หลักการของอาร์คิมิดีส: สูตรการพิสูจน์การใช้งาน - กายภาพ - 2026

Archimedes ' หลักการรัฐว่าร่างกายแช่ทั้งหมดหรือบางส่วนได้รับแรงขึ้นในแนวตั้งที่เรียกว่าแรงผลักดันซึ่ง เป็น เทียบเท่ากับน้ำหนักของปริมาณของของเหลวแทนที่ด้วยร่างกาย

วัตถุบางอย่างลอยอยู่ในน้ำบางส่วนจมและบางส่วนจมอยู่ใต้น้ำ ในการจมลูกบอลชายหาดจำเป็นต้องใช้ความพยายามเพราะทันทีที่รับรู้แรงนั้นจะพยายามส่งกลับสู่ผิวน้ำ แทนที่จะเป็นทรงกลมโลหะจมลงอย่างรวดเร็ว

รูปที่ 1. ลูกโป่งลอย: หลักการของอาร์คิมิดีสในการดำเนินการ ที่มา: Pixabay

ในทางกลับกันวัตถุที่จมอยู่ใต้น้ำดูเหมือนเบากว่าดังนั้นจึงมีแรงกระทำจากของไหลที่ต่อต้านน้ำหนัก แต่มันไม่สามารถชดเชยแรงโน้มถ่วงได้เต็มที่เสมอไป และแม้ว่าจะเห็นได้ชัดกว่าเมื่อมีน้ำ แต่ก๊าซก็สามารถสร้างแรงนี้กับวัตถุที่จมอยู่ในนั้นได้

ประวัติศาสตร์

อาร์คิมิดีสแห่งซีราคิวส์ (287-212 ปีก่อนคริสตกาล) เป็นผู้ที่ต้องค้นพบหลักการนี้โดยเป็นนักวิทยาศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งในประวัติศาสตร์ พวกเขากล่าวว่ากษัตริย์ Hiero II แห่งซีราคิวส์สั่งให้ช่างทองทำมงกุฎใหม่ให้เขาซึ่งเขาให้ทองคำจำนวนหนึ่งแก่เขา

Archimedes

เมื่อพระราชาได้รับมงกุฎใหม่มันเป็นน้ำหนักที่ถูกต้อง แต่เขาสงสัยว่าช่างทองหลอกเขาโดยการเติมเงินแทนทองคำ เขาจะพิสูจน์ได้อย่างไรโดยไม่ทำลายมงกุฎ?

Hiero เรียกอาร์คิมิดีสซึ่งมีชื่อเสียงในฐานะนักวิชาการเป็นที่รู้จักกันดีเพื่อช่วยเขาแก้ปัญหา ตำนานกล่าวว่าอาร์คิมิดีสจมอยู่ในอ่างอาบน้ำเมื่อเขาพบคำตอบและนั่นคืออารมณ์ของเขาเขาจึงวิ่งเปลือยกายไปตามถนนในเมืองซีราคิวส์เพื่อค้นหากษัตริย์และตะโกนว่า "ยูเรก้า" ซึ่งแปลว่า "ฉันพบเขาแล้ว"

อาร์คิมิดีสพบอะไร เมื่ออาบน้ำระดับน้ำในอ่างอาบน้ำจะสูงขึ้นเมื่อเขาเข้าไปซึ่งหมายความว่าร่างกายที่จมอยู่ใต้น้ำจะแทนที่ของเหลวในปริมาณหนึ่ง

และถ้าเขาจุ่มมงกุฎลงในน้ำสิ่งนี้จะต้องแทนที่น้ำปริมาณหนึ่งด้วยถ้ามงกุฎทำด้วยทองคำและอีกอันหนึ่งถ้าทำด้วยโลหะผสมกับเงิน

สูตร

แรงยกที่อ้างถึงโดยหลักการของอาร์คิมีดีสเรียกว่าแรงขับแบบสถิตหรือแรงลอยตัวและตามที่เราได้กล่าวไปแล้วมันจะเท่ากับน้ำหนักของปริมาตรของของเหลวที่ถูกเคลื่อนย้ายโดยร่างกายเมื่อจมอยู่ใต้น้ำ

ปริมาตรที่ถูกแทนที่จะเท่ากับปริมาตรของวัตถุที่จมอยู่ใต้น้ำไม่ว่าทั้งหมดหรือบางส่วน เนื่องจากน้ำหนักของสิ่งใด ๆ คือ mg และมวลของของเหลวคือความหนาแน่น x ปริมาตรแสดงถึงขนาดของแรงผลักเป็น B เราจึงมี:

