การเรียงลำดับโดยไม่ต้องทำซ้ำ: สูตรการพิสูจน์แบบฝึกหัดตัวอย่าง - ดูดาส - 2026

การเปลี่ยนแปลงโดยไม่มีการทำซ้ำขององค์ประกอบ n คือกลุ่มต่างๆขององค์ประกอบที่แตกต่างกันซึ่งสามารถหาได้จากการไม่ทำซ้ำองค์ประกอบใด ๆ โดยจะเปลี่ยนลำดับการจัดวางองค์ประกอบเท่านั้น

หากต้องการทราบจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนโดยไม่ต้องทำซ้ำจะใช้สูตรต่อไปนี้:

Pn = n!

ที่ขยายจะเป็น Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) … (2) (1)

ดังนั้นในตัวอย่างการปฏิบัติก่อนหน้านี้จะใช้ดังนี้:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 ตัวเลข 4 หลักที่แตกต่างกัน

เหล่านี้เป็นอาร์เรย์ทั้งหมด 24 อาร์เรย์: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642

ดังจะเห็นได้ว่าไม่มีการทำซ้ำในกรณีใด ๆ เป็นตัวเลขที่แตกต่างกัน 24 ตัว

การสาธิตและสูตร

24 การจัดเรียงของ 4 ตัวเลขที่แตกต่างกัน

เราจะวิเคราะห์โดยเฉพาะเจาะจงมากขึ้นตัวอย่างของการจัดเรียง 4 หลัก 24 แบบที่แตกต่างกันซึ่งสามารถสร้างขึ้นด้วยตัวเลขของตัวเลข 2468 จำนวนการจัดเรียง (24) สามารถทราบได้ดังนี้:

คุณมี 4 ตัวเลือกในการเลือกหลักแรกซึ่งจะเหลือ 3 ตัวเลือกเพื่อเลือกตัวที่สอง มีการตั้งค่าตัวเลขสองหลักแล้วและยังคงมี 2 ตัวเลือกสำหรับการเลือกหลักที่สาม ตัวเลขสุดท้ายมีเพียงตัวเลือกเดียวเท่านั้น

ดังนั้นจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่แสดงโดย P4 จึงได้มาจากผลคูณของตัวเลือกการเลือกในแต่ละตำแหน่ง:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 ตัวเลข 4 หลักที่แตกต่างกัน

โดยทั่วไปจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนหรือการจัดเรียงต่างๆที่สามารถดำเนินการกับองค์ประกอบ n ทั้งหมดของชุดที่กำหนดคือ:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) … (2) (1)

นิพจน์ n! เรียกว่า n แฟกทอเรียลและหมายถึงผลคูณของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่อยู่ระหว่างจำนวน n และหมายเลขหนึ่งรวมทั้งทั้งคู่

12 การจัดเรียงของ 2 ตัวเลขที่แตกต่างกัน

ตอนนี้สมมติว่าคุณต้องการทราบจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนหรือตัวเลขสองหลักที่สามารถสร้างขึ้นด้วยตัวเลข 2468

ซึ่งจะรวมทั้งหมด 12 ข้อ: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

คุณมี 4 ตัวเลือกในการเลือกหลักแรกซึ่งจะปล่อยให้ 3 หลักเพื่อเลือกตัวที่สอง ดังนั้นจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของตัวเลข 4 หลักที่นำสองโดยสองซึ่งแสดงด้วย 4P2 ได้มาจากผลคูณของตัวเลือกการเลือกในแต่ละตำแหน่ง:

4P2 = 4 * 3 = 12 ตัวเลข 2 หลักที่แตกต่างกัน

โดยทั่วไปจำนวนของการเรียงสับเปลี่ยนหรือการจัดเรียงต่างๆที่สามารถดำเนินการกับองค์ประกอบ r ของ n ทั้งหมดในชุดที่กำหนดคือ:

nPr = n (n - 1) (n - 2) …

นิพจน์ด้านบนถูกตัดทอนก่อนเล่น n! เพื่อให้ n! จากนั้นเราควรเขียน:

น! = n (n - 1) (n - 2) … (n - r) … (2) (1)

ปัจจัยที่เราเพิ่มในทางกลับกันแสดงถึงแฟกทอเรียล:

(n - ร) … (2) (1) = (n - r)!

ด้วยประการฉะนี้

น! = n (n - 1) (n - 2) … (n - r) … (2) (1) = n (n - 1) (n - 2) … (n - r)!

จากที่นี่

น! / (น - ร)! = n (n - 1) (n - 2) … = nPr

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

ตัวอักษร 5 ตัวที่แตกต่างกันสามารถสร้างด้วยตัวอักษรของคำว่า KEY ได้อย่างไร?

เราต้องการค้นหาจำนวนตัวอักษรที่แตกต่างกันของตัวอักษร 5 ตัวที่สามารถสร้างด้วยตัวอักษร 5 ตัวของคำว่า KEY นั่นคือจำนวนอาร์เรย์ 5 ตัวอักษรที่เกี่ยวข้องกับตัวอักษรทั้งหมดที่มีอยู่ในคำว่า KEY

N °ของ 5 คำอักษร = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 ตัวอักษร 5 ตัวอักษรผสมกัน

สิ่งเหล่านี้จะเป็น: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC … รวมตัวอักษรที่แตกต่างกันมากถึง 120 แบบ

ตัวอย่าง 2

คุณมีลูกบอลที่มีหมายเลข 15 ลูกและคุณต้องการทราบว่ากลุ่ม 3 ลูกที่แตกต่างกันสามารถสร้างด้วยลูกบอล 15 หมายเลขได้อย่างไร?

