เทคนิคการนับ: เทคนิคการใช้งานตัวอย่างแบบฝึกหัด - ดูดาส - 2025

เทคนิคนับเป็นชุดของความน่าจะเป็นวิธีการนับจำนวนของการเตรียมการเป็นไปได้ภายในชุดหรือหลายชุดของวัตถุ สิ่งเหล่านี้ถูกใช้เมื่อทำบัญชีด้วยตนเองมีความซับซ้อนเนื่องจากมีวัตถุและ / หรือตัวแปรจำนวนมาก

ตัวอย่างเช่นวิธีแก้ปัญหานี้ง่ายมากจินตนาการว่าเจ้านายของคุณขอให้คุณนับผลิตภัณฑ์ล่าสุดที่มาถึงในชั่วโมงที่แล้ว ในกรณีนี้คุณสามารถไปนับสินค้าทีละชิ้น

อย่างไรก็ตามลองนึกดูว่าปัญหาคือ: เจ้านายของคุณขอให้คุณนับจำนวนผลิตภัณฑ์ 5 กลุ่มประเภทเดียวกันกับผลิตภัณฑ์ที่มาถึงในชั่วโมงที่แล้ว ในกรณีนี้การคำนวณมีความซับซ้อน สำหรับสถานการณ์ประเภทนี้จะใช้เทคนิคการนับที่เรียกว่า

เทคนิคเหล่านี้มีหลากหลาย แต่ที่สำคัญที่สุดแบ่งออกเป็นสองหลักการพื้นฐานคือการคูณและการเติมแต่ง การเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกัน

หลักการคูณ

การประยุกต์ใช้งาน

หลักการคูณร่วมกับสารเติมแต่งเป็นพื้นฐานในการทำความเข้าใจการทำงานของเทคนิคการนับ ในกรณีของการคูณจะประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้:

ลองนึกภาพกิจกรรมที่เกี่ยวข้องกับจำนวนก้าวที่เฉพาะเจาะจง (เราทำเครื่องหมายยอดรวมเป็น“ r”) ซึ่งขั้นตอนแรกสามารถทำได้ในรูปแบบ N1 ขั้นตอนที่สองใน N2 และขั้นตอน“ r” ในรูปแบบ Nr ในกรณีนี้กิจกรรมสามารถทำได้จากจำนวนรูปร่างที่เกิดจากการดำเนินการนี้: N1 x N2 x ……… .x รูปทรง Nr

นั่นคือเหตุผลที่หลักการนี้เรียกว่าทวีคูณและโดยนัยว่าแต่ละขั้นตอนที่จำเป็นในการดำเนินกิจกรรมจะต้องดำเนินการทีละขั้นตอน

ตัวอย่าง

ลองนึกภาพคนที่ต้องการสร้างโรงเรียน ในการทำเช่นนี้ให้พิจารณาว่าฐานของอาคารสามารถสร้างได้สองวิธีที่แตกต่างกันคือปูนซีเมนต์หรือคอนกรีต สำหรับผนังสามารถทำจากอะโดบีปูนซีเมนต์หรืออิฐ

ส่วนหลังคาจะเป็นปูนหรือแผ่นสังกะสีก็ได้ ในที่สุดการทาสีขั้นสุดท้ายสามารถทำได้เพียงวิธีเดียวเท่านั้น คำถามที่เกิดขึ้นมีดังนี้: เขาต้องสร้างโรงเรียนกี่วิธี?

ขั้นแรกให้พิจารณาจำนวนขั้นตอนซึ่งจะเป็นฐานผนังหลังคาและสี ทั้งหมด 4 ขั้นตอนดังนั้น r = 4

ต่อไปนี้จะแสดงรายการ N:

N1 = วิธีสร้างฐาน = 2

N2 = วิธีสร้างกำแพง = 3

N3 = วิธีสร้างหลังคา = 2

N4 = วิธีการวาดภาพ = 1

ดังนั้นจำนวนรูปร่างที่เป็นไปได้จะคำนวณโดยใช้สูตรที่อธิบายไว้ข้างต้น:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 วิธีในการทำโรงเรียน

หลักการเสริม

การประยุกต์ใช้งาน

หลักการนี้ง่ายมากและประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าในกรณีของการมีทางเลือกหลายทางในการดำเนินกิจกรรมเดียวกันวิธีที่เป็นไปได้ประกอบด้วยผลรวมของวิธีการต่างๆที่เป็นไปได้ในการดำเนินการทางเลือกทั้งหมด

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือหากเราต้องการดำเนินกิจกรรมโดยมีทางเลือกสามทางซึ่งทางเลือกแรกสามารถทำได้ในวิธี M ทางที่สองเป็นวิธี N และวิธีสุดท้ายในรูปแบบ W สามารถทำได้ใน M + N + ……… + รูปร่าง W

ตัวอย่าง

ลองนึกภาพคนที่ต้องการซื้อไม้เทนนิสในครั้งนี้ ในการทำเช่นนี้คุณมีสามยี่ห้อให้เลือก: Wilson, Babolat หรือ Head

