ทฤษฎีบทของเบย์: คำอธิบายการประยุกต์ใช้แบบฝึกหัด - เลข - 2026

Bayes ทฤษฎีบทเป็นขั้นตอนที่ช่วยให้เรา ที่จะ แสดงความน่าจะเป็นเงื่อนไขของเหตุการณ์สุ่มให้ B ในแง่ของการกระจายความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A และ B ตั้งแต่การกระจายความน่าจะเป็นเพียง A.

ทฤษฎีบทนี้มีประโยชน์มากเนื่องจากเราสามารถเชื่อมโยงความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้นโดยรู้ว่า B เกิดขึ้นโดยมีความน่าจะเป็นที่ตรงกันข้ามเกิดขึ้นนั่นคือ B เกิดขึ้นโดยให้ A

ทฤษฎีบทของ Bayes เป็นเรื่องเงินของสาธุคุณ Thomas Bayes นักเทววิทยาชาวอังกฤษในศตวรรษที่ 18 ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ด้วย เขาเป็นผู้เขียนผลงานทางเทววิทยาหลายชิ้น แต่ในปัจจุบันเขาเป็นที่รู้จักจากบทความทางคณิตศาสตร์สองเรื่องซึ่งทฤษฎีเบย์ดังกล่าวมีความโดดเด่นในฐานะผลลัพธ์หลัก

Bayes จัดการกับทฤษฎีบทนี้ในบทความชื่อ "บทความเกี่ยวกับการแก้ปัญหาในหลักคำสอนเรื่องโอกาส" ตีพิมพ์ในปี 1763 และมีการพัฒนาจำนวนมาก การศึกษาเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้ในด้านความรู้ต่างๆ

คำอธิบาย

ประการแรกเพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับทฤษฎีบทนี้จำเป็นต้องมีแนวคิดพื้นฐานบางประการเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นโดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทการคูณสำหรับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขซึ่งระบุว่า

สำหรับเหตุการณ์ E และ A โดยพลการของพื้นที่ตัวอย่าง S.

และคำจำกัดความของพาร์ติชันซึ่งบอกเราว่าถ้าเรามี A ₁ , A ₂ , … , A _nเหตุการณ์ของพื้นที่ตัวอย่าง S สิ่งเหล่านี้จะสร้างพาร์ติชันของ S หาก A _iไม่รวมกันและการรวมกันคือ S

ระบุสิ่งนี้ให้ B เป็นอีกเหตุการณ์หนึ่ง เราจึงเห็น B เป็น

โดยที่ A _ฉันตัดกับ B เป็นเหตุการณ์พิเศษซึ่งกันและกัน

และด้วยเหตุนี้

จากนั้นใช้ทฤษฎีบทการคูณ

ในทางกลับกันความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขของ Ai ที่ให้ B ถูกกำหนดโดย

การแทนที่อย่างเหมาะสมเรามีสิ่งนั้นสำหรับ i

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของเบย์

ด้วยผลลัพธ์นี้กลุ่มวิจัยและองค์กรต่างๆจึงได้จัดการปรับปรุงระบบที่อยู่บนพื้นฐานของความรู้

ตัวอย่างเช่นในการศึกษาโรคทฤษฎีบทของ Bayes สามารถช่วยในการแยกแยะความเป็นไปได้ที่จะพบโรคในกลุ่มคนที่มีลักษณะเฉพาะโดยใช้ข้อมูลอัตราการเกิดโรคทั่วโลกและความเด่นของลักษณะดังกล่าวใน ทั้งคนที่มีสุขภาพดีและคนป่วย

ในทางกลับกันในโลกของเทคโนโลยีชั้นสูงมันมีอิทธิพลต่อ บริษัท ขนาดใหญ่ที่พัฒนาขึ้นด้วยผลลัพธ์นี้ซอฟต์แวร์“ Knowledge-Based”

เป็นตัวอย่างประจำวันเรามีผู้ช่วย Microsoft Office ทฤษฎีบทของ Bayes ช่วยให้ซอฟต์แวร์ประเมินปัญหาที่ผู้ใช้นำเสนอและกำหนดว่าจะให้คำแนะนำอะไรแก่เขาจึงสามารถนำเสนอบริการที่ดีขึ้นตามนิสัยของผู้ใช้

โดยเฉพาะอย่างยิ่งสูตรนี้ถูกละเลยจนถึงช่วงเวลาที่ผ่านมาซึ่งส่วนใหญ่เป็นเพราะเมื่อผลลัพธ์นี้ได้รับการพัฒนาเมื่อ 200 ปีที่แล้วมีการใช้ประโยชน์ได้จริงเพียงเล็กน้อยสำหรับพวกเขา อย่างไรก็ตามในสมัยของเราด้วยความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีที่ยิ่งใหญ่นักวิทยาศาสตร์ได้ค้นพบวิธีที่จะนำผลลัพธ์นี้ไปสู่การปฏิบัติ

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

แบบฝึกหัด 1

บริษัท โทรศัพท์มือถือแห่งหนึ่งมีเครื่อง A และ B สองเครื่อง 54% ของโทรศัพท์มือถือที่ผลิตนั้นผลิตโดยเครื่อง A และเครื่องอื่น B ​​โทรศัพท์มือถือบางรุ่นที่ผลิตไม่อยู่ในสภาพดี

สัดส่วนของโทรศัพท์มือถือที่ชำรุดโดย A คือ 0.2 และ B คือ 0.5 ความน่าจะเป็นที่โทรศัพท์มือถือจากโรงงานนั้นมีข้อบกพร่องคืออะไร? ความน่าจะเป็นที่รู้ว่าโทรศัพท์มือถือเสียมาจากเครื่อง A คืออะไร?

