ข้ามผลิตภัณฑ์: คุณสมบัติการใช้งานและแบบฝึกหัด - คณิตศาสตร์ - 2026

ผลคูณไขว้หรือผลคูณเวกเตอร์เป็นวิธีการคูณเวกเตอร์ตั้งแต่สองตัวขึ้นไป มีสามวิธีในการคูณเวกเตอร์ แต่ไม่มีการคูณในความหมายปกติของคำ หนึ่งในรูปแบบเหล่านี้เรียกว่าผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ที่สาม

ผลคูณไขว้ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าผลิตภัณฑ์ไขว้หรือผลิตภัณฑ์ชั้นนอกมีคุณสมบัติทางพีชคณิตและเรขาคณิตที่แตกต่างกัน คุณสมบัติเหล่านี้มีประโยชน์มากโดยเฉพาะในแง่ของการศึกษาฟิสิกส์

คำนิยาม

คำจำกัดความอย่างเป็นทางการของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์มีดังต่อไปนี้: ถ้า A = (a1, a2, a3) และ B = (b1, b2, b3) เป็นเวกเตอร์ดังนั้นผลคูณเวกเตอร์ของ A และ B ซึ่งเราจะแสดงเป็น AxB คือ:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

เนื่องจากสัญกรณ์ AxB จึงอ่านว่า "A กากบาท B"

ตัวอย่างวิธีการใช้ผลิตภัณฑ์ภายนอกคือถ้า A = (1, 2, 3) และ B = (3, -2, 4) เป็นเวกเตอร์จากนั้นใช้นิยามของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ที่เรามี:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8)

อีกวิธีหนึ่งในการแสดงผลคูณเวกเตอร์ได้รับจากสัญกรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์

การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สองกำหนดโดย:

ดังนั้นสูตรสำหรับผลิตภัณฑ์ไขว้ที่ระบุในคำจำกัดความสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

โดยปกติจะทำให้ง่ายขึ้นเป็นดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามดังนี้:

ที่ไหนฉัน j, k แทนเวกเตอร์ที่เป็นพื้นฐานของ R 3

ด้วยวิธีนี้ในการแสดงผลิตภัณฑ์ไขว้เรามีว่าตัวอย่างก่อนหน้านี้สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

คุณสมบัติ

คุณสมบัติบางอย่างที่ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์มีดังต่อไปนี้:

คุณสมบัติ 1

ถ้า A เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ใน R ³เรามี:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

คุณสมบัติเหล่านี้ง่ายต่อการตรวจสอบโดยใช้คำจำกัดความ ถ้า A = (a1, a2, a3) เรามี:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0

ถ้า i, j, k แทนฐานหน่วยของ R ³เราสามารถเขียนได้ดังนี้:

ผม = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

ดังนั้นเราจึงมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ตามกฎการช่วยจำวงกลมต่อไปนี้มักใช้เพื่อจดจำคุณสมบัติเหล่านี้:

ที่นั่นเราต้องสังเกตว่าเวกเตอร์ใด ๆ ที่มีตัวมันเองให้เวกเตอร์ 0 เป็นผลลัพธ์และส่วนที่เหลือของผลิตภัณฑ์สามารถรับได้ด้วยกฎต่อไปนี้:

ผลคูณระหว่างเวกเตอร์สองเวกเตอร์ต่อเนื่องกันในทิศทางตามเข็มนาฬิกาให้เวกเตอร์ถัดไป และเมื่อพิจารณาทิศทางทวนเข็มนาฬิกาผลลัพธ์จะเป็นเวกเตอร์ต่อไปนี้ที่มีเครื่องหมายลบ

ด้วยคุณสมบัติเหล่านี้เราจึงเห็นได้ว่าผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ไม่สับเปลี่ยน ตัวอย่างเช่นสังเกตว่า ixj ≠ jx i คุณสมบัติต่อไปนี้จะบอกเราว่า AxB และ BxA มีความสัมพันธ์กันโดยทั่วไปอย่างไร

คุณสมบัติ 2

ถ้า A และ B เป็นเวกเตอร์ของ R ³เรามี:

AxB = - (BxA)

สาธิต

ถ้า A = (a1, a2, a3) และ B = (b1, b2, b3) ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ภายนอกเรามี:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA)

