รูปหลายเหลี่ยมนูน: นิยามองค์ประกอบคุณสมบัติตัวอย่าง - คณิตศาสตร์ - 2026

รูปหลายเหลี่ยมนูนเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีอยู่ในเครื่องบินที่มีลักษณะเพราะมันมีเส้นทแยงมุมทั้งหมดในการตกแต่งภายในและมุมของวัดน้อยกว่า 180 องศา คุณสมบัติของมันมีดังต่อไปนี้:

1) ประกอบด้วย n ส่วนที่ต่อเนื่องกันโดยที่กลุ่มสุดท้ายเข้าร่วมกลุ่มแรก 2) ไม่มีส่วนใดที่ตัดกันในลักษณะที่จะกำหนดขอบเขตระนาบในพื้นที่ด้านในและด้านนอก 3) แต่ละมุมในพื้นที่ภายในมีค่าน้อยกว่ามุมระนาบอย่างเคร่งครัด

รูปที่ 1. รูปหลายเหลี่ยม 1, 2 และ 6 มีลักษณะนูน (จัดทำโดย Ricardo Pérez).

วิธีง่ายๆในการตรวจสอบว่ารูปหลายเหลี่ยมนูนหรือไม่คือการพิจารณาเส้นที่พาดผ่านด้านใดด้านหนึ่งซึ่งกำหนดระนาบครึ่งวงกลมสองเส้น ถ้าในแต่ละเส้นที่ผ่านด้านหนึ่งด้านอื่น ๆ ของรูปหลายเหลี่ยมอยู่ในระนาบครึ่งเดียวกันแสดงว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูน

องค์ประกอบของรูปหลายเหลี่ยม

ทุกรูปหลายเหลี่ยมประกอบด้วยองค์ประกอบต่อไปนี้:

- ด้าน

- จุดยอด

ด้านข้างคือแต่ละส่วนที่ต่อเนื่องกันซึ่งประกอบเป็นรูปหลายเหลี่ยม ในรูปหลายเหลี่ยมไม่มีส่วนใดที่ประกอบขึ้นเป็นส่วนที่สามารถมีปลายเปิดได้ในกรณีนั้นจะมีเส้นหลายเหลี่ยม แต่ไม่ใช่รูปหลายเหลี่ยม

จุดยอดคือจุดเชื่อมต่อของสองส่วนที่ติดต่อกัน ในรูปหลายเหลี่ยมจำนวนจุดยอดจะเท่ากับจำนวนด้านเสมอ

หากสองด้านหรือส่วนของรูปหลายเหลี่ยมตัดกันแสดงว่าคุณมีรูปหลายเหลี่ยมไขว้กัน จุดผ่านแดนไม่ถือเป็นจุดยอด รูปหลายเหลี่ยมไขว้คือรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่นูน รูปหลายเหลี่ยมดาวเป็นรูปหลายเหลี่ยมไขว้ดังนั้นจึงไม่นูน

เมื่อรูปหลายเหลี่ยมมีความยาวเท่ากันทุกด้านเราก็จะมีรูปหลายเหลี่ยมปกติ รูปหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมดนูน

รูปหลายเหลี่ยมนูนและไม่นูน

รูปที่ 1 แสดงรูปหลายเหลี่ยมหลายรูปบางรูปนูนและบางรูปไม่นูน มาวิเคราะห์กัน:

หมายเลข 1 คือรูปหลายเหลี่ยมสามด้าน (สามเหลี่ยม) และมุมภายในทั้งหมดมีค่าน้อยกว่า180ºดังนั้นจึงเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูน รูปสามเหลี่ยมทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูน

หมายเลข 2 คือรูปหลายเหลี่ยมสี่ด้าน (รูปสี่เหลี่ยมด้านเท่า) ที่ไม่มีด้านใดตัดกันและแต่ละมุมภายในมีค่าน้อยกว่า180º จากนั้นเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนที่มีสี่ด้าน (รูปสี่เหลี่ยมนูน)

ในทางกลับกันเลข 3 เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีสี่ด้าน แต่มุมภายในด้านหนึ่งมากกว่า180ºจึงไม่เป็นไปตามเงื่อนไขความนูน นั่นคือมันเป็นรูปหลายเหลี่ยมสี่ด้านที่ไม่นูนเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมเว้า

หมายเลข 4 คือรูปหลายเหลี่ยมที่มีสี่ส่วน (ด้านข้าง) ซึ่งสองส่วนตัดกัน มุมภายในทั้งสี่มีค่าน้อยกว่า180º แต่เนื่องจากทั้งสองด้านตัดกันจึงเป็นรูปหลายเหลี่ยมไขว้ที่ไม่นูน (รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนไขว้กัน)

