การให้เหตุผลเชิงพีชคณิต (พร้อมแบบฝึกหัดที่มีการแก้ไข) - คณิตศาสตร์ - 2026

การให้เหตุผลเกี่ยวกับพีชคณิตโดยพื้นฐานแล้วประกอบด้วยอาร์กิวเมนต์ทางคณิตศาสตร์คือการสื่อสารผ่านภาษาพิเศษซึ่งทำให้ตัวแปรทั่วไปและเข้มงวดมากขึ้นโดยใช้การดำเนินการทางพีชคณิตที่กำหนดไว้และซึ่งกันและกัน ลักษณะเฉพาะของคณิตศาสตร์คือความเข้มงวดเชิงตรรกะและแนวโน้มเชิงนามธรรมที่ใช้ในการโต้แย้ง

สิ่งนี้จำเป็นต้องรู้ "ไวยากรณ์" ที่ถูกต้องเพื่อใช้ในการเขียนนี้ นอกจากนี้การให้เหตุผลเกี่ยวกับพีชคณิตยังหลีกเลี่ยงความคลุมเครือในการอ้างเหตุผลของอาร์กิวเมนต์ทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญในการพิสูจน์ผลลัพธ์ในคณิตศาสตร์

ตัวแปรพีชคณิต

ตัวแปรพีชคณิตเป็นเพียงตัวแปร (ตัวอักษรหรือสัญลักษณ์) ที่แสดงถึงวัตถุทางคณิตศาสตร์บางอย่าง

ตัวอย่างเช่นตัวอักษร x, y, z มักใช้แทนตัวเลขที่ตรงตามสมการที่กำหนด ตัวอักษร p, qr เพื่อแสดงสูตรเชิงประพจน์ (หรือตัวพิมพ์ใหญ่ตามลำดับเพื่อแสดงถึงประพจน์เฉพาะ) และตัวอักษร A, B, X ฯลฯ เพื่อแสดงชุด

คำว่า "ตัวแปร" เน้นย้ำว่าวัตถุที่เป็นปัญหาไม่ได้รับการแก้ไข แต่แตกต่างกันไป นี่เป็นกรณีของสมการซึ่งใช้ตัวแปรในการหาคำตอบที่ไม่ทราบหลักการ

โดยทั่วไปตัวแปรพีชคณิตถือได้ว่าเป็นตัวอักษรที่แสดงถึงวัตถุบางอย่างไม่ว่าจะคงที่หรือไม่ก็ตาม

เช่นเดียวกับที่ใช้ตัวแปรพีชคณิตเพื่อแสดงวัตถุทางคณิตศาสตร์เรายังสามารถพิจารณาสัญลักษณ์เพื่อแสดงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ได้

ตัวอย่างเช่นสัญลักษณ์ "+" แสดงถึงการดำเนินการ "นอกจากนี้" ตัวอย่างอื่น ๆ คือสัญกรณ์สัญลักษณ์ที่แตกต่างกันของการเชื่อมต่อเชิงตรรกะในกรณีของประพจน์และเซต

นิพจน์พีชคณิต

นิพจน์พีชคณิตคือการรวมกันของตัวแปรพีชคณิตโดยการดำเนินการที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ ตัวอย่างนี้คือการดำเนินการพื้นฐานของการบวกการลบการคูณและการหารระหว่างตัวเลขหรือการเชื่อมต่อเชิงตรรกะในประพจน์และเซต

การให้เหตุผลเชิงพีชคณิตมีหน้าที่ในการแสดงเหตุผลทางคณิตศาสตร์หรือการโต้แย้งผ่านนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิต

รูปแบบของนิพจน์นี้ช่วยลดความซับซ้อนและย่อการเขียนเนื่องจากใช้สัญลักษณ์เชิงสัญลักษณ์และช่วยให้เข้าใจเหตุผลได้ดีขึ้นนำเสนอด้วยวิธีที่ชัดเจนและแม่นยำยิ่งขึ้น

ตัวอย่าง

ลองดูตัวอย่างบางส่วนที่แสดงว่าใช้เหตุผลเชิงพีชคณิตอย่างไร มันถูกใช้เป็นประจำเพื่อแก้ปัญหาตรรกะและเหตุผลดังที่เราจะเห็นในไม่ช้า

พิจารณาประพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันดี "ผลรวมของจำนวนสองจำนวนคือการสับเปลี่ยน" มาดูกันว่าเราจะแสดงประพจน์นี้ในเชิงพีชคณิตได้อย่างไรโดยให้ตัวเลขสองตัว "a" และ "b" ความหมายของประพจน์นี้คือ a + b = b + a

เหตุผลที่ใช้ในการตีความข้อความเริ่มต้นและแสดงในแง่พีชคณิตคือการให้เหตุผลเกี่ยวกับพีชคณิต

นอกจากนี้เรายังสามารถพูดถึงนิพจน์ที่มีชื่อเสียง "ลำดับของปัจจัยไม่เปลี่ยนแปลงผลิตภัณฑ์" ซึ่งหมายถึงความจริงที่ว่าผลคูณของตัวเลขสองจำนวนนั้นมีการสับเปลี่ยนเช่นกันและแสดงในเชิงพีชคณิตเป็น axb = bxa

ในทำนองเดียวกันคุณสมบัติการเชื่อมโยงและการกระจายสำหรับการบวกและผลคูณซึ่งรวมถึงการลบและการหารสามารถแสดงได้ในเชิงพีชคณิต

การให้เหตุผลประเภทนี้ครอบคลุมภาษาที่กว้างมากและใช้ในบริบทต่างๆ ขึ้นอยู่กับแต่ละกรณีในบริบทเหล่านี้จำเป็นต้องจดจำรูปแบบตีความประโยคและสรุปและจัดรูปแบบการแสดงออกในแง่พีชคณิตให้เป็นทางการโดยให้เหตุผลที่ถูกต้องและเป็นลำดับ

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

ต่อไปนี้เป็นปัญหาตรรกะซึ่งเราจะแก้โดยใช้เหตุผลเกี่ยวกับพีชคณิต:

ออกกำลังกายครั้งแรก

ตัวเลขที่เอาครึ่งหนึ่งออกมาเท่ากับหนึ่งคืออะไร?