นอกจากนี้เรายังเห็นได้ว่าผลิตภัณฑ์นี้ไม่ได้เชื่อมโยงกับตัวอย่างต่อไปนี้:

ix (ixj) = ixk = - j แต่ (ixi) xj = 0xj = 0

จากสิ่งนี้เราจะเห็นว่า:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

คุณสมบัติ 3

ถ้า A, B, C เป็นเวกเตอร์ของ R ³และ r เป็นจำนวนจริงสิ่งต่อไปนี้จะเป็นจริง:

- ขวาน (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = ขวาน (rB)

ด้วยคุณสมบัติเหล่านี้เราสามารถคำนวณผลคูณเวกเตอร์โดยใช้กฎหมายของพีชคณิตโดยที่คำสั่งนั้นได้รับการยอมรับ ตัวอย่างเช่น:

ถ้า A = (1, 2, 3) และ B = (3, -2, 4) เราสามารถเขียนซ้ำได้ในรูปแบบของเกณฑ์มาตรฐานของ R ³

ดังนั้น A = i + 2j + 3k และ B = 3i - 2j + 4k จากนั้นใช้คุณสมบัติก่อนหน้านี้:

AxB = (ผม + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- ผม) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8)

คุณสมบัติ 4 (ผลิตภัณฑ์สามจุด)

ดังที่เราได้กล่าวไปในตอนต้นมีวิธีอื่น ๆ ในการคูณเวกเตอร์นอกเหนือจากผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ หนึ่งในวิธีต่อไปนี้คือผลคูณสเกลาร์หรือผลคูณภายในซึ่งแสดงเป็น A ∙ B และคำจำกัดความคือ:

ถ้า A = (a1, a2, a3) และ B = (b1, b2, b3) ดังนั้น A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับผลิตภัณฑ์ทั้งสองเรียกว่าผลิตภัณฑ์สามสเกลาร์

ถ้า A, B และ C เป็นเวกเตอร์ของ R ³ดังนั้น A ∙ BxC = AxB ∙ C

ตัวอย่างเช่นเรามาดูกันว่าให้ A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) และ C = (- 5, 1, - 4) คุณสมบัตินี้เป็นที่พอใจ

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

ในทางกลับกัน:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

ผลิตภัณฑ์สามอย่างอื่นคือขวาน (BxC) ซึ่งเรียกว่าผลิตภัณฑ์สามเวกเตอร์

คุณสมบัติ 5 (ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์สามตัว)

ถ้า A, B และ C เป็นเวกเตอร์ของ R ³แล้ว:

ขวาน (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

ตัวอย่างเช่นเรามาดูกันว่าให้ A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) และ C = (- 5, 1, - 4) คุณสมบัตินี้เป็นที่พอใจ

จากตัวอย่างก่อนหน้านี้เรารู้ว่า BxC = (- 18, - 22, 17) ลองคำนวณ Ax (BxC):

ขวาน (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

ในทางกลับกันเราต้อง:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

ดังนั้นเราต้อง:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

คุณสมบัติ 6

มันเป็นหนึ่งในคุณสมบัติทางเรขาคณิตของเวกเตอร์ ถ้า A และ B เป็นเวกเตอร์สองตัวใน R ³และ ϴ คือมุมที่เกิดขึ้นระหว่างพวกเขาแล้ว:

--AxB-- = --A ---- B - sin (ϴ) โดยที่ - ∙ - หมายถึงโมดูลัสหรือขนาดของเวกเตอร์

การตีความทางเรขาคณิตของคุณสมบัตินี้มีดังนี้:

ให้ A = PR และ B = PQ ดังนั้นมุมที่เกิดจากเวกเตอร์ A และ B คือมุม P ของสามเหลี่ยม RQP ดังแสดงในรูปต่อไปนี้

ดังนั้นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มี PR และ PQ เป็นด้านที่อยู่ติดกันคือ --A ---- B - sin (ϴ) เนื่องจากเราสามารถใช้ --A-- เป็นฐานและความสูงของมันถูกกำหนดโดย --B - บาป (ϴ)

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่า --AxB - คือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานดังกล่าว