B = m _{ของไหล} xg = ความหนาแน่นของของเหลว x ปริมาตรที่จมอยู่ใต้น้ำ x แรงโน้มถ่วง

B = ρ _{ของไหล} x V _{จมอยู่ใต้น้ำ} xg

โดยที่อักษรกรีกρ ("rho") หมายถึงความหนาแน่น

น้ำหนักที่ชัดเจน

น้ำหนักของวัตถุคำนวณโดยใช้การแสดงออกของมิลลิกรัมที่คุ้นเคย แต่สิ่งต่างๆจะรู้สึกเบาลงเมื่อจมอยู่ในน้ำ

น้ำหนักที่ชัดเจนของวัตถุคือสิ่งที่มีอยู่เมื่อแช่อยู่ในน้ำหรือของเหลวอื่นและเมื่อรู้ว่ามันสามารถหาปริมาตรของวัตถุที่ผิดปกติเช่นมงกุฎของกษัตริย์ Hiero ได้ดังที่จะเห็นด้านล่าง

ในการทำเช่นนี้มันจะจมอยู่ในน้ำอย่างสมบูรณ์และติดอยู่กับสายที่ติดกับเครื่องวัดกระแสไฟฟ้าซึ่งเป็นเครื่องมือที่ติดตั้งสปริงที่ใช้ในการวัดแรง ยิ่งวัตถุมีน้ำหนักมากเท่าใดการยืดตัวของสปริงก็จะยิ่งมากขึ้นซึ่งวัดจากมาตราส่วนที่ให้มาในอุปกรณ์

รูปที่ 2. น้ำหนักที่ชัดเจนของวัตถุที่จมอยู่ใต้น้ำ ที่มา: จัดทำโดย F. Zapata

ใช้กฎข้อที่สองของนิวตันโดยรู้ว่าวัตถุอยู่นิ่ง:

ΣF _y = B + T - W = 0

น้ำหนักที่ชัดเจน W _aเท่ากับความตึงในสตริง T:

เนื่องจากแรงขับจะชดเชยน้ำหนักเนื่องจากส่วนของของเหลวอยู่นิ่งแล้ว:

จากนิพจน์นี้แรงขับเกิดจากความแตกต่างของความดันระหว่างส่วนหน้าส่วนบนของกระบอกสูบและส่วนหน้าส่วนล่าง ตั้งแต่ W = mg = ρของไหล V. g มันต้อง:

ซึ่งเป็นนิพจน์สำหรับแรงผลักที่กล่าวถึงในส่วนก่อนหน้า

การประยุกต์ใช้งาน

หลักการของอาร์คิมิดีสปรากฏในการใช้งานจริงหลายอย่างซึ่งเราสามารถตั้งชื่อ:

- บอลลูนลอยฟ้า ซึ่งเนื่องจากความหนาแน่นเฉลี่ยน้อยกว่าอากาศโดยรอบจึงลอยเข้ามาเนื่องจากแรงผลัก

- เรือ ตัวเรือหนักกว่าน้ำ แต่ถ้าพิจารณาทั้งตัวเรือบวกกับอากาศภายในอัตราส่วนระหว่างมวลรวมและปริมาตรจะน้อยกว่าน้ำและนั่นคือเหตุผลว่าทำไมเรือจึงลอยได้

- เสื้อชูชีพ. ด้วยวัสดุที่มีน้ำหนักเบาและมีรูพรุนจึงสามารถลอยน้ำได้เนื่องจากอัตราส่วนมวลต่อปริมาตรต่ำกว่าน้ำ

- ลูกลอยปิดก๊อกเติมของถังเก็บน้ำ เป็นทรงกลมบรรจุอากาศขนาดใหญ่ที่ลอยอยู่ด้านบนของน้ำซึ่งทำให้เกิดแรงผลัก - คูณด้วยเอฟเฟกต์คันโยก - เพื่อปิดฝาของก๊อกเติมของถังน้ำเมื่อถึงระดับ รวม.

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

ตำนานเล่าว่ากษัตริย์ Hiero มอบทองคำให้กับช่างทองจำนวนหนึ่งเพื่อทำมงกุฎ แต่พระมหากษัตริย์ที่ไม่ไว้วางใจคิดว่าช่างทองอาจโกงโดยวางโลหะที่มีค่าน้อยกว่าทองไว้ในมงกุฎ แต่เขาจะรู้ได้อย่างไรโดยไม่ทำลายมงกุฎ?

