื่องจาก:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

ในทำนองเดียวกันเมื่อลากเส้นจากจุด B ไปยังจุด D จะเห็นได้ว่า EH ขนานกับ BD เช่นเดียวกับที่ BD ขนานกับ FG ในทางกลับกัน EF ขนานกับ GH

ดังนั้นจึงสามารถระบุได้ว่า EFGH เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเนื่องจากด้านตรงข้ามขนานกัน

อ้างอิง

1. Andres, T. (2010). คณิตศาสตร์โอลิมปิก Tresure สปริงเกอร์. นิวยอร์ก.
2. บาร์โบซา, JL (2549). เรขาคณิตของเครื่องบินแบบยุคลิด SBM. ริโอเดจาเนโร
3. Howar, E. (1969). การศึกษารูปทรงเรขาคณิต เม็กซิโก: ฮิสแปนิก - อเมริกัน
4. ราโม, GP (1998). ไม่ทราบวิธีแก้ปัญหา Fermat-Torricelli ISBN - งานอิสระ
5. Vera, F. (2486). องค์ประกอบของเรขาคณิต โบโกตา
6. คนร้าย, M. (2539). การผจญภัยบางอย่างในรูปทรงเรขาคณิตยุคลิด แอฟริกาใต้.