ทฤษฎีบทของ STEINER: คำอธิบายการใช้งานแบบฝึกหัด - กายภาพ - 2026

ทิ 's ทฤษฎีบทยังเป็นที่รู้จักทฤษฎีบทแกนขนานเพื่อประเมินโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายที่ขยายออกไปรอบแกนที่ขนานกับผ่านอื่นผ่านจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุที่

มันถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส Jakob Steiner (1796-1863) และระบุสิ่งต่อไปนี้: ให้ I _{CM เป็น}ช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยของวัตถุเมื่อเทียบกับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล CM และ I _zโมเมนต์ความเฉื่อยเทียบกับแกนอื่น ขนานกับสิ่งนี้

รูปที่ 1. ประตูสี่เหลี่ยมที่หมุนบานพับมีช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยที่สามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทของ Steiner ที่มา: Pixabay

เมื่อทราบระยะทาง D ที่แยกทั้งสองแกนและมวล M ของร่างกายที่เป็นปัญหาโมเมนต์ความเฉื่อยเทียบกับแกนที่ไม่รู้จักคือ:

โมเมนต์ความเฉื่อยบ่งบอกว่าวัตถุหมุนรอบแกนใดแกนหนึ่งได้ง่ายเพียงใด ไม่เพียงขึ้นอยู่กับมวลของร่างกายเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับวิธีการกระจาย ด้วยเหตุนี้จึงเรียกอีกอย่างหนึ่งว่าความเฉื่อยในการหมุนซึ่งเป็นหน่วยใน International System Kg ม. ² .

ทฤษฎีบทแสดงให้เห็นว่าโมเมนต์ความเฉื่อย I _zมีค่ามากกว่าโมเมนต์ความเฉื่อย I _{CM เสมอ}โดยปริมาณที่ MD ²กำหนด

การประยุกต์ใช้งาน

เนื่องจากวัตถุมีความสามารถในการหมุนรอบแกนจำนวนมากและในตารางมักจะให้เฉพาะช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยเมื่อเทียบกับแกนที่เคลื่อนผ่านเซนทรอยด์ทฤษฎีบทของ Steiner จึงช่วยให้คำนวณได้ง่ายขึ้นเมื่อจำเป็นต้องหมุนวัตถุบนแกน ที่ไม่ตรงกับสิ่งนี้

ตัวอย่างเช่นประตูโดยทั่วไปจะไม่หมุนเกี่ยวกับแกนผ่านจุดศูนย์กลางมวล แต่เกี่ยวกับแกนด้านข้างซึ่งบานพับยึดติดกัน

เมื่อทราบโมเมนต์ความเฉื่อยจึงสามารถคำนวณพลังงานจลน์ที่เกี่ยวข้องกับการหมุนของแกนดังกล่าวได้ ถ้า K คือพลังงานจลน์ฉันคือโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนที่เป็นปัญหาและωความเร็วเชิงมุมมันจะเป็นดังนี้:

สมการนี้จะคล้ายกับสูตรที่คุ้นเคยมากสำหรับพลังงานจลน์สำหรับวัตถุมวล m เคลื่อนที่ด้วยความเร็ววีนี้: K = ½ Mv 2 และนั่นคือโมเมนต์ความเฉื่อยหรือความเฉื่อยในการหมุน I มีบทบาทในการหมุนเช่นเดียวกับมวล M ในการแปล

หลักฐานของทฤษฎีบทของ Steiner

ช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยของวัตถุขยายถูกกำหนดเป็น:

ผม = ∫ r ² dm

โดยที่ dm เป็นส่วนที่น้อยที่สุดของมวลและ r คือระยะห่างระหว่าง dm และแกนของการหมุน z ในรูปที่ 2 แกนนี้ข้ามจุดศูนย์กลางมวล CM แต่จะเป็นอย่างไรก็ได้

รูปที่ 2. วัตถุที่ขยายออกไปในการหมุนรอบแกนขนานสองแกน ที่มา: F. Zapata

รอบแกน z อื่นโมเมนต์ความเฉื่อยคือ:

ผม_z = ∫ (r ') ² dm

ตอนนี้ตามรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากเวกเตอร์D , rและr ' (ดูรูปที่ 2 ทางด้านขวา) มีผลรวมเวกเตอร์:

r + r ' = D → r' = D - r

เวกเตอร์ทั้งสามอยู่บนระนาบของวัตถุซึ่งอาจเป็น xy ต้นกำเนิดของระบบพิกัด (0,0) ถูกเลือกเป็น CM เพื่ออำนวยความสะดวกในการคำนวณที่ตามมา