กษัตริย์มอบปัญหาให้กับอาร์คิมิดีสและสิ่งนี้เพื่อหาทางแก้ปัญหาได้ค้นพบหลักการที่มีชื่อเสียงของเขา

สมมติว่าโคโรนามีน้ำหนัก 2.10 kg-f ในอากาศและ 1.95 kg-f เมื่อจมอยู่ในน้ำอย่างสมบูรณ์ ในกรณีนี้มีหรือไม่มีการหลอกลวง?

รูปที่ 5. แผนภาพร่างกายอิสระของมงกุฎกษัตริย์เฮรอน ที่มา: จัดทำโดย F. Zapata

แผนภาพของกองกำลังแสดงในรูปด้านบน แรงเหล่านี้ ได้แก่ น้ำหนักPของเม็ดมะยมแรงผลักEและความตึงTของเชือกที่ห้อยลงมาจากเครื่องชั่ง

เป็นที่ทราบกันดีว่า P = 2.10 kg-f และ T = 1.95 kg-f ก็ยังคงกำหนดขนาดของแรงผลักE :

ในทางกลับกันตามหลักการของอาร์คิมิดีสแรงผลัก E เทียบเท่ากับน้ำหนักของน้ำที่เคลื่อนออกจากช่องว่างที่มงกุฎครอบครองนั่นคือความหนาแน่นของน้ำคูณกับปริมาตรของมงกุฎเนื่องจากความเร่งของแรงโน้มถ่วง:

จากที่สามารถคำนวณปริมาตรของมงกุฎได้:

ความหนาแน่นของเม็ดมะยมคือผลหารระหว่างมวลของเม็ดมะยมจากน้ำกับปริมาตร:

ความหนาแน่นของทองคำบริสุทธิ์สามารถกำหนดได้โดยขั้นตอนที่คล้ายคลึงกันและผลลัพธ์คือ 19300 kg / m ^ 3

เมื่อเปรียบเทียบความหนาแน่นทั้งสองจะเห็นได้ว่ามงกุฎไม่ใช่ทองคำบริสุทธิ์!

ตัวอย่าง 2

จากข้อมูลและผลลัพธ์ของตัวอย่างที่ 1 เป็นไปได้ที่จะระบุได้ว่าช่างทองขโมยทองคำไปเท่าใดในกรณีที่ส่วนหนึ่งของทองคำถูกแทนที่ด้วยเงินซึ่งมีความหนาแน่น 10,500 กก. / ม. ^ 3

เราจะเรียกความหนาแน่นของมงกุฎρcρoความหนาแน่นของทองและρ _pความหนาแน่นของเงิน

มวลรวมของมงกุฎคือ:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

ปริมาตรทั้งหมดของมงกุฎคือปริมาตรของเงินบวกกับปริมาตรของทองคำ:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

การแทนที่ในสมการสำหรับมวลคือ:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p ) Vo = (ρc - ρ _p ) V

นั่นคือปริมาตรของทอง Vo ที่มีมงกุฎของปริมาตรรวม V คือ:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p ) / (ρo - ρ _p ) = …

… = 0.00015 ม. ^ 3 (14000 - 10500) / (19300 - 10500) = 0.00005966 ม. ^ 3

ในการหาน้ำหนักทองที่มงกุฎมีเราคูณ Vo ด้วยความหนาแน่นของทองคำ:

Mo = 19300 * 0.00005966 = 1.1514 กก

เนื่องจากมงกุฎมีมวล 2.10 กิโลกรัมเราจึงทราบว่าช่างทองขโมยทอง 0.94858 กิโลกรัมและแทนที่ด้วยเงิน

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

แบบฝึกหัด 1

บอลลูนฮีเลียมขนาดใหญ่สามารถจับคนได้อย่างสมดุล (โดยไม่ต้องขึ้นหรือลง)

สมมติว่าน้ำหนักคนรวมตะกร้าเชือกและบอลลูน 70 กก. ปริมาณฮีเลียมที่จำเป็นสำหรับสิ่งนี้คืออะไร? บอลลูนควรใหญ่แค่ไหน?