เมื่อคุณไปที่ร้านคุณจะเห็นว่าไม้ Wilson สามารถซื้อได้ด้วยด้ามจับในสองขนาดที่แตกต่างกัน L2 หรือ L3 ในสี่รุ่นที่แตกต่างกันและสามารถขึงหรือไม่รัดได้

ในทางกลับกันแร็กเก็ต Babolat มีด้ามจับสามแบบ (L1, L2 และ L3) มีสองรุ่นที่แตกต่างกันและยังสามารถรัดหรือไม่รัดได้

สำหรับส่วนของเฮดแร็กเก็ตนั้นมีให้ใช้กับด้ามจับเพียงอันเดียวเท่านั้นคือ L2 ในสองรุ่นที่แตกต่างกันและปลดเชือกเท่านั้น คำถามคือคน ๆ นี้ต้องซื้อไม้ได้กี่วิธี?

M = จำนวนวิธีในการเลือกไม้ Wilson

N = จำนวนวิธีในการเลือกไม้ Babolat

W = จำนวนวิธีในการเลือกเฮดแร็กเกต

เราใช้หลักการตัวคูณ:

M = 2 x 4 x 2 = 16 รูปทรง

N = 3 x 2 x 2 = 12 วิธี

W = 1 x 2 x 1 = 2 วิธี

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 วิธีในการเลือกไม้

หากต้องการทราบว่าเมื่อใดควรใช้หลักการคูณและส่วนเติมคุณต้องดูว่ากิจกรรมนั้นมีขั้นตอนที่ต้องดำเนินการหรือไม่และมีทางเลือกอื่นอีกหลายทางหรือไม่

การเรียงสับเปลี่ยน

การประยุกต์ใช้งาน

เพื่อให้เข้าใจว่าการเปลี่ยนแปลงคืออะไรสิ่งสำคัญคือต้องอธิบายว่าชุดค่าผสมคืออะไรเพื่อให้คุณสามารถแยกความแตกต่างและรู้ว่าควรใช้เมื่อใด

การรวมกันจะเป็นการจัดองค์ประกอบที่เราไม่สนใจในตำแหน่งที่แต่ละคนครอบครอง

ในทางกลับกันการเรียงสับเปลี่ยนจะเป็นการจัดเรียงองค์ประกอบที่เราสนใจในตำแหน่งที่แต่ละองค์ประกอบครอบครองอยู่

ลองใส่ตัวอย่างเพื่อให้เข้าใจความแตกต่างได้ดีขึ้น

ตัวอย่าง

ลองจินตนาการถึงชั้นเรียนที่มีนักเรียน 35 คนและในสถานการณ์ต่อไปนี้:

1. ครูต้องการให้นักเรียนสามคนช่วยกันรักษาความสะอาดในห้องเรียนหรือมอบสื่อการเรียนให้กับนักเรียนคนอื่น ๆ เมื่อจำเป็น
2. ครูต้องการแต่งตั้งผู้ร่วมชั้นเรียน (ประธานผู้ช่วยและนักการเงิน)

วิธีแก้ปัญหาจะเป็นดังต่อไปนี้:

1. ลองจินตนาการว่าโดยการโหวต Juan, MaríaและLucíaได้รับเลือกให้ทำความสะอาดชั้นเรียนหรือส่งมอบวัสดุ เห็นได้ชัดว่าอาจมีการจัดตั้งกลุ่มอื่น ๆ สามกลุ่มในกลุ่มนักเรียน 35 คนที่เป็นไปได้

เราต้องถามตัวเองดังต่อไปนี้: ลำดับหรือตำแหน่งของนักเรียนแต่ละคนมีความสำคัญเมื่อเลือกพวกเขาหรือไม่?

ถ้าเราคิดดูเราเห็นว่ามันไม่สำคัญเลยเพราะกลุ่มจะรับผิดชอบงานทั้งสองอย่างเท่าเทียมกัน ในกรณีนี้เป็นการรวมกันเนื่องจากเราไม่สนใจตำแหน่งขององค์ประกอบ

1. ลองจินตนาการว่าฮวนได้รับเลือกให้เป็นประธานาธิบดีมาเรียเป็นผู้ช่วยและลูเซียเป็นนักการเงิน

ในกรณีนี้คำสั่งจะมีความสำคัญหรือไม่? คำตอบคือใช่เพราะถ้าเราเปลี่ยนองค์ประกอบผลลัพธ์ก็เปลี่ยนไป นั่นคือถ้าแทนที่จะวางฮวนเป็นประธานาธิบดีเราให้เขาเป็นผู้ช่วยและมาเรียเป็นประธานาธิบดีผลลัพธ์สุดท้ายก็จะเปลี่ยนไป ในกรณีนี้เป็นการเปลี่ยนแปลง

เมื่อเข้าใจความแตกต่างแล้วเราจะได้รับสูตรสำหรับการเรียงสับเปลี่ยนและชุดค่าผสม อย่างไรก็ตามก่อนอื่นเราต้องกำหนดคำว่า "n!" (ene factorial) เนื่องจากจะใช้ในสูตรต่างๆ

n! = ผลิตภัณฑ์จาก 1 ถึง n

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..xn

ใช้กับตัวเลขจริง:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3,628,800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

สูตรสำหรับการเรียงสับเปลี่ยนจะเป็นดังต่อไปนี้:

nPr = n! / (nr)!

