คุณสมบัติของความเท่าเทียมกัน - คณิตศาสตร์ - 2026

คุณสมบัติของความเสมอภาคอ้างถึงความสัมพันธ์ระหว่างสองวัตถุทางคณิตศาสตร์ไม่ว่าจะเป็นตัวเลขหรือตัวแปร มันแสดงด้วยสัญลักษณ์ "=" ซึ่งจะอยู่ระหว่างวัตถุทั้งสองนี้เสมอ นิพจน์นี้ใช้เพื่อกำหนดว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์สองชิ้นเป็นตัวแทนของวัตถุเดียวกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งวัตถุสองชิ้นนั้นเป็นสิ่งเดียวกัน

มีหลายกรณีที่การใช้ความเท่าเทียมกันเป็นเรื่องเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นชัดเจนว่า 2 = 2 อย่างไรก็ตามเมื่อพูดถึงตัวแปรมันไม่สำคัญอีกต่อไปและมีการใช้งานเฉพาะ ตัวอย่างเช่นถ้าเรามี y = x และในทางกลับกัน x = 7 เราสามารถสรุปได้ว่า y = 7 เช่นกัน

ตัวอย่างข้างต้นเป็นไปตามคุณสมบัติของความเท่าเทียมกันดังที่คุณจะเห็นในไม่ช้า คุณสมบัติเหล่านี้จำเป็นต่อการแก้สมการ (ความเท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร) ซึ่งเป็นส่วนที่สำคัญมากของคณิตศาสตร์

คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันคืออะไร?

คุณสมบัติสะท้อนแสง

คุณสมบัติการสะท้อนกลับในกรณีของความเท่าเทียมกันระบุว่าทุกจำนวนมีค่าเท่ากับตัวมันเองและแสดงเป็น b = b สำหรับจำนวนจริงใด ๆ b

ในกรณีเฉพาะของความเท่าเทียมกันคุณสมบัตินี้ดูเหมือนจะชัดเจน แต่ในความสัมพันธ์ประเภทอื่นระหว่างตัวเลขนั้นไม่ใช่ กล่าวอีกนัยหนึ่งความสัมพันธ์ของจำนวนจริงไม่ตรงตามคุณสมบัตินี้ ตัวอย่างเช่นกรณีของความสัมพันธ์“ น้อยกว่า” (<); ไม่มีตัวเลขใดน้อยกว่าตัวมันเอง

คุณสมบัติสมมาตร

คุณสมบัติสมมาตรสำหรับความเท่าเทียมกันกล่าวว่าถ้า a = b ดังนั้น b = a ไม่ว่าจะใช้คำสั่งใดในตัวแปรก็จะคงไว้โดยความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกัน

การเปรียบเทียบคุณสมบัตินี้กับคุณสมบัติการสับเปลี่ยนสามารถสังเกตได้ในกรณีของการบวก ตัวอย่างเช่นเนื่องจากคุณสมบัตินี้จึงเทียบเท่ากับการเขียน y = 4 หรือ 4 = y

คุณสมบัติสกรรมกริยา

คุณสมบัติสกรรมกริยาเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันระบุว่าถ้า a = b และ b = c ดังนั้น a = c ตัวอย่างเช่น 2 + 7 = 9 และ 9 = 6 + 3; ดังนั้นโดยคุณสมบัติสกรรมกริยาเราจึงมี 2 + 7 = 6 + 3

แอปพลิเคชั่นง่ายๆมีดังต่อไปนี้สมมติว่าจูเลียนอายุ 14 ปีและมาริโออายุเท่ากับโรซ่า ถ้าโรซ่าอายุเท่า ๆ กับจูเลียนมาริโออายุเท่าไหร่?

เบื้องหลังสถานการณ์นี้มีการใช้คุณสมบัติสกรรมกริยาสองครั้ง ในทางคณิตศาสตร์มีการตีความดังนี้: ให้ "a" เป็นอายุของ Mario, "b" อายุของ Rosa และ "c" อายุของ Julian เป็นที่ทราบกันดีว่า b = c และ c = 14

โดยคุณสมบัติสกรรมกริยาเรามี b = 14; นั่นคือโรซ่าอายุ 14 ปี เนื่องจาก a = b และ b = 14 ใช้คุณสมบัติสกรรมกริยาอีกครั้งเราจึงมี a = 14; นั่นคืออายุของมาริโอก็ 14 ปีเช่นกัน

คุณสมบัติเหมือนกัน

คุณสมบัติสม่ำเสมอคือถ้าทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันถูกเพิ่มหรือคูณด้วยจำนวนที่เท่ากันความเท่าเทียมกันจะถูกรักษา ตัวอย่างเช่นถ้า 2 = 2 แล้ว 2 + 3 = 2 + 3 ซึ่งชัดเจนตั้งแต่ 5 = 5 คุณสมบัตินี้มีประโยชน์มากที่สุดเมื่อพยายามแก้สมการ