สารละลาย

เราจะสันนิษฐานว่าแรงขับเกิดจากปริมาตรของฮีเลียมเป็นหลักและแรงผลักของส่วนประกอบที่เหลือนั้นน้อยมากเมื่อเทียบกับฮีเลียมที่มีปริมาตรมากกว่ามาก

ในกรณีนี้จะต้องใช้ฮีเลียมที่สามารถรับน้ำหนักได้ 70 กก. + น้ำหนักของฮีเลียม

รูปที่ 6 แผนภาพร่างกายอิสระของบอลลูนที่เติมฮีเลียม ที่มา: จัดทำโดย F. Zapata

แรงขับคือผลคูณของปริมาตรของฮีเลียมคูณด้วยความหนาแน่นของฮีเลียมและความเร่งของแรงโน้มถ่วง แรงผลักนั้นจะต้องหักล้างน้ำหนักของฮีเลียมบวกกับน้ำหนักของส่วนที่เหลือทั้งหมด

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

ซึ่งสรุปได้ว่า V = M / (Da - Dh)

V = 70 กก. / (1.25 - 0.18) กก. / ม. ^ 3 = 65.4 ม. ^ 3

นั่นคือต้องใช้ฮีเลียม 65.4 m ^ 3 ที่ความดันบรรยากาศเพื่อที่จะยกได้

ถ้าเราสมมติว่าเป็นโลกทรงกลมเราสามารถหารัศมีได้จากความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรและรัศมีของทรงกลม:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

จากจุดที่ R = 2.49 ม. กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือต้องใช้บอลลูนขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง 5 เมตรที่เต็มไปด้วยฮีเลียม

แบบฝึกหัด 2

วัสดุที่มีความหนาแน่นต่ำกว่าที่ลอยอยู่ในน้ำ สมมติว่าคุณมีสไตรีน (ไม้ก๊อกสีขาว) ไม้และก้อนน้ำแข็ง ความหนาแน่นเป็นกิโลกรัมต่อลูกบาศก์เมตรตามลำดับ: 20, 450 และ 915

จงหาเศษส่วนของปริมาตรทั้งหมดที่อยู่นอกน้ำและสูงเพียงใดที่อยู่เหนือผิวน้ำโดยใช้ความหนาแน่นของส่วนหลัง 1,000 กิโลกรัมต่อลูกบาศก์เมตร

สารละลาย

การลอยตัวเกิดขึ้นเมื่อน้ำหนักของร่างกายเท่ากับแรงผลักเนื่องจากน้ำ:

E = มก

รูปที่ 7. แผนภาพอิสระของวัตถุที่จมอยู่ใต้น้ำบางส่วน ที่มา: จัดทำโดย F. Zapata

น้ำหนักคือความหนาแน่นของร่างกาย Dc คูณด้วยปริมาตร V และด้วยความเร่งของแรงโน้มถ่วง g

แรงขับคือน้ำหนักของของเหลวที่เคลื่อนย้ายตามหลักการของอาร์คิมีดีสและคำนวณโดยการคูณความหนาแน่น D ของน้ำด้วยปริมาตรที่จมอยู่ใต้น้ำ V 'และโดยการเร่งของแรงโน้มถ่วง

นั่นคือ:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนปริมาตรที่จมอยู่ใต้น้ำจะเท่ากับผลหารระหว่างความหนาแน่นของร่างกายและความหนาแน่นของน้ำ

นั่นคือเศษส่วนปริมาตรที่โดดเด่น (V '' / V) คือ

ถ้า h คือความสูงที่ยื่นออกมาและ L ที่ด้านข้างของลูกบาศก์สามารถเขียนเศษส่วนปริมาตรเป็น

ดังนั้นผลลัพธ์สำหรับวัสดุที่สั่งซื้อคือ:

โพลีสไตรีน (ไม้ก๊อกสีขาว):

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% จากน้ำ

ไม้:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) = 55% จากน้ำ

น้ำแข็ง:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) = 8.5% จากน้ำ

อ้างอิง

1. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. เล่มที่ 1. Mc Graw Hill. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011. กลศาสตร์ของไหล. พื้นฐานและการใช้งาน ฉบับพิมพ์ครั้งแรก. McGraw Hill
3. Figueroa, D. (2005). ซีรี่ส์: ฟิสิกส์สำหรับวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม เล่ม 4. ของไหลและอุณหพลศาสตร์. แก้ไขโดย Douglas Figueroa (USB) 1 - 42.
4. Giles, R. 2010. กลศาสตร์ของของเหลวและระบบไฮดรอลิกส์. McGraw Hill
5. Rex, A. 2011. ความรู้พื้นฐานทางฟิสิกส์. เพียร์สัน 239-263.
6. Tippens, P. 2011. Physics: Concepts and Applications. ฉบับที่ 7 McGraw Hill