คุณสมบัติที่เกี่ยวข้อง: การบวกการคูณตัวอย่างแบบฝึกหัด - คณิตศาสตร์ - 2026

สมบัติการเปลี่ยนหมู่นอกจากนี้หมายถึงตัวละครที่เชื่อมโยงการดำเนินงานนอกจากนี้ในชุดคณิตศาสตร์ต่างๆ ในนั้นองค์ประกอบสาม (หรือมากกว่า) ของชุดดังกล่าวมีความสัมพันธ์กันเรียกว่า a, b และ c ดังนั้นจึงเป็นจริงเสมอ:

a + (b + c) = (a + b) + c

ด้วยวิธีนี้จึงรับประกันได้ว่าไม่ว่าจะจัดกลุ่มเพื่อดำเนินการอย่างไรผลลัพธ์ก็เหมือนกัน

รูปที่ 1. เราใช้คุณสมบัติการเชื่อมโยงของการบวกหลาย ๆ ครั้งเมื่อทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์และพีชคณิต (ภาพวาด: freepik Composition: F. Zapata)

แต่ควรสังเกตว่าคุณสมบัติที่เชื่อมโยงไม่ตรงกันกับคุณสมบัติการสับเปลี่ยน นั่นคือเรารู้ว่าลำดับของส่วนเสริมไม่ได้เปลี่ยนผลรวมหรือลำดับของปัจจัยไม่ได้เปลี่ยนผลิตภัณฑ์ ดังนั้นสำหรับผลรวมสามารถเขียนได้ดังนี้: a + b = b + a

อย่างไรก็ตามในคุณสมบัติการเชื่อมโยงนั้นแตกต่างกันเนื่องจากลำดับขององค์ประกอบที่จะเพิ่มจะยังคงอยู่และสิ่งที่เปลี่ยนแปลงคือการดำเนินการที่ดำเนินการก่อน ซึ่งหมายความว่าการเพิ่มครั้งแรก (b + c) และการเพิ่ม a ในผลลัพธ์นี้ไม่สำคัญไปกว่าการเริ่มต้นการเพิ่ม a ด้วยในผลลัพธ์ที่เพิ่ม c

การดำเนินการที่สำคัญหลายอย่างเช่นการเพิ่มเป็นแบบเชื่อมโยง แต่ไม่ใช่ทั้งหมด ตัวอย่างเช่นในการลบจำนวนจริงจะเกิดขึ้นว่า:

ก - (ข - ค) ≠ (ก - ข) - ค

ถ้า a = 2, b = 3, c = 1 แล้ว:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

สมบัติเชิงสัมพันธ์ของการคูณ

ตามที่ได้ทำไปแล้วนอกจากนี้คุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณระบุว่า:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

ในกรณีของเซตของจำนวนจริงนั้นง่ายต่อการตรวจสอบว่าเป็นเช่นนั้นเสมอ ตัวอย่างเช่นการใช้ค่า a = 2, b = 3, c = 1 เรามี:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

จำนวนจริงเติมเต็มคุณสมบัติการเชื่อมโยงของทั้งการบวกและการคูณ ในทางกลับกันในอีกชุดหนึ่งเช่นเวกเตอร์ผลรวมจะเชื่อมโยงกัน แต่ผลคูณไขว้หรือผลคูณเวกเตอร์ไม่ใช่

การประยุกต์ใช้สมบัติการเชื่อมโยงของการคูณ

ข้อได้เปรียบของการดำเนินการที่มีการเติมเต็มคุณสมบัติเชื่อมโยงคือสามารถจัดกลุ่มได้อย่างสะดวกที่สุด ทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นมาก

ตัวอย่างเช่นสมมติว่าในห้องสมุดขนาดเล็กมีชั้นวาง 3 ชั้นชั้นละ 5 ชั้น ในแต่ละชั้นมีหนังสือ 8 เล่ม มีหนังสือทั้งหมดกี่เล่ม?

เราสามารถดำเนินการดังนี้: หนังสือทั้งหมด = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 เล่ม

หรือแบบนี้: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 เล่ม

รูปที่ 2. การประยุกต์ใช้คุณสมบัติการคูณของการเชื่อมโยงอย่างหนึ่งคือการคำนวณจำนวนหนังสือบนชั้นวางแต่ละชั้น ภาพที่สร้างโดย F. Zapata

ตัวอย่าง

- ในชุดของจำนวนธรรมชาติจำนวนเต็มเหตุผลจริงและจำนวนเชิงซ้อนคุณสมบัติการเชื่อมโยงของการบวกและการคูณจะได้รับการเติมเต็ม

รูปที่ 3 สำหรับจำนวนจริงคุณสมบัติการเชื่อมโยงของการบวกจะถูกเติมเต็ม ที่มา: Wikimedia Commons

- สำหรับพหุนามพวกเขายังใช้ในการดำเนินการเหล่านี้

- ในกรณีของการดำเนินการลบการหารและการยกกำลังคุณสมบัติที่เชื่อมโยงจะไม่ถือเป็นจำนวนจริงหรือพหุนาม