ตัวอย่างเช่นสมมติว่าคุณถูกขอให้แก้สมการ x-2 = 1 สะดวกที่จะจำไว้ว่าการแก้สมการประกอบด้วยการกำหนดตัวแปร (หรือตัวแปร) ที่เกี่ยวข้องอย่างชัดเจนโดยพิจารณาจากจำนวนเฉพาะหรือตัวแปรที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้

กลับไปที่สมการ x-2 = 1 สิ่งที่คุณต้องทำคือค้นหาว่า x มีค่าเท่าใด ในการดำเนินการนี้จะต้องล้างตัวแปร

มีการสอนอย่างผิด ๆ ว่าในกรณีนี้เนื่องจากเลข 2 เป็นลบมันจึงส่งผ่านไปยังอีกด้านหนึ่งของความเท่าเทียมด้วยเครื่องหมายบวก แต่มันไม่ถูกต้องที่จะพูดแบบนั้น

โดยพื้นฐานแล้วสิ่งที่คุณกำลังทำคือการใช้คุณสมบัติเครื่องแบบดังที่เราจะเห็นด้านล่าง แนวคิดคือการล้าง "x"; นั่นคือปล่อยให้มันอยู่คนเดียวที่ด้านหนึ่งของสมการ โดยปกติแล้วจะวางไว้ทางด้านซ้าย

เพื่อจุดประสงค์นี้จำนวนที่จะ "กำจัด" คือ -2 วิธีที่จะทำได้คือการเพิ่ม 2 เนื่องจาก -2 + 2 = 0 และ x + 0 = 0 ในการดำเนินการนี้โดยไม่เปลี่ยนแปลงความเท่าเทียมกันต้องใช้การดำเนินการเดียวกันกับอีกด้านหนึ่ง

สิ่งนี้ช่วยให้เราตระหนักถึงคุณสมบัติของเครื่องแบบ: ตั้งแต่ x-2 = 1 ถ้าตัวเลข 2 ถูกเพิ่มทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันคุณสมบัติของเครื่องแบบจะบอกว่าไม่มีการเปลี่ยนแปลง จากนั้นเรามี x-2 + 2 = 1 + 2 ซึ่งเท่ากับบอกว่า x = 3 ด้วยสิ่งนี้สมการจะได้รับการแก้ไข

ในทำนองเดียวกันถ้าคุณต้องการแก้สมการ (1/5) y-1 = 9 คุณสามารถดำเนินการต่อโดยใช้คุณสมบัติเครื่องแบบดังนี้:

โดยทั่วไปสามารถสร้างข้อความต่อไปนี้:

- ถ้า ab = cb แล้ว a = c

- ถ้า xb = y แล้ว x = y + b

- ถ้า (1 / a) z = b แล้ว z = a ×

- ถ้า (1 / c) a = (1 / c) b ดังนั้น a = b

การยกเลิกทรัพย์สิน

คุณสมบัติการยกเลิกเป็นกรณีเฉพาะของคุณสมบัติเครื่องแบบโดยเฉพาะอย่างยิ่งกรณีของการลบและการหาร (ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วจะสอดคล้องกับการบวกและการคูณด้วย) คุณสมบัตินี้ถือว่ากรณีนี้แยกกัน

ตัวอย่างเช่นถ้า 7 + 2 = 9 แล้ว 7 = 9-2 หรือถ้า 2y = 6 แล้ว y = 3 (หารด้วยสองทั้งสองข้าง)

ในทำนองเดียวกันกับกรณีก่อนหน้านี้สามารถสร้างข้อความต่อไปนี้ผ่านคุณสมบัติการยกเลิก:

- ถ้า a + b = c + b แล้ว a = c

- ถ้า x + b = y แล้ว x = yb

- ถ้า az = b แล้ว z = b / a

- ถ้า ca = cb แล้ว a = b

ทรัพย์สินทดแทน

ถ้าเราทราบค่าของวัตถุทางคณิตศาสตร์คุณสมบัติการทดแทนจะระบุว่าค่านี้สามารถแทนได้ในสมการหรือนิพจน์ใด ๆ ตัวอย่างเช่นถ้า b = 5 และ a = bx จากนั้นแทนที่ค่าของ "b" ในความเท่าเทียมกันที่สองเรามี a = 5x

อีกตัวอย่างหนึ่งดังต่อไปนี้: ถ้า "m" หาร "n" และ "n" หาร "m" ด้วยเราจะต้องมี m = n