อีกกรณีหนึ่งคือเลข 5 นี่คือรูปหลายเหลี่ยมห้าเหลี่ยม แต่เนื่องจากมุมภายในของมันมีค่ามากกว่า180ºเราจึงมีรูปหลายเหลี่ยมเว้า

สุดท้ายหมายเลข 6 ซึ่งมีห้าด้านมีมุมภายในทั้งหมดน้อยกว่า180ºดังนั้นจึงเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนที่มีห้าด้าน (ห้าเหลี่ยมนูน)

คุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมนูน

1- รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ไขว้กันหรือรูปหลายเหลี่ยมธรรมดาจะแบ่งระนาบที่มีมันออกเป็นสองส่วน พื้นที่ด้านในและด้านนอกรูปหลายเหลี่ยมเป็นเส้นขอบระหว่างสองภูมิภาค

แต่ถ้ารูปหลายเหลี่ยมนูนเพิ่มเติมเราก็จะมีพื้นที่ภายในที่เชื่อมต่อกันอย่างเรียบง่ายซึ่งหมายความว่าการเอาสองจุดใด ๆ จากพื้นที่ภายในมันสามารถรวมเข้ากับส่วนที่เป็นของพื้นที่ภายในทั้งหมดได้เสมอ

รูปที่ 2 รูปหลายเหลี่ยมนูนเชื่อมต่อกันอย่างเรียบง่ายในขณะที่รูปหลายเหลี่ยมเว้าไม่ได้เชื่อมต่อกัน (จัดทำโดย Ricardo Pérez).

2- ทุกมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูนมีค่าน้อยกว่ามุมระนาบ (180º)

3- จุดภายในทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมนูนมักจะเป็นหนึ่งในกึ่งระนาบที่กำหนดโดยเส้นที่ผ่านจุดยอดสองจุดติดต่อกัน

4- ในรูปหลายเหลี่ยมนูนเส้นทแยงมุมทั้งหมดจะรวมอยู่ในพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมด้านใน

5- จุดภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูนเป็นของเซกเตอร์เชิงมุมนูนที่กำหนดโดยแต่ละมุมภายใน

6- ทุกรูปหลายเหลี่ยมที่จุดยอดทั้งหมดอยู่บนเส้นรอบวงเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนซึ่งเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมแบบวน

7- รูปหลายเหลี่ยมแบบวัฏจักรทุกรูปจะนูน แต่รูปหลายเหลี่ยมนูนทุกรูปไม่เป็นวัฏจักร

8- รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ไขว้กัน (รูปหลายเหลี่ยมธรรมดา) ที่มีด้านทั้งหมดของความยาวเท่ากันจะนูนและเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมปกติ

เส้นทแยงมุมและมุมในรูปหลายเหลี่ยมนูน

9- จำนวนทั้งหมด N ของเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่มี n ด้านถูกกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้:

N = ½ n (n - 3)

การพิสูจน์: ในรูปหลายเหลี่ยมนูนที่มี n ด้านของแต่ละจุดยอด n - 3 เส้นทแยงมุมถูกดึงออกมาเนื่องจากจุดยอดนั้นเองและสองอันที่อยู่ติดกันจะถูกแยกออก เนื่องจากมีจุดยอด n จุดจึงมีการวาดเส้นทแยงมุม n (n - 2) ทั้งหมด แต่เส้นทแยงมุมแต่ละเส้นถูกวาดสองครั้งดังนั้นจำนวนเส้นทแยงมุม (โดยไม่มีการทำซ้ำ) จึงเป็น n (n-2) / 2

10- ผลรวม S ของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่มี n ด้านถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

S = (n - 2) 180º

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

รูปหกเหลี่ยมไซคลิกเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีหกด้านและจุดยอดหกจุด แต่จุดยอดทั้งหมดอยู่บนเส้นรอบวงเดียวกัน รูปหลายเหลี่ยมทุกวงจะนูน

หกเหลี่ยมไซคลิก.

ตัวอย่าง 2

กำหนดค่าของมุมภายในของ enegon ปกติ

วิธีแก้ไข: enegon เป็นรูปหลายเหลี่ยม 9 เหลี่ยม แต่ถ้าเป็นปกติด้านข้างและมุมทั้งหมดจะเท่ากัน

ผลรวมของมุมภายในทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยม 9 ด้านคือ:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

แต่มีมุมภายใน 9 มุมที่มีการวัดเท่ากันαดังนั้นต้องเติมเต็มความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

S = 9 α = 1260º

จากนั้นตามมาที่การวัดαของแต่ละมุมภายในของ enegon ปกติคือ:

α = 1260º / 9 = 140º