ตัวอย่าง

จากจุดยอดต่อไปนี้ของรูปสี่เหลี่ยม P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) และ S (5,7, -3) แสดงว่ารูปสี่เหลี่ยมนั้น คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและหาพื้นที่

สำหรับสิ่งนี้อันดับแรกเราจะกำหนดเวกเตอร์ที่กำหนดทิศทางของด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยม นี่คือ:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

อย่างที่เราเห็น A และ C มีเวกเตอร์ผู้กำกับเหมือนกันซึ่งเรามีทั้งคู่ขนานกัน สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับ B และ D ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า PQRS เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เพื่อให้มีพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เราคำนวณ BxA:

BxA = (ผม + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7 ก.

ดังนั้นพื้นที่กำลังสองจะเป็น:

--BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89

สรุปได้ว่าพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานจะเป็นรากที่สองของ 89

คุณสมบัติ 7

เวกเตอร์สองตัว A และ B ขนานกันใน R ³ถ้า AxB = 0 เท่านั้น

สาธิต

เป็นที่ชัดเจนว่าถ้า A หรือ B เป็นเวกเตอร์ว่างจะทำให้ AxB = 0 เป็นจริงเนื่องจากเวกเตอร์ศูนย์ขนานกับเวกเตอร์อื่นคุณสมบัติจึงถูกต้อง

ถ้าเวกเตอร์ทั้งสองตัวไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์แสดงว่าขนาดของมันต่างจากศูนย์ นั่นคือทั้ง --A-- ≠ 0 และ --B-- ≠ 0 ดังนั้นเราจะมี --AxB-- = 0 ถ้าและต่อเมื่อ sin (ϴ) = 0 และสิ่งนี้จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ ϴ = πหรือ ϴ = 0

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า AxB = 0 if and only if ϴ = πหรือ ϴ = 0 ซึ่งจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ทั้งสองขนานกัน

คุณสมบัติ 8

ถ้า A และ B เป็นเวกเตอร์สองตัวใน R ³ดังนั้น AxB จะตั้งฉากกับทั้ง A และ B

สาธิต

สำหรับการพิสูจน์นี้โปรดจำไว้ว่าเวกเตอร์สองตัวตั้งฉากกันถ้า A ∙ B เท่ากับศูนย์ นอกจากนี้เรารู้ว่า:

A ∙ AxB = AxA ∙ B แต่ AxA เท่ากับ 0 ดังนั้นเราจึงมี:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0

จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่า A และ AxB ตั้งฉากซึ่งกันและกัน เราต้อง:

AxB ∙ B = A ∙ BxB

เนื่องจาก BxB = 0 เรามี:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0

ดังนั้น AxB และ B จึงตั้งฉากกันและด้วยเหตุนี้คุณสมบัติจึงแสดงให้เห็น สิ่งนี้มีประโยชน์มากสำหรับเราเนื่องจากช่วยให้เรากำหนดสมการของระนาบได้

ตัวอย่าง 1

หาสมการของระนาบที่ผ่านจุด P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) และ R (2, 1, 3)

ให้ A = QR = (2 - 3.1 + 2, 3 - 2) และ B = PR = (2 - 1.1 - 3, 3 - 2) จากนั้น A = - i + 3j + k และ B = i - 2j + k ในการหาระนาบที่เกิดจากจุดทั้งสามนี้ก็เพียงพอที่จะหาเวกเตอร์ที่เป็นปกติของระนาบซึ่งก็คือ AxB

AxB = (- ผม + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

ด้วยเวกเตอร์นี้และหาจุด P (1, 3, 2) เราสามารถกำหนดสมการของระนาบได้ดังนี้:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

ดังนั้นเราจึงมีสมการของระนาบคือ 5x + 2y - z - 9 = 0

ตัวอย่าง 2

หาสมการของระนาบที่มีจุด P (4, 0, - 2) และที่ตั้งฉากกับระนาบแต่ละข้าง x - y + z = 0 และ 2x + y - 4z - 5 = 0

เมื่อรู้ว่าเวกเตอร์ปกติกับขวานระนาบ + โดย + cz + d = 0 คือ (a, b, c) เรามี (1, -1,1) เป็นเวกเตอร์ปกติของ x - y + z = 0 y ( 2,1, - 4) เป็นเวกเตอร์ปกติของ 2x + y - 4z - 5 = 0

