สมมาตรกลาง: คุณสมบัติตัวอย่างและแบบฝึกหัด - เลข - 2025

จุดสองจุด A และ A 'มีความสมมาตรกลางเทียบกับจุด O เมื่อส่วน AA' ผ่านจุดนั้นและเป็นจุดกึ่งกลางของ AA ด้วย จุด O เรียกว่าศูนย์กลางของสมมาตร

สมมาตรกลางของสามเหลี่ยม ABC เทียบกับจุด O เป็นอีกรูปสามเหลี่ยม A'B'C 'ที่มีลักษณะดังต่อไปนี้:

- ส่วนโฮโมโลกัสมีความยาวเท่ากัน

- มุมที่ตรงกันมีการวัดเดียวกัน

รูปที่ 1. Triangle ABC และ A'B'C แบบสมมาตร ที่มา: F. Zapata

รูปที่ 1 แสดงสามเหลี่ยม ABC (สีแดง) และสมมาตรกลาง A'B'C '(สีเขียว) ตามจุดศูนย์กลางของสมมาตร O

ในรูปเดียวกันนี้ผู้สังเกตที่ใส่ใจจะตระหนักว่าผลลัพธ์เดียวกันนี้ได้มาจากการใช้การหมุนของรูปสามเหลี่ยมเดิมตราบใดที่มันเป็น180ºและอยู่ตรงกลางที่ O

ดังนั้นสมมาตรกลางจึงเทียบเท่ากับการเลี้ยว180ºเทียบกับศูนย์กลางของสมมาตร

คุณสมบัติของสมมาตรกลาง

สมมาตรกลางมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

- ศูนย์กลางของสมมาตรคือจุดกึ่งกลางของส่วนที่เชื่อมจุดกับสมมาตร

- จุดสมมาตรของอีกจุดหนึ่งที่ตั้งอยู่ตรงกลางของสมมาตรเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของสมมาตร

- สมมาตรกลางของรูปสามเหลี่ยมคือสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกัน (เท่ากับ) กับต้นฉบับ

- ภาพโดยสมมาตรกลางของวงกลมคือวงกลมอื่นที่มีรัศมีเท่ากัน

- เส้นรอบวงมีสมมาตรกลางเทียบกับจุดศูนย์กลางของตัวเอง

รูปที่ 2 การออกแบบด้วยสมมาตรกลาง ที่มา: Pixabay

- วงรีมีสมมาตรตรงกลางเทียบกับจุดศูนย์กลาง

- ส่วนมีสมมาตรกลางเทียบกับจุดกึ่งกลาง

- สามเหลี่ยมด้านเท่าไม่มีสมมาตรกลางเมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลางของมันเพราะความสมมาตรแม้ว่าจะสอดคล้องกับรูปแรก แต่ก็ให้สามเหลี่ยมด้านเท่าที่หมุนได้

- สี่เหลี่ยมมีสมมาตรกลางเทียบกับจุดศูนย์กลาง

- รูปห้าเหลี่ยมขาดความสมมาตรตรงกลางเมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลาง

- รูปหลายเหลี่ยมปกติมีสมมาตรกลางเมื่อมีจำนวนด้านเท่ากัน

ตัวอย่าง

เกณฑ์สมมาตรมีการประยุกต์ใช้มากมายในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม สมมาตรกลางมีอยู่ในธรรมชาติเช่นผลึกน้ำแข็งและใยแมงมุมมีความสมมาตรแบบนี้

นอกจากนี้ปัญหาต่างๆยังแก้ไขได้ง่ายเมื่อใช้ประโยชน์จากการมีอยู่ของสมมาตรกลางและสมมาตรประเภทอื่น ๆ ดังนั้นจึงสะดวกในการระบุได้อย่างรวดเร็วว่าเกิดขึ้นเมื่อใด

รูปที่ 3 ผลึกน้ำแข็งมีสมมาตรตรงกลาง ที่มา: Pixabay

ตัวอย่าง 1

เมื่อระบุจุด P ของพิกัด (a, b) เราต้องหาพิกัดของ P สมมาตรของมันเทียบกับจุดกำเนิด O ของพิกัด (0, 0)

สิ่งแรกคือการสร้างจุด P 'ซึ่งลากเส้นผ่านจุดกำเนิด O และผ่านจุด P สมการของเส้นตรงนี้คือ y = (b / a) x

ตอนนี้ขอเรียกว่า (a ', b') พิกัดของจุดสมมาตร P ' จุด P 'ต้องอยู่บนเส้นที่ผ่าน O ดังนั้นจึงเป็นจริง: b' = (b / a) a ' นอกจากนี้ระยะทาง OP ต้องเท่ากับ OP 'ซึ่งในรูปแบบการวิเคราะห์เขียนไว้ดังนี้:

√ (ก² + b ² ) = √ (ก ' ² + b' ² )

ต่อไปนี้คือการแทนที่ b '= ในนิพจน์ก่อนหน้าและยกกำลังสองทั้งสองด้านของความเท่ากันเพื่อกำจัดรากที่สอง: (a ² + b ² ) =

โดยแยกปัจจัยร่วมกันและลดความซับซ้อนที่เราได้รับที่ ' ² = a 2 สมการนี้มีคำตอบที่แท้จริงสองแบบ: a '= + a หรือ a' = -a

เพื่อให้ได้ b 'เราใช้ b' = (b / a) a 'อีกครั้ง ถ้าผลบวกของ a 'ถูกแทนที่เราจะมาถึง b' = b นั้น และเมื่อแทนที่สารละลายลบแล้ว b '= -b

คำตอบที่เป็นบวกทำให้ P 'จุดเดียวกันกับ P ดังนั้นจึงถูกทิ้ง คำตอบเชิงลบให้พิกัดของจุดสมมาตรอย่างแน่นอน:

พ ': (-a, -b)

ตัวอย่าง 2

จำเป็นต้องแสดงให้เห็นว่าส่วน AB และ A'B สมมาตรกลางมีความยาวเท่ากัน

เริ่มต้นด้วยพิกัดของจุด A ซึ่ง ได้แก่ (Axe, Ay) และจุด B: (Bx, By) ความยาวของเซ็กเมนต์ AB กำหนดโดย:

d (AB) = √ ((Bx - ขวาน) ² + (โดย - Ay) ² )

โดยการเปรียบเทียบส่วนสมมาตร A'B 'จะมีความยาวที่กำหนดโดย:

d (A'B ') = √ ((Bx' - ขวาน ') ² + (โดย' - Ay ') ² )

พิกัดของจุดสมมาตร A 'คือ Ax' = -Ax และ Ay '= -Ay ในทำนองเดียวกันของ B 'คือ Bx' = -Bx และ By '= -By หากพิกัดเหล่านี้ถูกแทนที่ในสมการของระยะทาง d (A'B ') เรามี:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ² ) ซึ่งเทียบเท่ากับ:

√ ((Bx - ขวาน) ² + (โดย - Ay) ² ) = d (AB)

จึงแสดงให้เห็นว่าทั้งสองส่วนมีความยาวเท่ากัน

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

- แบบฝึกหัด 1

แสดงในเชิงวิเคราะห์ว่า O สมมาตรกลางของวงกลมรัศมี R และศูนย์กลาง O เป็นวงกลมดั้งเดิมเดียวกัน

สารละลาย

สมการของวงกลมที่มีรัศมี R และศูนย์ O (0,0) คือ:

x ² + y ² = R ² (สมการของเส้นรอบวง C)

ถ้าในแต่ละจุด P ของเส้นรอบวง y ของพิกัด (x, y) พบพิกัด P 'ของพิกัด (x', y ') ที่สมมาตรสมการของเส้นรอบวงสมมาตรคือ:

x ' ² + y' ² = R ² (สมการของวงกลมสมมาตร C ')

ตอนนี้เราอ้างถึงผลลัพธ์ของตัวอย่างที่ 1 ซึ่งสรุปได้ว่าพิกัดของจุด P 'สมมาตรกับ P และด้วยพิกัด (a, b) คือ (-a, -b)

แต่ในแบบฝึกหัดนี้จุด P มีพิกัด (x, y) ดังนั้นสมมาตร P 'จะมีพิกัด x' = -xe y '= -y การแทนที่สิ่งนี้ในสมการของวงกลมสมมาตรที่เรามี:

(-x) ² + (-y) ² = ร²

ซึ่งเทียบเท่ากับ: x ² + y ² = R ²สรุปได้ว่าสมมาตรกลางของวงกลมเทียบกับจุดศูนย์กลางคือวงกลมนั่นเอง

- แบบฝึกหัด 2

แสดงในรูปแบบเรขาคณิตที่สมมาตรกลางรักษามุม

สารละลาย

รูปที่ 4. การสร้างจุดสมมาตรสำหรับการออกกำลังกาย 2 ที่มา: F. Zapata.

มีจุด A, B และ C สามจุดบนเครื่องบิน สมมาตร A ', B' และ C 'สร้างขึ้นโดยเทียบกับจุดศูนย์กลางของสมมาตร O ดังแสดงในรูปที่ 4

ตอนนี้เราต้องแสดงให้เห็นว่ามุม∡ABC = βมีการวัดเช่นเดียวกับมุม∡A'B'C '= β'

เนื่องจาก C และ C 'เป็นแบบสมมาตรดังนั้น OC = OC' ในทำนองเดียวกัน OB = OB 'และ OA = OA' ในทางกลับกันมุม∡BOC = ∡B'OC 'เพราะตรงข้ามกับจุดยอด

ดังนั้นสามเหลี่ยม BOC และ B'OC จึงมีความเท่ากันเพราะมีมุมเท่ากันระหว่างด้านเท่ากันสองด้าน

เนื่องจาก BOC มีความสอดคล้องกับ B'OC 'ดังนั้นมุมγและγ' จึงเท่ากัน แต่มุมเหล่านี้นอกเหนือจากการเติมเต็มγ = γ 'แล้วยังเป็นทางเลือกภายในระหว่างบรรทัด BC และ B'C' ซึ่งหมายความว่าเส้น BC ขนานกับ B'C '

ในทำนองเดียวกัน BOA สอดคล้องกับ B'OA 'ซึ่งเป็นไปตามนั้นα = α' แต่αและα 'เป็นมุมภายในสลับกันระหว่างเส้น BA และ B'A' ซึ่งสรุปได้ว่าสาย BA ขนานกับ B'A '

เนื่องจากมุม∡ABC = βมีด้านขนานกับมุม∡A'B'C '= β' และทั้งคู่เป็นมุมแหลมจึงสรุปได้ว่า:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

พิสูจน์ด้วยวิธีนี้ว่าสมมาตรกลางจะอนุรักษ์การวัดของมุม

อ้างอิง

1. Baldor, JA 1973. เรขาคณิตเครื่องบินและอวกาศ. วัฒนธรรมอเมริกากลาง.
2. กฎหมายและสูตรทางคณิตศาสตร์ ระบบวัดมุม สืบค้นจาก: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. เรขาคณิตของเครื่องบิน สืบค้นจาก: gutenberg.org.
4. วิกิพีเดีย สมมาตรกลาง สืบค้นจาก: es.wikipedia.com
5. วิกิพีเดีย สายพานลำเลียง. สืบค้นจาก: es.wikipedia.com
6. Zapata F. ผันมุมภายในและภายนอก ดึงมาจาก: lifeder.com