ชุดทฤษฎี: ลักษณะองค์ประกอบตัวอย่างแบบฝึกหัด - เลข - 2026

ทฤษฎีเซตเป็นสาขาของตรรกะทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีหน้าที่ในการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างหน่วยงานที่เรียกว่าชุด ชุดนี้มีลักษณะเป็นคอลเลกชันของวัตถุที่มีลักษณะเดียวกัน วัตถุดังกล่าวเป็นองค์ประกอบของเซตและอาจเป็นตัวเลขตัวอักษรรูปทรงเรขาคณิตคำที่แสดงถึงวัตถุตัวเองและผู้อื่น

คือ Georg Cantor ในปลายศตวรรษที่ 19 ผู้เสนอทฤษฎีเซต ในขณะที่นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงคนอื่น ๆ ในศตวรรษที่ 20 ทำพิธีการของพวกเขา: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel และคนอื่น ๆ

รูปที่ 1. แผนภาพเวนน์ของเซต A, B และจุดตัดของพวกเขาA⋂ B.

แผนภาพเวนน์เป็นรูปแบบกราฟิกในการแสดงชุดและประกอบด้วยรูประนาบปิดซึ่งเป็นองค์ประกอบของชุด

ตัวอย่างเช่นในรูปที่ 1 แสดงชุด A และ B สองชุดซึ่งมีองค์ประกอบที่เหมือนกันองค์ประกอบทั่วไปของ A และ B เหล่านี้สร้างชุดใหม่เรียกว่าชุดจุดตัดของ A และ B ซึ่งเขียนในรูปแบบ เป็นสัญลักษณ์ดังนี้:

ก∩ข

ลักษณะเฉพาะ

เซตนี้เป็นแนวคิดดั้งเดิมเนื่องจากเป็นแนวคิดของจุดเส้นหรือระนาบในรูปทรงเรขาคณิต ไม่มีวิธีใดที่จะแสดงแนวคิดได้ดีไปกว่าการชี้ตัวอย่าง:

ชุด E เกิดจากสีของธงชาติสเปน วิธีการแสดงชุดนี้เรียกว่าโดยความเข้าใจ E ชุดเดียวกันที่เขียนโดยส่วนขยายคือ:

E = {แดงเหลือง}

ในกรณีนี้สีแดงและสีเหลืองเป็นองค์ประกอบของชุด E ควรสังเกตว่าองค์ประกอบต่างๆอยู่ในวงเล็บปีกกาและจะไม่ทำซ้ำ ในกรณีของธงชาติสเปนจะมีแถบสีสามแถบ (สีแดงสีเหลืองสีแดง) ซึ่งสองแถบนี้ซ้ำกัน แต่องค์ประกอบจะไม่ซ้ำเมื่อแสดงทั้งหมด

สมมติว่าเซต V ประกอบด้วยตัวอักษรสระสามตัวแรก:

V = {a, e, i}

ชุดกำลังของ V แสดงโดย P (V) คือเซตของเซตทั้งหมดที่สามารถสร้างขึ้นด้วยองค์ประกอบของ V:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

ประเภทของชุด

ชุด จำกัด

เป็นชุดที่สามารถนับองค์ประกอบได้ ตัวอย่างของเซต จำกัด ได้แก่ ตัวอักษรของอักษรสเปนสระของภาษาสเปนดาวเคราะห์ในระบบสุริยะและอื่น ๆ จำนวนองค์ประกอบในเซต จำกัด เรียกว่าคาดินาลลิตี้

ชุดไม่มีที่สิ้นสุด

เป็นที่เข้าใจกันว่าเซตอนันต์เป็นทั้งหมดที่จำนวนองค์ประกอบนับไม่ได้เนื่องจากไม่ว่าองค์ประกอบจะมีจำนวนมากเพียงใดก็เป็นไปได้ที่จะค้นหาองค์ประกอบเพิ่มเติมได้เสมอ

ตัวอย่างของเซตอนันต์คือเซตของจำนวนธรรมชาติ N ซึ่งแสดงในรูปแบบกว้าง ๆ ดังนี้:

N = {1, 2, 3, 4, 5, ….} เห็นได้ชัดว่าเป็นเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุดเนื่องจากไม่ว่าจำนวนธรรมชาติจะมีขนาดใหญ่เพียงใดก็สามารถพบที่ใหญ่ที่สุดถัดไปได้เสมอในกระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุด เห็นได้ชัดว่าจำนวนนับของเซตอนันต์คือ∞

ชุดที่ว่างเปล่า

เป็นชุดที่ไม่มีองค์ประกอบใด ๆ ชุดว่าง V แสดงด้วยØหรือโดยคู่ของคีย์ที่ไม่มีองค์ประกอบภายใน:

V = {} = Ø

ชุดว่างไม่ซ้ำกันดังนั้นจึงต้องพูด "ชุดว่าง" ไม่ถูกต้องรูปแบบที่ถูกต้องคือพูดว่า "ชุดว่าง"

ในคุณสมบัติของเซตว่างเรามีว่ามันเป็นเซตย่อยของเซตใด ๆ :

Ø⊂ก

นอกจากนี้หากเซตเป็นเซตย่อยของเซตว่างก็จำเป็นต้องบอกว่าเซตจะเป็นสุญญากาศ:

ก⊂Ø⇔ A = Ø

ชุดรวม

ชุดหน่วยคือชุดใด ๆ ที่มีองค์ประกอบเดียว ตัวอย่างเช่นชุดของดาวเทียมธรรมชาติของโลกเป็นชุดรวมซึ่งมีองค์ประกอบเดียวคือดวงจันทร์ ชุด B ของจำนวนเต็มน้อยกว่า 2 และมากกว่าศูนย์มีเพียงองค์ประกอบ 1 เท่านั้นดังนั้นจึงเป็นชุดหน่วย

ชุดไบนารี

เซตเป็นไบนารีหากมีเพียงสององค์ประกอบ ตัวอย่างเช่นเซต X เช่นนั้น x เป็นจำนวนจริงของ x ^ 2 = 2 เซตโดยส่วนขยายนี้เขียนดังนี้:

X = {-√2, + √2}

ชุดสากล

ชุดสากลคือชุดที่ประกอบด้วยชุดอื่น ๆ ที่มีประเภทเดียวกันหรือลักษณะเดียวกัน ตัวอย่างเช่นเซตของจำนวนธรรมชาติสากลคือเซตของจำนวนจริง แต่จำนวนจริงเป็นเซตสากลของจำนวนเต็มและจำนวนตรรกยะ

รายการหลัก

- ความสัมพันธ์ระหว่างเซต

ในแอสเซมบลีความสัมพันธ์ประเภทต่างๆสามารถสร้างขึ้นระหว่างพวกเขาและองค์ประกอบของพวกเขา หากชุด A และ B สองชุดมีองค์ประกอบที่เหมือนกันทุกประการความสัมพันธ์แบบเท่าเทียมกันจะถูกสร้างขึ้นโดยแสดงดังนี้:

ก=ข

หากองค์ประกอบทั้งหมดของเซต A เป็นของเซต B แต่ไม่ใช่องค์ประกอบทั้งหมดของ B ที่เป็นของ A ระหว่างเซตเหล่านี้จะมีความสัมพันธ์รวมที่แสดงในลักษณะนี้:

A ⊂ B แต่ B ⊄ A

นิพจน์ข้างต้นอ่านว่า A เป็นส่วนย่อยของ B แต่ B ไม่ใช่เซตย่อยของ A

เพื่อระบุว่าองค์ประกอบหรือองค์ประกอบบางอย่างเป็นของเซตจะใช้สัญลักษณ์สมาชิก∈ตัวอย่างเช่นเพื่อบอกว่าองค์ประกอบ x หรือองค์ประกอบที่เป็นของเซต A ถูกเขียนในเชิงสัญลักษณ์ดังนี้:

x ∈ก

หากองค์ประกอบไม่ได้อยู่ในชุด A ความสัมพันธ์นี้จะเขียนดังนี้:

และ∉ A

ความสัมพันธ์ของการเป็นสมาชิกมีอยู่ระหว่างองค์ประกอบของเซตและเซตโดยมีข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวของเซตพาวเวอร์เซตกำลังคือคอลเลกชันหรือเซ็ตของเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่สามารถสร้างขึ้นด้วยองค์ประกอบของเซตดังกล่าว

สมมติว่า V = {a, e, i} ชุดกำลังของมันคือ P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i} , {a, e, i}} ในกรณีนี้เซต V จะกลายเป็นองค์ประกอบของเซต P (V) และสามารถเขียนได้:

V ∈ P (วี)

- คุณสมบัติของการรวม

คุณสมบัติแรกของการรวมกำหนดว่าทุกชุดมีอยู่ในตัวเองหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งว่ามันเป็นส่วนย่อยของตัวมันเอง:

ก⊂ก

คุณสมบัติอื่น ๆ ของการรวมคือการเปลี่ยนผ่าน: ถ้า A เป็นเซตย่อยของ B และ B ในทางกลับกันคือเซตย่อยของ C ดังนั้น A คือเซตย่อยของ C ในรูปแบบสัญลักษณ์ความสัมพันธ์การเปลี่ยนแปลงจะเขียนได้ดังนี้:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

ด้านล่างนี้คือแผนภาพเวนน์ที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนผ่านของการรวม:

รูปที่ 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- การดำเนินการระหว่างชุด

ทางแยก

จุดตัดคือการดำเนินการระหว่างสองชุดที่ก่อให้เกิดชุดใหม่ที่เป็นของชุดสากลเดียวกันกับสองชุดแรก ในแง่นั้นเป็นการดำเนินการแบบปิด

ในเชิงสัญลักษณ์การดำเนินการตัดกันมีรูปแบบดังนี้:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

ตัวอย่างมีดังต่อไปนี้: ชุด A ของตัวอักษรในคำว่า "องค์ประกอบ" และชุด B ของตัวอักษรของคำว่า "ซ้ำ" จุดตัดระหว่าง A และ B จะเขียนดังนี้:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s} ชุดสากล U ของ A ของ B และของA⋂Bคือชุดของตัวอักษรของตัวอักษรภาษาสเปน

สหภาพ

การรวมกันของสองชุดคือชุดที่เกิดจากองค์ประกอบทั่วไปของสองชุดและองค์ประกอบที่ไม่ธรรมดาของทั้งสองชุด การดำเนินการรวมกันระหว่างชุดจะแสดงในเชิงสัญลักษณ์ดังนี้:

A∪B = {x / x∈Avx∈B}

ข้อแตกต่าง

การดำเนินการต่างกันของเซต A ลบเซต B แสดงด้วย AB AB เป็นเซตใหม่ที่สร้างขึ้นจากองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ใน A และไม่ได้เป็นของ B ในเชิงสัญลักษณ์มันเขียนดังนี้:

ก - ข = {x / x ∈ก ^ x ∉ B}

รูปที่ 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

ความแตกต่างแบบสมมาตร

ความแตกต่างแบบสมมาตรคือการดำเนินการระหว่างสองชุดโดยที่ชุดผลลัพธ์ถูกสร้างขึ้นจากองค์ประกอบที่ไม่เหมือนกันสำหรับทั้งสองชุด ความแตกต่างแบบสมมาตรจะแสดงในเชิงสัญลักษณ์ดังนี้:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

แผนภาพเวนน์เป็นวิธีการแสดงชุดแบบกราฟิก ตัวอย่างเช่นชุด C ของตัวอักษรในชุดคำจะแสดงในลักษณะนี้:

ตัวอย่าง 2

แผนภาพเวนน์แสดงไว้ด้านล่างว่าชุดของเสียงสระในคำว่า "ชุด" เป็นชุดย่อยของชุดตัวอักษรในคำว่า "ชุด"

ตัวอย่างที่ 3

ชุดÑของตัวอักษรของตัวอักษรภาษาสเปนเป็นชุดที่ จำกัด ชุดนี้โดยส่วนขยายจะเขียนดังนี้:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} และจำนวนสมาชิกเท่ากับ 27