สารละลาย

ที่นี่คุณมีการทดลองที่แบ่งออกเป็นสองส่วน ในส่วนแรกเหตุการณ์เกิดขึ้น:

A: เซลล์ที่สร้างโดยเครื่อง A.

B: เซลล์ที่สร้างโดยเครื่องจักร B

เนื่องจากเครื่อง A ผลิตโทรศัพท์มือถือได้ 54% และส่วนที่เหลือผลิตโดยเครื่อง B ดังนั้นเครื่อง B จึงผลิตโทรศัพท์มือถือได้ 46% ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้จะได้รับ ได้แก่ :

P (A) = 0.54

P (B) = 0.46

เหตุการณ์ในส่วนที่สองของการทดสอบ ได้แก่ :

D: โทรศัพท์มือถือเสีย

E: โทรศัพท์มือถือที่ไม่มีข้อบกพร่อง

ตามที่ระบุไว้ในข้อความความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ที่ได้รับในส่วนแรก:

P (DA) = 0.2

P (DB) = 0.5

การใช้ค่าเหล่านี้สามารถกำหนดความน่าจะเป็นของการเติมเต็มของเหตุการณ์เหล่านี้ได้ด้วยนั่นคือ:

P (EA) = 1 - P (DA)

= 1 - 0.2

= 0.8

และ

p (EB) = 1 - P (DB)

= 1 - 0.5

= 0.5.

ตอนนี้เหตุการณ์ D สามารถเขียนได้ดังนี้:

การใช้ทฤษฎีบทการคูณสำหรับผลลัพธ์ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข:

จากนั้นคำถามแรกจะได้รับคำตอบ

ตอนนี้เราจำเป็นต้องคำนวณ P (AD) เท่านั้นซึ่งใช้ Bayes Theorem:

ด้วยทฤษฎีบทของ Bayes สามารถระบุได้ว่าความน่าจะเป็นที่โทรศัพท์มือถือถูกสร้างขึ้นโดยเครื่อง A โดยรู้ว่าโทรศัพท์มือถือมีข้อบกพร่องคือ 0.319

แบบฝึกหัด 2

สามกล่องบรรจุลูกบอลสีดำและสีขาว องค์ประกอบของแต่ละองค์ประกอบมีดังนี้: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}

หนึ่งในกล่องจะถูกเลือกแบบสุ่มและลูกบอลจะถูกสุ่มออกมาซึ่งจะกลายเป็นสีขาว มีแนวโน้มว่าจะเลือกกล่องอะไรมากที่สุด?

สารละลาย

เมื่อใช้ U1, U2 และ U3 เราจะแสดงกล่องที่เลือกด้วย

เหตุการณ์เหล่านี้เป็นพาร์ติชันของ S และตรวจสอบแล้วว่า P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 เนื่องจากตัวเลือกของกล่องเป็นแบบสุ่ม

ถ้า B = {ลูกบอลที่วาดเป็นสีขาว} เราจะมี P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4

สิ่งที่เราต้องการได้มาคือความน่าจะเป็นที่ลูกบอลถูกนำออกจากกล่อง Ui โดยรู้ว่าลูกบอลดังกล่าวเป็นสีขาวนั่นคือ P (Ui -B) และดูว่าค่าใดในสามค่าที่สูงที่สุดที่จะทราบ กล่องมีแนวโน้มที่จะสกัดลูกคิวได้มากที่สุด

การนำทฤษฎีบทของ Bayes ไปใช้กับช่องแรก:

และสำหรับอีกสองคน:

P (U2-B) = 2/6 และ P (U3-B) = 1/6

จากนั้นช่องแรกคือช่องที่มีความเป็นไปได้สูงสุดที่จะได้รับเลือกให้สกัดลูกคิว

อ้างอิง

1. ไก่ลายจุง. ทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้นด้วยกระบวนการสุ่ม Springer-Verlag New York Inc.
2. เคนเน็ ธ H. Rosen คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องและการประยุกต์ใช้ SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA
3. พอลแอลเมเยอร์ ความน่าจะเป็นและการประยุกต์ใช้ทางสถิติ ซาอัลฮัมบราเม็กซิคาน่า
4. Seymour Lipschutz ปริญญาเอก 2000 แก้ไขปัญหาคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง McGRAW-HILL
5. Seymour Lipschutz ปริญญาเอก ปัญหาทฤษฎีและความน่าจะเป็น McGRAW-HILL