สารละลาย

ในการแก้ปัญหาแบบฝึกหัดประเภทนี้การแทนค่าที่เราต้องการกำหนดโดยตัวแปรจะมีประโยชน์มาก ในกรณีนี้เราต้องการหาตัวเลขที่เมื่อหารครึ่งแล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นหมายเลขหนึ่ง ให้เราแสดงด้วย x จำนวนที่ต้องการ

"การเอาครึ่งหนึ่ง" ของจำนวนหนึ่งหมายถึงการหารด้วย 2 ดังนั้นข้างต้นสามารถแสดงในเชิงพีชคณิตได้ว่า x / 2 = 1 และปัญหาจะลดลงจนไปถึงการแก้สมการซึ่งในกรณีนี้จะเป็นเส้นตรงและแก้ได้ง่ายมาก การแก้หา x เราได้คำตอบว่า x = 2

สรุปได้ว่า 2 คือจำนวนที่เมื่อนำครึ่งหนึ่งเท่ากับ 1

การออกกำลังกายครั้งที่สอง

กี่นาทีถึงเที่ยงคืนถ้า 10 นาทีที่แล้ว 5/3 ของตอนนี้เหลืออะไร?

สารละลาย

ให้เราแสดงด้วย "z" จำนวนนาทีจนถึงเที่ยงคืน (สามารถใช้ตัวอักษรอื่นได้) กล่าวคือตอนนี้มี“ z” นาทีจนถึงเที่ยงคืน นี่หมายความว่า 10 นาทีที่แล้วนาที“ z + 10” ขาดหายไปในช่วงเที่ยงคืนและนี่ก็ตรงกับ 5/3 ของสิ่งที่ขาดหายไปในตอนนี้ นั่นคือ (5/3) z.

จากนั้นปัญหาจะเดือดไปที่การแก้สมการ z + 10 = (5/3) z การคูณทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันด้วย 3 เราได้สมการ 3z + 30 = 5z

ตอนนี้เมื่อจัดกลุ่มตัวแปร "z" ที่ด้านหนึ่งของความเท่าเทียมกันเราจะได้ 2z = 15 ซึ่งหมายความว่า z = 15

ถึงเที่ยงคืน 15 นาที

การออกกำลังกายครั้งที่สาม

ในชนเผ่าที่ฝึกฝนการแลกเปลี่ยนมีความเท่าเทียมกันเหล่านี้:

- แลกหอกและสร้อยคอเป็นโล่

- หอกเทียบเท่ามีดและสร้อยคอ

- แลกโล่สองอันเป็นมีดสามหน่วย

หอกเทียบเท่าสร้อยคอกี่เส้น?

สารละลาย

ฌอน:

Co = สร้อยคอ

L = หอก

E = โล่

Cu = มีด

ดังนั้นเราจึงมีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

Co + L = E

L = Co + Cu

2E = 3Cu

ดังนั้นปัญหาจึงเกิดขึ้นที่การแก้ระบบสมการ แม้จะมีสิ่งที่ไม่รู้จักมากกว่าสมการ แต่ระบบนี้สามารถแก้ไขได้เนื่องจากพวกเขาไม่ได้ขอวิธีแก้ปัญหาเฉพาะจากเรา แต่เป็นตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งเป็นฟังก์ชันของอีกตัวแปรหนึ่ง สิ่งที่เราต้องทำคือแสดง "Co" ในรูปของ "L" โดยเฉพาะ

จากสมการที่สองเรามี Cu = L - Co. การแทนที่ในสมการที่สามเราได้ E = (3L - 3Co) / 2 ในที่สุดการแทนที่ในสมการแรกและทำให้ง่ายขึ้นจะได้รับ 5Co = L; นั่นคือหอกมีค่าเท่ากับสร้อยคอห้าเส้น

อ้างอิง

1. Billstein, R. , Libeskind, S. , & Lott, JW (2013) คณิตศาสตร์: วิธีการแก้ปัญหาสำหรับครูประถมศึกษา บรรณาธิการLópez Mateos
2. Fuentes, A. (2016). คณิตศาสตร์พื้นฐาน ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับแคลคูลัส Lulu.com
3. García Rua, J. , & MartínezSánchez, JM (1997) คณิตศาสตร์พื้นฐานระดับประถมศึกษา. กระทรวงศึกษาธิการ.
4. รีส, PK (1986). พีชคณิต. Reverte
5. ร็อค, นิวเม็กซิโก (2549). พีชคณิตฉันง่าย! ง่ายมาก. ทีม Rock Press
6. สมิ ธ , SA (2000). พีชคณิต. การศึกษาของเพียร์สัน.
7. Szecsei, D. (2549). คณิตศาสตร์พื้นฐานและพีชคณิตเบื้องต้น (มีภาพประกอบ) อาชีพกด.