ตัวอย่างที่ 4

เซตVของสระในภาษาสเปนเป็นเซตย่อยของเซตÑ:

V ⊂ Ñจึงเป็นเซต จำกัด

เซต จำกัดVในรูปแบบที่ครอบคลุมเขียนดังนี้: V = {a, e, i, o, u} และจำนวนคาร์ดินาลลิตี้คือ 5

ตัวอย่างที่ 5

กำหนด A = {2, 4, 6, 8} และ B = {1, 2, 4, 7, 9} กำหนด AB และ BA

A - B คือองค์ประกอบของ A ที่ไม่ได้อยู่ใน B:

ก - ข = {6, 8}

B - A คือองค์ประกอบของ B ที่ไม่ได้อยู่ใน A:

B - A = {1, 7, 9}

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

แบบฝึกหัด 1

เขียนในรูปสัญลักษณ์และขยายเซต P ของจำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่า 10

วิธีแก้ไข: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

แบบฝึกหัด 2

สมมติว่าเซต A ที่เกิดจากจำนวนธรรมชาติที่เป็นปัจจัย 210 และเซต B ที่เกิดจากจำนวนธรรมชาติเฉพาะน้อยกว่า 9 กำหนดโดยการขยายทั้งสองเซตและสร้างความสัมพันธ์ระหว่างเซตทั้งสอง

วิธีแก้ไข: ในการพิจารณาองค์ประกอบของเซต A เราต้องเริ่มต้นด้วยการค้นหาปัจจัยของจำนวนธรรมชาติ 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

จากนั้นชุด A จะถูกเขียน:

ก = {2, 3, 5, 7}

ตอนนี้เราพิจารณาว่าเซต B ซึ่งเป็นไพรม์ที่น้อยกว่า 9 1 ไม่ใช่ไพรม์เพราะมันไม่ตรงตามนิยามของไพรม์: "จำนวนหนึ่งเป็นไพรม์ก็ต่อเมื่อมันมีตัวหารสองตัวเท่านั้น 1 และจำนวนนั้นเอง" 2 เป็นเลขคู่และในขณะเดียวกันก็เป็นไพรม์เพราะตรงตามนิยามของไพรม์ส่วนอีกค่าที่น้อยกว่า 9 คือ 3, 5 และ 7 ดังนั้นเซต B คือ:

B = {2, 3, 5, 7}

ดังนั้นทั้งสองชุดจึงเท่ากัน: A = B

แบบฝึกหัด 3

กำหนดชุดที่มีองค์ประกอบ x แตกต่างจาก x

วิธีแก้ไข: C = {x / x ≠ x}

เนื่องจากทุกองค์ประกอบตัวเลขหรือวัตถุมีค่าเท่ากันชุด C จึงไม่สามารถเป็นอื่นได้นอกจากชุดว่าง:

C = Ø

แบบฝึกหัด 4

ให้เซตของ N ของจำนวนธรรมชาติและ Z เป็นเซตของจำนวนเต็ม กำหนด N ⋂ Z และ N ∪ Z

สารละลาย:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z เพราะ N ⊂ Z.

อ้างอิง

1. กาโร, M. (2014). คณิตศาสตร์: สมการกำลังสอง: วิธีแก้สมการกำลังสอง Marilù Garo
2. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). คณิตศาสตร์เพื่อการจัดการและเศรษฐศาสตร์. การศึกษาของเพียร์สัน.
3. Jiménez, J. , Rodríguez, M. , Estrada, R. (2005) คณิตศาสตร์ 1 ก.ย. เกณฑ์
4. Preciado, CT (2005). รายวิชาคณิตศาสตร์ 3. กองบรรณาธิการ Progreso
5. คณิตศาสตร์ 10 (2018). "ตัวอย่างไฟไนต์เซ็ต" สืบค้นจาก: matematicas10.net
6. วิกิพีเดีย ตั้งทฤษฎี สืบค้นจาก: es.wikipedia.com