สมมาตรตามแนวแกน: คุณสมบัติตัวอย่างและแบบฝึกหัด - เลข - 2026

แกนสมมาตรคือเมื่อจุดของรูปตรงที่มีจุดของรูปอื่นโดย bisector ตรงที่เรียกว่าแกนสมมาตร เรียกอีกอย่างว่าสมมาตรตามแนวรัศมีการหมุนหรือทรงกระบอก

โดยปกติจะใช้ในรูปทรงเรขาคณิต แต่สามารถสังเกตได้ง่ายในธรรมชาติเนื่องจากมีสัตว์เช่นผีเสื้อแมงป่องเต่าทองหรือมนุษย์ที่แสดงสมมาตรตามแนวแกน

ความสมมาตรตามแนวแกนจัดแสดงในภาพถ่ายเส้นขอบฟ้าของเมืองโตรอนโตและภาพสะท้อนในน้ำ (ที่มา: pixabay)

วิธีการหาสมมาตรตามแนวแกน

ในการค้นหาสมมาตรตามแนวแกน P 'ของจุด P เทียบกับเส้น (L) จะดำเนินการทางเรขาคณิตต่อไปนี้:

1.- เส้นตั้งฉากกับเส้น (L) ที่ผ่านจุด P

2.- การสกัดกั้นของทั้งสองเส้นกำหนดจุด O

3.- วัดความยาวของส่วน PO จากนั้นความยาวนี้จะถูกคัดลอกไปยังเส้น (PO) โดยเริ่มจาก O ในทิศทางจาก P ถึง O โดยกำหนดจุด P '

4.- จุด P 'คือสมมาตรตามแนวแกนของจุด P เทียบกับแกน (L) เนื่องจากเส้น (L) เป็นเส้นแบ่งครึ่งของส่วน PP' โดยเป็น O จุดกึ่งกลางของส่วนดังกล่าว

รูปที่ 1. จุดสองจุด P และ P 'สมมาตรตามแนวแกนกับแกน (L) ถ้าแกนดังกล่าวเป็นเส้นแบ่งครึ่งของส่วน PP'

คุณสมบัติของสมมาตรตามแนวแกน

- สมมาตรตามแนวแกนมีมิติเท่ากันนั่นคือระยะทางของรูปทรงเรขาคณิตและสมมาตรที่สอดคล้องกันจะถูกรักษาไว้

- การวัดมุมและสมมาตรมีค่าเท่ากัน

- สมมาตรตามแนวแกนของจุดบนแกนสมมาตรคือจุดนั้นเอง

- เส้นสมมาตรของเส้นที่ขนานกับแกนสมมาตรก็เป็นเส้นที่ขนานกับแกนดังกล่าวเช่นกัน

- เส้นเซแคนท์กับแกนสมมาตรมีเหมือนเส้นสมมาตรอีกเส้นหนึ่งซึ่งในทางกลับกันจะตัดแกนสมมาตรที่จุดเดียวกันบนเส้นเดิม

- ภาพสมมาตรของเส้นคือเส้นอื่นที่สร้างมุมโดยมีแกนสมมาตรของการวัดเดียวกันกับเส้นเดิม

- ภาพสมมาตรของเส้นที่ตั้งฉากกับแกนสมมาตรเป็นอีกเส้นหนึ่งที่ซ้อนทับกับเส้นแรก

- เส้นและเส้นสมมาตรตามแนวแกนเป็นมุมที่มีเส้นแบ่งครึ่งเป็นแกนสมมาตร

รูปที่ 2 สมมาตรตามแนวแกนรักษาระยะห่างและมุม

ตัวอย่างสมมาตรตามแนวแกน

ธรรมชาติจัดแสดงตัวอย่างสมมาตรตามแนวแกนมากมาย ตัวอย่างเช่นคุณสามารถเห็นความสมมาตรของใบหน้าแมลงเช่นผีเสื้อภาพสะท้อนบนผิวน้ำที่เงียบสงบและกระจกเงาหรือใบไม้ของพืชเป็นต้น

รูปที่ 3 ผีเสื้อตัวนี้แสดงใกล้สมมาตรตามแนวแกนที่สมบูรณ์แบบ (ที่มา: pixabay)

รูปที่ 4 ใบหน้าของหญิงสาวคนนี้มีความสมมาตรตามแนวแกน (ที่มา: pixabay)

แบบฝึกหัดสมมาตรตามแนวแกน

แบบฝึกหัด 1

เรามีสามเหลี่ยมของจุดยอด A, B และ C ซึ่งมีพิกัดคาร์ทีเซียนตามลำดับ A = (2, 5), B = (1, 1) และ C = (3,3) ค้นหาพิกัดคาร์ทีเซียนของสามเหลี่ยมสมมาตรเกี่ยวกับแกน Y (กำหนดแกน)