ที่จริงถ้าจะบอกว่า "m" หาร "n" (หรือเทียบเท่ากันว่า "m" เป็นตัวหารของ "n") หมายความว่าการหาร m ÷ n นั้นแน่นอน นั่นคือการหาร "m" ด้วย "n" จะให้จำนวนเต็มไม่ใช่ทศนิยม สิ่งนี้สามารถแสดงได้โดยการบอกว่ามีจำนวนเต็ม "k" ซึ่ง m = k × n

เนื่องจาก "n" หาร "m" ด้วยจึงมีจำนวนเต็ม "p" ซึ่ง n = p × m เนื่องจากคุณสมบัติการทดแทนเราจึงมี n = p × k × n และสำหรับสิ่งนี้จะเกิดขึ้นมีความเป็นไปได้สองประการ: n = 0 ซึ่งในกรณีนี้เราจะมีตัวตน 0 = 0; op × k = 1 ดังนั้นเอกลักษณ์ n = n

สมมติว่า "n" ไม่ใช่ศูนย์ จากนั้นจำเป็นต้อง p × k = 1; ดังนั้น p = 1 และ k = 1 การใช้คุณสมบัติการแทนที่อีกครั้งโดยการแทน k = 1 ในความเท่าเทียมกัน m = k × n (หรือเทียบเท่า p = 1 ใน n = p × m) ในที่สุดเราก็ได้ m = n ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการพิสูจน์

คุณสมบัติของอำนาจในความเท่าเทียมกัน

เช่นเดียวกับที่ก่อนหน้านี้จะเห็นว่าถ้าการดำเนินการเช่นการบวกการคูณการลบหรือการหารทำทั้งในแง่ของความเท่าเทียมกันจะถูกเก็บรักษาไว้ในลักษณะเดียวกับการดำเนินการอื่น ๆ ที่ไม่เปลี่ยนแปลงความเท่าเทียมกันสามารถนำไปใช้ได้

กุญแจสำคัญคือต้องดำเนินการทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันเสมอและตรวจสอบให้แน่ใจล่วงหน้าว่าสามารถดำเนินการได้ นั่นคือกรณีของการเสริมพลัง นั่นคือถ้าทั้งสองข้างของสมการยกกำลังเท่ากันเราก็ยังมีความเท่าเทียมกัน

ตัวอย่างเช่นตั้งแต่ 3 = 3 ดังนั้น 3 ² = 3 ² (9 = 9) โดยทั่วไปให้เป็นจำนวนเต็ม "n" ถ้า x y = แล้ว x ⁿ y = n

คุณสมบัติรูทในความเท่าเทียมกัน

นี่เป็นกรณีเฉพาะของการเสริมพลังและถูกนำไปใช้เมื่อกำลังเป็นจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็มเช่น½ซึ่งแทนค่ารากที่สอง คุณสมบัตินี้ระบุว่าถ้ารูทเดียวกันถูกนำไปใช้กับทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน (เมื่อใดก็ตามที่เป็นไปได้) ความเท่าเทียมกันจะถูกรักษาไว้

ซึ่งแตกต่างจากกรณีก่อนหน้านี้คุณต้องระมัดระวังกับความเท่าเทียมกันของรูทที่จะนำไปใช้เนื่องจากเป็นที่ทราบกันดีว่ารากคู่ของจำนวนลบไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดเจน

ในกรณีที่หัวรุนแรงแม้จะไม่มีปัญหา ตัวอย่างเช่นถ้า x ³ = -8 แม้ว่าจะเป็นค่าความเท่าเทียมกันคุณก็ไม่สามารถใช้รากที่สองกับทั้งสองด้านได้เช่น อย่างไรก็ตามหากคุณสามารถใช้คิวบ์รูท (ซึ่งจะสะดวกกว่าหากคุณต้องการทราบค่า x อย่างชัดเจน) ดังนั้นจึงได้รับ x = -2

อ้างอิง

1. Aylwin, จุฬาฯ (2554). ตรรกะชุดและตัวเลข เมริดา - เวเนซุเอลา: Publications Council, Universidad de Los Andes
2. Jiménez, J. , Rofríguez, M. , & Estrada, R. (2005) คณิตศาสตร์ 1 ก.ย. เกณฑ์
3. ลีร่า, มล. (1994). ไซมอนและคณิตศาสตร์: ข้อความคณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 2: หนังสือของนักเรียน Andres Bello
4. Preciado, CT (2005). รายวิชาคณิตศาสตร์ 3. กองบรรณาธิการ Progreso
5. เซโกเวีย, BR (2012). กิจกรรมทางคณิตศาสตร์และเกมกับมิเกลและลูเซีย Baldomero Rubio Segovia
6. Toral, C. , & Preciado, M. (1985). วิชาคณิตศาสตร์ครั้งที่ 2. กองบรรณาธิการ Progreso