ด้วยวิธีนี้เราสามารถค้นหาการจัดเตรียมที่ลำดับมีความสำคัญและองค์ประกอบ n แตกต่างกันที่ใด

ชุดค่าผสม

การประยุกต์ใช้งาน

ดังที่เราได้แสดงความคิดเห็นไว้ก่อนหน้านี้ชุดค่าผสมเป็นการจัดเตรียมโดยที่เราไม่สนใจตำแหน่งขององค์ประกอบ

สูตรดังต่อไปนี้:

nCr = n! / (nr)! r!

ตัวอย่าง

หากมีนักเรียน 14 คนที่ต้องการเป็นอาสาสมัครทำความสะอาดห้องเรียนจะจัดตั้งกลุ่มทำความสะอาดได้กี่คนหากแต่ละกลุ่มต้องเป็น 5 คน

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาจะเป็นดังนี้:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 กลุ่ม

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

แบบฝึกหัด 1

ที่มา: Pixabay.com

แม่ของเธอขอให้นาตาเลียไปร้านขายของชำและซื้อโซดาให้เธอคลายร้อน เมื่อนาตาเลียขอเครื่องดื่มจากเสมียนเขาก็บอกเธอว่าน้ำอัดลมมีสี่รสสามแบบและสามขนาด

รสชาติของน้ำอัดลม ได้แก่ โคล่ามะนาวส้มและมิ้นท์

ประเภทของโคล่าอาจเป็นแบบธรรมดาปราศจากน้ำตาลปราศจากคาเฟอีน

ขนาดสามารถ: เล็กกลางและใหญ่

แม่ของ Natalia ไม่ได้ระบุว่าต้องการน้ำอัดลมแบบไหน Natalia ต้องซื้อเครื่องดื่มกี่วิธี?

สารละลาย

M = ขนาดและหมายเลขประเภทที่คุณสามารถเลือกได้เมื่อเลือกโคล่า

N = จำนวนขนาดและประเภทที่คุณสามารถเลือกได้เมื่อเลือกมะนาวโซดา

W = ขนาดและหมายเลขประเภทที่คุณสามารถเลือกได้เมื่อเลือกโซดาส้ม

Y = ขนาดและประเภทหมายเลขที่คุณสามารถเลือกได้เมื่อเลือกมินต์โซดา

เราใช้หลักการตัวคูณ:

M = 3 × 3 = 9 วิธี

N = 3 × 3 = 9 วิธี

W = 3 × 3 = 9 วิธี

Y = 3 × 3 = 9 วิธี

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 วิธีในการเลือกโซดา

แบบฝึกหัด 2

ที่มา: pixabay.com

สปอร์ตคลับโฆษณาเวิร์กช็อปให้เด็ก ๆ ได้เรียนรู้การเล่นสเก็ตฟรี มีเด็ก 20 คนลงทะเบียนดังนั้นพวกเขาจึงตัดสินใจแบ่งพวกเขาออกเป็นสองกลุ่มสิบคนเพื่อให้อาจารย์สามารถสอนในชั้นเรียนได้อย่างสะดวกสบายยิ่งขึ้น

ในทางกลับกันพวกเขาตัดสินใจที่จะจับฉลากว่าเด็กแต่ละคนจะตกอยู่ในกลุ่มใด เด็กสามารถเข้ากลุ่มต่างๆได้กี่กลุ่ม

สารละลาย

ในกรณีนี้วิธีหาคำตอบคือการใช้เทคนิคการผสมซึ่งมีสูตรดังนี้: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (จำนวนเด็ก)

r = 10 (ขนาดกลุ่ม)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184,756 กลุ่ม

อ้างอิง

1. เจฟฟรีย์ RC ความน่าจะเป็นและศิลปะแห่งการตัดสินสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ (2535).
2. วิลเลียมเฟลเลอร์, "ทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้นและการประยุกต์ใช้", (เล่ม 1), 3 เอ็ด, (2511), ไวลีย์
3. Finetti, Bruno de (1970). "พื้นฐานเชิงตรรกะและการวัดความน่าจะเป็นอัตนัย" Acta Psychologica.
4. ฮอก, โรเบิร์ตวี.; เครกอัลเลน; McKean, Joseph W. (2004). รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับสถิติทางคณิตศาสตร์ (6th ed.) Upper Saddle River: เพียร์สัน
5. Franklin, J. (2001) The Science of Conjecture: Evidence and Probability Before Pascal, Johns Hopkins University Press