วิธีแก้ไข: หากจุด P มีพิกัด (x, y) ความสมมาตรของมันเมื่อเทียบกับแกนกำหนด (แกน Y) คือ P '= (- x, y) กล่าวอีกนัยหนึ่งค่าของสัญลักษณ์การเปลี่ยนแปลง abscissa ในขณะที่ค่าของการกำหนดยังคงเหมือนเดิม

ในกรณีนี้สามเหลี่ยมสมมาตรที่มีจุดยอด A ', B' และ C 'จะมีพิกัด:

ก '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) และ C' = (- 3, 3) ดังที่เห็นในรูปที่ 6

รูปที่ 6. หากจุดมีพิกัด (x, y) สมมาตรตามแกน Y (แกนกำหนด) จะมีพิกัด (-x, y)

แบบฝึกหัด 2

อ้างถึงสามเหลี่ยม ABC และ A'B'C แบบสมมาตรจากแบบฝึกหัด 1 ตรวจสอบว่าด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมเดิมและสมมาตรมีความยาวเท่ากัน

วิธีแก้ไข: ในการหาระยะทางหรือความยาวของด้านข้างเราใช้สูตรระยะทางแบบยุคลิด:

d (A, B) = √ ((Bx - ขวาน) ^ 2 + (โดย - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

ความยาวของ A'B ด้านสมมาตรที่สอดคล้องกันคำนวณได้ด้านล่าง:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

ด้วยวิธีนี้ได้รับการตรวจสอบแล้วว่าสมมาตรตามแนวแกนรักษาระยะห่างระหว่างจุดสองจุด ขั้นตอนนี้สามารถทำซ้ำได้สำหรับอีกสองด้านของสามเหลี่ยมและสมมาตรเพื่อตรวจสอบความยาวไม่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236

แบบฝึกหัด 3

ในความสัมพันธ์กับสามเหลี่ยม ABC และ A'B'C แบบสมมาตรจากแบบฝึกหัด 1 ให้ตรวจสอบว่ามุมที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมดั้งเดิมและสมมาตรของมันมีการวัดเชิงมุมเท่ากัน

วิธีการแก้ปัญหา: การตรวจสอบมาตรการของมุม BAC และ B'A'C 'ครั้งแรกที่เราจะคำนวณผลคูณของเวกเตอร์ABกับACแล้วผลคูณของA'B'กับA'C '

จำไว้ว่า:

A = (2, 5), B = (1, 1) และ C = (3,3)

ก '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) และ C' = (- 3, 3)

มันมี:

AB = <1-2, 1-5> และAC = <3-2, 3-5>

ในทำนองเดียวกัน

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> และAC = <-3 + 2, 3-5>

จากนั้นจะพบผลิตภัณฑ์สเกลาร์ต่อไปนี้:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

ในทำนองเดียวกัน

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

การวัดมุม BAC คือ:

∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC- )) =

ArcCos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40.6º

ในทำนองเดียวกันการวัดมุม B'A'C 'คือ:

∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'- )) =

ArcCos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40.6º

สรุปได้ว่าสมมาตรตามแนวแกนจะรักษาการวัดของมุมไว้

แบบฝึกหัด 4

ให้จุด P เป็นพิกัด (a, b) ค้นหาพิกัดของสมมาตรตามแนวแกน P 'เทียบกับเส้น y = x

วิธีแก้ไข: เราจะเรียก (a ', b') พิกัดของจุดสมมาตร P 'เทียบกับเส้น y = x จุดกึ่งกลาง M ของเซ็กเมนต์ PP 'มีพิกัด ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) และอยู่บนเส้น y = x ด้วยดังนั้นความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จึงถือ:

ก + a '= b + b'

ในทางกลับกันเซ็กเมนต์ PP 'มีความชัน -1 เนื่องจากตั้งฉากกับเส้น y = x ด้วยความชัน 1 ดังนั้นความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้จึงถือ:

b - b '= a' -a

การแก้ค่าความเท่าเทียมกันสองค่าก่อนหน้า a 'และ b' สรุปได้ว่า:

a '= โดย b' = a.

นั่นคือกำหนดจุด P (a, b) สมมาตรตามแนวแกนเทียบกับเส้น y = x คือ P '(b, a)

อ้างอิง

1. Arce M. , Blázquez S และอื่น ๆ การเปลี่ยนแปลงของเครื่องบิน สืบค้นจาก: educutmxli.files.wordpress.com
2. การคำนวณ cc. สมมาตรตามแนวแกน กู้คืนจาก: calculo.cc
3. Superprof สมมาตรตามแนวแกน ดึงมาจาก: superprof.es
4. วิกิพีเดีย. สมมาตรตามแนวแกน สืบค้นจาก: es.wikipedia.com
5. วิกิพีเดีย. สมมาตรแบบวงกลม สืบค้นจาก: en.wikipedia.com