- ในกรณีของเมทริกซ์คุณสมบัติการเชื่อมโยงจะถูกเติมเต็มสำหรับการบวกและการคูณแม้ว่าในกรณีหลังจะไม่มีการเติมเต็มการสับเปลี่ยน ซึ่งหมายความว่าเมื่อพิจารณาจากเมทริกซ์ A, B และ C มันเป็นความจริงที่ว่า:

(ก x ข) x ค = ก x (ข x ค)

แต่ … ก x ข≠ข x ก

คุณสมบัติการเชื่อมโยงในเวกเตอร์

เวกเตอร์สร้างชุดที่แตกต่างจากจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน การดำเนินการที่กำหนดไว้สำหรับชุดเวกเตอร์มีความแตกต่างกันบ้าง: มีการบวกการลบและผลิตภัณฑ์สามประเภท

ผลรวมของเวกเตอร์เติมเต็มคุณสมบัติการเชื่อมโยงเช่นเดียวกับตัวเลขพหุนามและเมทริกซ์ สำหรับผลิตภัณฑ์สเกลาร์สเกลาร์โดยเวกเตอร์และกากบาทที่ทำระหว่างเวกเตอร์ตัวหลังจะไม่เติมเต็ม แต่ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ซึ่งเป็นการดำเนินการอีกแบบระหว่างเวกเตอร์จะเติมเต็มโดยคำนึงถึงสิ่งต่อไปนี้:

- ผลคูณของสเกลาร์และเวกเตอร์ให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์

- และเมื่อคูณเวกเตอร์สองตัวแบบสเกลาร์จะได้ผลลัพธ์สเกลาร์

ดังนั้นเมื่อกำหนดเวกเตอร์v , uและwและนอกจากนี้สเกลาร์λจึงเป็นไปได้ที่จะเขียน:

-ผลรวมของเวกเตอร์: v + ( u + w ) = ( v + u) + w

-Scalar product: λ ( v • u ) = (λ v ) • u

อย่างหลังเป็นไปได้เนื่องจากv • uเป็นสเกลาร์และλ vเป็นเวกเตอร์

อย่างไรก็ตาม:

v × ( u × w ) ≠ ( v × u) × w

การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยการจัดกลุ่มคำศัพท์

แอปพลิเคชั่นนี้น่าสนใจมากเพราะอย่างที่เคยบอกไปก่อนหน้านี้คุณสมบัติการเชื่อมโยงช่วยแก้ปัญหาบางอย่าง ผลรวมของ monomials เป็นแบบเชื่อมโยงและสามารถใช้สำหรับการแยกตัวประกอบเมื่อปัจจัยร่วมที่เห็นได้ชัดไม่ปรากฏขึ้นในแวบแรก

ตัวอย่างเช่นสมมติว่าคุณถูกขอให้แยกตัวประกอบ: x ³ + 2 x ² + 3 x +6 พหุนามนี้ไม่มีปัจจัยร่วม แต่มาดูกันว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากมีการจัดกลุ่มดังนี้:

วงเล็บแรกมีปัจจัยร่วมกันของขวาน² :

ประการที่สองปัจจัยร่วมคือ 3:

การออกกำลังกาย

- แบบฝึกหัด 1

อาคารเรียนมี 4 ชั้นแต่ละชั้นมีห้องเรียน 12 ห้องพร้อมโต๊ะทำงาน 30 โต๊ะ โรงเรียนมีโต๊ะทำงานทั้งหมดกี่โต๊ะ?

สารละลาย

ปัญหานี้แก้ไขได้โดยใช้คุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณมาดูกัน:

จำนวนโต๊ะทั้งหมด = 4 ชั้น x 12 ห้องเรียน / ชั้น x 30 โต๊ะ / ห้องเรียน = (4 x 12) x 30 โต๊ะ = 48 x 30 = 1440 โต๊ะ

หรือถ้าคุณต้องการ: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 โต๊ะทำงาน

- แบบฝึกหัด 2

ระบุพหุนาม:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8x ² + 3x -7

ใช้คุณสมบัติการเชื่อมโยงของการเพิ่มเพื่อค้นหา A (x) + B (x) + C (x)

สารละลาย

คุณสามารถจัดกลุ่มสองรายการแรกและเพิ่มรายการที่สามลงในผลลัพธ์:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

ทันทีที่เพิ่มพหุนาม C (x):

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

ผู้อ่านสามารถตรวจสอบว่าผลลัพธ์เหมือนกันหรือไม่หากได้รับการแก้ไขโดยตัวเลือก A (x) +

อ้างอิง

1. Jiménez, R. 2008. พีชคณิต. ศิษย์ฮอลล์.
2. คณิตศาสตร์เป็นเรื่องสนุกกฎหมายการสับเปลี่ยนการเชื่อมโยงและการกระจาย ดึงมาจาก: mathisfun.com.
3. คลังคณิตศาสตร์. คำจำกัดความของ Associative Property ดึงมาจาก: mathwarehouse.com.
4. Sciencing Associative & Commutative Property ของการบวก & การคูณ (พร้อมตัวอย่าง) ดึงมาจาก: sciencing.com.
5. วิกิพีเดีย คุณสมบัติที่เกี่ยวข้อง สืบค้นจาก: en.wikipedia.org.