ดังนั้นเวกเตอร์ปกติของระนาบที่ต้องการจะต้องตั้งฉากกับ (1, -1,1) และถึง (2, 1, - 4) เวกเตอร์นี้คือ:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k

จากนั้นเรามีระนาบที่ต้องการคือระนาบที่มีจุด P (4,0, - 2) และมีเวกเตอร์ (3,6,3) เป็นเวกเตอร์ปกติ

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0

การประยุกต์ใช้งาน

การคำนวณปริมาตรของขนาน

แอปพลิเคชั่นที่มีผลคูณสเกลาร์สามเท่าจะต้องสามารถคำนวณปริมาตรของเส้นคู่ขนานซึ่งขอบถูกกำหนดโดยเวกเตอร์ A, B และ C ดังแสดงในรูป:

เราสามารถอนุมานแอปพลิเคชันนี้ได้ดังนี้อย่างที่เราได้กล่าวไปแล้วเวกเตอร์ AxB เป็นเวกเตอร์ที่เป็นเรื่องปกติของระนาบของ A และ B นอกจากนี้เรายังมีเวกเตอร์ - (AxB) เป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบนั้นอีกด้วย

เราเลือกเวกเตอร์ปกติที่สร้างมุมที่เล็กที่สุดด้วยเวกเตอร์ C โดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไปให้ AxB เป็นเวกเตอร์ที่มีมุม C น้อยที่สุด

เราพบว่าทั้ง AxB และ C มีจุดเริ่มต้นเดียวกัน นอกจากนี้เราทราบว่าพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เป็นฐานของรูปขนานคือ --AxB-- ดังนั้นหากกำหนดความสูงของ parallelepiped โดย h เรามีปริมาตรที่จะเป็น:

V = --AxB - ซ.

ในทางกลับกันลองพิจารณาผลิตภัณฑ์ดอทระหว่าง AxB และ C ซึ่งสามารถอธิบายได้ดังนี้:

อย่างไรก็ตามโดยคุณสมบัติตรีโกณมิติเรามี h = --C - cos (ϴ) ดังนั้นเราจึงมี:

ด้วยวิธีนี้เรามีสิ่งนั้น:

โดยทั่วไปเราพบว่าปริมาตรของ parallelepiped ถูกกำหนดโดยค่าสัมบูรณ์ของผลิตภัณฑ์สามสเกลาร์ AxB ∙ C

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

แบบฝึกหัด 1

เมื่อพิจารณาจากคะแนน P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) และ S = (2, 6, 9) จุดเหล่านี้จะสร้างขนานกันซึ่งมีขอบ พวกเขาคือ PQ, PR และ PS กำหนดระดับเสียงของ parallelepiped ดังกล่าว

สารละลาย

ถ้าเราใช้:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

การใช้คุณสมบัติผลิตภัณฑ์สามสเกลาร์เรามี:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20)

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52

ดังนั้นเราจึงมีปริมาณของ parallelepiped ดังกล่าวคือ 52

แบบฝึกหัด 2

กำหนดปริมาตรของเส้นขนานที่มีขอบกำหนดโดย A = PQ, B = PR และ C = PS โดยที่จุด P, Q, R และ S คือ (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) และ (2, 2, 5) ตามลำดับ

สารละลาย

อันดับแรกเรามี A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1)

เราคำนวณ AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6)

จากนั้นเราคำนวณ AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าปริมาตรของขนานดังกล่าวคือ 1 ลูกบาศก์เมตร

อ้างอิง

1. Leithold, L. (1992). การคำนวณด้วยเรขาคณิตวิเคราะห์ ฮาร์ลา, SA
2. Resnick, R. , Halliday, D. , & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. เม็กซิโก: ทวีป.
3. แสนซ. (น.). เวกเตอร์แคลคูลัส 1ed. Hypotenuse
4. Spiegel, MR (2011). การวิเคราะห์เวกเตอร์ 2ed. Mc Graw Hill
5. Zill, DG, & Wright, W. (2011). การคำนวณตัวแปรหลายตัว 4ed Mc Graw Hill