ล็อคคุณสมบัติของพีชคณิต: หลักฐานตัวอย่าง - คณิตศาสตร์ - 2026

คุณสมบัติล็อคของพีชคณิตเป็นปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้องสององค์ประกอบของชุดที่มีการดำเนินการที่เงื่อนไขที่จำเป็นคือว่าหลังจากที่ 2 องค์ประกอบมีการประมวลผลการดำเนินงานภายใต้กล่าวว่าผลที่ได้ยังเป็นชุดแรก

ตัวอย่างเช่นถ้าเราใช้เลขคู่เป็นตัวตั้งและผลรวมเป็นตัวดำเนินการเราจะได้ล็อคของชุดนั้นเมื่อเทียบกับผลรวม เนื่องจากผลรวมของเลขคู่ 2 ตัวจะให้เลขคู่อื่นเสมอดังนั้นจึงเป็นไปตามเงื่อนไขการล็อก

ที่มา: unsplash.com

ลักษณะเฉพาะ

มีคุณสมบัติมากมายที่กำหนดช่องว่างหรือเนื้อความเกี่ยวกับพีชคณิตเช่นโครงสร้างหรือวงแหวน อย่างไรก็ตามคุณสมบัติการล็อกเป็นหนึ่งในคุณสมบัติที่รู้จักกันดีในพีชคณิตพื้นฐาน

การประยุกต์ใช้คุณสมบัติเหล่านี้บางส่วนไม่ได้ขึ้นอยู่กับองค์ประกอบหรือปรากฏการณ์ที่เป็นตัวเลข ตัวอย่างในชีวิตประจำวันจำนวนมากสามารถทำงานได้จากแนวทางเชิงทฤษฎีพีชคณิตล้วนๆ

ตัวอย่างอาจเป็นพลเมืองของประเทศที่มีความสัมพันธ์ทางกฎหมายไม่ว่าประเภทใดก็ตามเช่นการเป็นหุ้นส่วนทางการค้าหรือการแต่งงานระหว่างกัน หลังจากดำเนินการหรือจัดการแล้วพวกเขายังคงเป็นพลเมืองของประเทศ ด้วยวิธีนี้ความเป็นพลเมืองและการจัดการที่เกี่ยวข้องกับพลเมืองสองคนนี้แสดงถึงการล็อก

พีชคณิตเชิงตัวเลข

เกี่ยวกับตัวเลขมีหลายแง่มุมที่เป็นประเด็นของการศึกษาในปัจจุบันของคณิตศาสตร์และพีชคณิตที่แตกต่างกัน สัจพจน์และทฤษฎีจำนวนมากเกิดขึ้นจากการศึกษาเหล่านี้ซึ่งใช้เป็นพื้นฐานทางทฤษฎีสำหรับการวิจัยและงานร่วมสมัย

ถ้าเราทำงานกับชุดตัวเลขเราสามารถกำหนดนิยามที่ถูกต้องสำหรับคุณสมบัติการล็อกได้ ชุด A ถูกกล่าวว่าเป็นตัวล็อกของชุด B อื่นถ้า A เป็นชุดที่เล็กที่สุดที่มีชุดและการดำเนินการทั้งหมดที่ B มีอยู่

สาธิต

หลักฐานการล็อคถูกนำไปใช้กับองค์ประกอบและการดำเนินการที่มีอยู่ในชุดของจำนวนจริง R

ให้ A และ B เป็นตัวเลขสองตัวที่อยู่ในเซต R การปิดขององค์ประกอบเหล่านี้ถูกกำหนดไว้สำหรับแต่ละการดำเนินการที่อยู่ใน R

ผลรวม

- ผลรวม: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

นี่คือวิธีพีชคณิตที่บอกว่าสำหรับ A และ B ทั้งหมดที่เป็นจำนวนจริงเรามีผลรวมของ A บวก B เท่ากับ C ซึ่งเป็นของจริงด้วย

ง่ายต่อการตรวจสอบว่าโจทย์นี้เป็นจริงหรือไม่ ก็เพียงพอที่จะหาผลรวมระหว่างจำนวนจริงใด ๆ และตรวจสอบว่าผลลัพธ์นั้นเป็นของจำนวนจริงหรือไม่

3 + 2 = 5 ∈ร

-2 + (-7) = -9 ∈ร

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ร

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ร

เป็นที่สังเกตว่าเงื่อนไขการล็อกเป็นไปตามจำนวนจริงและผลรวม ด้วยวิธีนี้จึงสามารถสรุปได้: ผลรวมของจำนวนจริงคือการล็อกพีชคณิต

การคูณ

- การคูณ: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C ∈ R

สำหรับ A และ B ทั้งหมดที่เป็นของเรอัลเรามีการคูณ A ด้วย B เท่ากับ C ซึ่งเป็นของรีอัลด้วย

เมื่อตรวจสอบด้วยองค์ประกอบเดียวกันของตัวอย่างก่อนหน้าจะสังเกตเห็นผลลัพธ์ต่อไปนี้

3 x 2 = 6 ∈ร

-2 x (-7) = 14 ∈ร

-3 x 1/3 = -1 ∈ร

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R

นี่เป็นหลักฐานเพียงพอที่จะสรุปได้ว่า: การคูณจำนวนจริงเป็นการล็อกเกี่ยวกับพีชคณิต

คำจำกัดความนี้สามารถขยายได้ถึงการดำเนินการทั้งหมดของจำนวนจริงแม้ว่าเราจะพบข้อยกเว้นบางประการ