ด้วยวิธีนี้โมดูลกำลังสองของเวกเตอร์r 'คือ:

ตอนนี้การพัฒนานี้ถูกแทนที่ด้วยอินทิกรัลของโมเมนต์ความเฉื่อย I _zและยังใช้นิยามของความหนาแน่น dm = ρ.dV:

คำว่า M. D ²ที่ปรากฏในทฤษฎีบทของ Steiner มาจากอินทิกรัลตัวแรกวินาทีคือโมเมนต์ความเฉื่อยเทียบกับแกนที่ผ่าน CM

ในส่วนของพวกเขาอินทิกรัลที่สามและสี่มีค่า 0 เนื่องจากตามความหมายแล้วพวกมันประกอบเป็นตำแหน่งของ CM ซึ่งได้รับเลือกให้เป็นจุดกำเนิดของระบบพิกัด (0,0)

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

- แบบฝึกหัดที่แก้ไข 1

ประตูสี่เหลี่ยมในรูปที่ 1 มีมวล 23 กก. กว้าง 1.30 และสูง 2.10 ม. กำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยของประตูตามแกนที่ผ่านบานพับโดยสมมติว่าประตูบางและสม่ำเสมอ

รูปที่ 3. แผนผังสำหรับการทำงานตัวอย่าง 1. ที่มา: แก้ไขจาก Pixabay

สารละลาย

จากตารางช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยสำหรับจานสี่เหลี่ยมของมวล M และขนาด a และ b โมเมนต์ความเฉื่อยเทียบกับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลคือ: I _CM = (1/12) M (a ² + ข² ).

จะถือว่าประตูที่เป็นเนื้อเดียวกัน (ค่าประมาณเนื่องจากประตูในรูปอาจไม่เป็นเช่นนั้น) ในกรณีนี้จุดศูนย์กลางมวลจะผ่านศูนย์กลางทางเรขาคณิต ในรูปที่ 3 แกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลได้ถูกวาดและขนานกับแกนที่ผ่านบานพับด้วย

I _CM = (1/12) x 23 Kg x (1.30 ² +2.10 ² ) m ² = 11.7 Kg.m ²

การใช้ทฤษฎีบทของ Steiner สำหรับแกนหมุนสีเขียว:

I = I _CM + MD ² = 11.7 Kg.m ² + 23 Kg x 0.652 m ² = 21.4 Kg.

- การออกกำลังกายที่ได้รับการแก้ไข 2

ค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งบางที่เป็นเนื้อเดียวกันเมื่อมันหมุนไปเกี่ยวกับแกนที่ผ่านปลายด้านใดด้านหนึ่งดูรูป มันมากกว่าหรือน้อยกว่าโมเมนต์ความเฉื่อยเมื่อหมุนรอบศูนย์กลาง? ทำไม?

รูปที่ 4. Scheme สำหรับตัวอย่างที่แก้ไขแล้ว 2. ที่มา: F. Zapata

สารละลาย

ตามตารางของช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยโมเมนต์ความเฉื่อย I _CMของแท่งบาง ๆ ของมวล M และความยาว L คือ: I _CM = (1/12) ML ²

และทฤษฎีบทของ Steiner ระบุว่าเมื่อหมุนรอบแกนที่ผ่านปลายด้านหนึ่ง D = L / 2 จะยังคงอยู่:

มันยิ่งใหญ่กว่าแม้ว่าจะไม่ใช่แค่สองครั้ง แต่มากกว่า 4 เท่าเนื่องจากอีกครึ่งหนึ่งของแท่ง (ไม่ได้แรเงาในรูป) หมุนเพื่ออธิบายรัศมีที่ใหญ่กว่า

อิทธิพลของระยะทางไปยังแกนของการหมุนไม่ใช่เชิงเส้น แต่เป็นกำลังสอง มวลที่เป็นสองระยะทางเป็นอื่นจะมีช่วงเวลาของความเฉื่อยสัดส่วนกับ (2D) ก² = 4D 2

อ้างอิง

1. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. เล่มที่ 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. มหาวิทยาลัยแห่งรัฐจอร์เจีย การเคลื่อนที่แบบหมุน กู้คืนจาก: phys.nthu.edu.tw.
3. ทฤษฎีบทแกนคู่ขนาน สืบค้นจาก: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. ความรู้พื้นฐานทางฟิสิกส์. เพียร์สัน 190-200.
5. วิกิพีเดีย ทฤษฎีบทแกนขนาน สืบค้นจาก: en.wikipedia.org