ที่มา: pixabay.com

กรณีพิเศษในร

แผนก

กรณีพิเศษแรกคือการแบ่งซึ่งจะเห็นข้อยกเว้นต่อไปนี้:

∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

สำหรับ A และ B ทั้งหมดที่เป็นของ R เรามีว่า A ใน B ไม่ได้เป็นของจริงก็ต่อเมื่อ B เท่ากับศูนย์เท่านั้น

กรณีนี้หมายถึงข้อ จำกัด ของการไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ เนื่องจากศูนย์เป็นของจำนวนจริงดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น: การหารไม่ได้ล็อคค่าเรียล

ยื่น

นอกจากนี้ยังมีการดำเนินการที่มีศักยภาพโดยเฉพาะอย่างยิ่งการทำให้รุนแรงขึ้นซึ่งมีการนำเสนอข้อยกเว้นสำหรับพลังที่รุนแรงของดัชนีคู่:

สำหรับ A ทั้งหมดที่เป็นของเรียลรูทที่ n ของ A จะเป็นของรีอัลก็ต่อเมื่อ A เป็นของจำนวนเรียลบวกที่รวมเข้ากับเซตที่มีองค์ประกอบเดียวเท่านั้นที่เป็นศูนย์

ด้วยวิธีนี้แสดงว่ารากคู่ใช้กับจำนวนจริงที่เป็นบวกเท่านั้นและสรุปได้ว่าศักยภาพไม่ใช่ตัวล็อกใน R

ลอการิทึม

ในลักษณะที่คล้ายคลึงกันสามารถมองเห็นได้สำหรับฟังก์ชันลอการิทึมซึ่งไม่ได้กำหนดไว้สำหรับค่าที่น้อยกว่าหรือเท่ากับศูนย์ หากต้องการตรวจสอบว่าลอการิทึมเป็นล็อกของ R ให้ดำเนินการดังนี้:

สำหรับ A ทั้งหมดที่เป็นของจริงลอการิทึมของ A เป็นของค่าจริงถ้า A เป็นของจำนวนจริงที่เป็นค่าบวกเท่านั้น

โดยการไม่รวมค่าลบและศูนย์ที่เป็นของ R สามารถระบุได้ว่า:

ลอการิทึมไม่ใช่ตัวล็อกของจำนวนจริง

ตัวอย่าง

ตรวจสอบการล็อกสำหรับการบวกและการลบจำนวนธรรมชาติ:

ผลรวมใน N

สิ่งแรกคือการตรวจสอบเงื่อนไขการล็อกสำหรับองค์ประกอบต่างๆของชุดที่กำหนดซึ่งหากสังเกตเห็นว่าองค์ประกอบบางส่วนแตกตามเงื่อนไขการมีอยู่ของการล็อกจะถูกปฏิเสธโดยอัตโนมัติ

คุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับค่า A และ B ที่เป็นไปได้ทั้งหมดดังที่เห็นในการดำเนินการต่อไปนี้:

1 + 3 = 4 ∈น

5 + 7 = 12 ∈น

1,000 + 10000 = 11000 ∈น

ไม่มีค่าธรรมชาติใดที่ทำลายสภาพการล็อคดังนั้นจึงสรุปได้:

ผลรวมคือล็อคใน N

ลบใน N

หาองค์ประกอบทางธรรมชาติที่สามารถทำลายสภาพได้ A - B เป็นของชาวพื้นเมือง

การใช้งานเป็นเรื่องง่ายที่จะหาคู่ขององค์ประกอบทางธรรมชาติที่ไม่ตรงตามเงื่อนไขการล็อค ตัวอย่างเช่น:

7 - 10 = -3 ∉ก N

ด้วยวิธีนี้เราสามารถสรุปได้ว่า:

การลบไม่ได้เป็นการล็อคชุดของจำนวนธรรมชาติ

แบบฝึกหัดที่เสนอ

1- แสดงว่าคุณสมบัติล็อคถูกเติมเต็มสำหรับชุดของตัวเลขที่มีเหตุผล Q สำหรับการดำเนินการการบวกการลบการคูณและการหาร

2- อธิบายว่าเซตของจำนวนจริงเป็นล็อคของเซตของจำนวนเต็มหรือไม่

3- กำหนดว่าชุดตัวเลขใดที่สามารถล็อคตัวเลขจริงได้

4- พิสูจน์คุณสมบัติของการล็อคสำหรับชุดของจำนวนจินตภาพเกี่ยวกับการบวกการลบการคูณและการหาร

อ้างอิง

1. พาโนรามาของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์: ทางเลือกของ Bourbakist Jean Dieudonné Reverte, 1987
2. ทฤษฎีจำนวนพีชคณิต. Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez, Francisco Tomás มหาวิทยาลัยอิสระแห่งชาติเม็กซิโก พ.ศ. 2518
3. พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ใช้ Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo GutiérrezGonzález
4. โครงสร้างพีชคณิต V: ทฤษฎีร่างกาย เฮกเตอร์ A.Merklen องค์การสหรัฐอเมริกาสำนักเลขาธิการทั่วไป พ.ศ. 2522
5. บทนำสู่พีชคณิตสับเปลี่ยน Michael Francis Atiyah, IG MacDonald Reverte, 1973