คุณต้องการหาจำนวนกลุ่ม 3 ลูกที่สามารถสร้างได้ด้วยลูกบอล 15 หมายเลข

N °ของกลุ่ม 3 ลูก = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

N °ของกลุ่ม 3 ลูก = 15 * 14 * 13 = 2730 กลุ่ม 3 ลูก

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

แบบฝึกหัด 1

ร้านขายผลไม้มีชั้นวางนิทรรศการซึ่งประกอบด้วยแถวของห้องโถงทางเข้าอาคาร ในหนึ่งวันพ่อพันธุ์แม่พันธุ์จะขายส้มกล้วยสับปะรดลูกแพร์และแอปเปิ้ล

ก) คุณต้องสั่งซื้อชั้นวางนิทรรศการกี่วิธี?

b) คุณต้องสั่งขาตั้งกี่วิธีที่แตกต่างกันหากนอกเหนือจากผลไม้ที่กล่าวถึง (5) ที่คุณได้รับในวันนั้น ได้แก่ มะม่วงลูกพีชสตรอเบอร์รี่และองุ่น (4)?

a) เราต้องการค้นหาจำนวนวิธีต่างๆในการสั่งซื้อผลไม้ทั้งหมดในแถวที่แสดง นั่นคือจำนวนการจัดเตรียมผลไม้ 5 รายการที่เกี่ยวข้องกับผลไม้ทั้งหมดที่ขายได้ในวันนั้น

N °ของการจัดขาตั้ง = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N °ของการจัดขาตั้ง = 120 วิธีในการนำเสนอขาตั้ง

b) เราต้องการค้นหาจำนวนวิธีต่างๆในการสั่งซื้อผลไม้ทั้งหมดในแถวที่แสดงหากมีการเพิ่ม 4 รายการเพิ่มเติม นั่นคือจำนวนการจัดเตรียมผลไม้ 9 รายการที่เกี่ยวข้องกับผลไม้ทั้งหมดที่ขายได้ในวันนั้น

N °ของการจัดขาตั้ง = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N °ของการจัดขาตั้ง = 362,880 วิธีในการนำเสนอขาตั้ง

แบบฝึกหัด 2

ร้านขายอาหารเล็ก ๆ มีที่ดินมีพื้นที่เพียงพอสำหรับจอดรถได้ 6 คัน

ก) สามารถเลือกวิธีการสั่งซื้อรถในที่ดินได้กี่วิธี?

b) สมมติว่าได้ที่ดินที่ติดกันมาซึ่งมีขนาดที่อนุญาตให้จอดรถได้ 10 คันตอนนี้สามารถเลือกรูปแบบการจัดเตรียมยานพาหนะได้กี่แบบ?

ก) เราต้องการค้นหาจำนวนวิธีต่างๆในการสั่งซื้อยานพาหนะทั้ง 6 คันที่สามารถอยู่ในที่ดินได้

จำนวนรถ 6 คัน = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

จำนวนการจัดเตรียมรถ 6 คัน = 720 วิธีที่แตกต่างกันในการสั่งซื้อรถ 6 คันในที่ดิน

b) เราต้องการหาจำนวนวิธีต่างๆในการสั่งซื้อรถ 10 คันที่สามารถอยู่ในที่ดินได้หลังจากการขยายพื้นที่

N °ของการจัดเตรียมของ 10 คัน = P10 = 10!

จำนวนการจัดรถ = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

จำนวนการจัดเตรียมรถ 10 คัน = 3,628,800 วิธีที่แตกต่างกันในการสั่งซื้อรถ 10 คันในที่ดิน

แบบฝึกหัด 3

ร้านดอกไม้มีดอกไม้ 6 สีที่แตกต่างกันเพื่อทำธงดอกไม้ของประเทศที่มีเพียง 3 สี หากทราบว่าลำดับของสีมีความสำคัญในธง

ก) ธง 3 สีที่มีให้เลือก 6 สีมีกี่แบบ?

b) ผู้ขายซื้อดอกไม้เพิ่มอีก 2 สีใน 6 สีที่เขามีอยู่แล้วตอนนี้สามารถทำธง 3 สีได้กี่แบบ?

c) เนื่องจากคุณมี 8 สีคุณจึงตัดสินใจที่จะขยายช่วงของธงของคุณคุณสามารถสร้างธง 4 สีได้กี่แบบ?

ง) 2 สีมีกี่สี?

a) เราต้องการค้นหาจำนวนธง 3 สีที่แตกต่างกันซึ่งสามารถทำได้โดยเลือกจาก 6 สีที่มี

N °ของธง 3 สี = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

N °ของธง 3 สี = 6 * 5 * 4 = 120 ธง

b) คุณต้องการค้นหาจำนวนธง 3 สีที่แตกต่างกันซึ่งสามารถทำได้โดยเลือกจากสีที่มีให้เลือก 8 สี

N °ของธง 3 สี = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

N °ของธง 3 สี = 8 * 7 * 6 = 336 ธง

c) ต้องคำนวณจำนวนธง 4 สีที่แตกต่างกันซึ่งสามารถทำได้โดยการเลือกจากสีที่มีให้เลือก 8 สี

จำนวนธง 4 สี = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

จำนวนธง 4 สี = 8 * 7 * 6 * 5 = ธง 1680

d) คุณต้องการกำหนดจำนวนธง 2 สีที่แตกต่างกันซึ่งสามารถทำได้โดยเลือกจากสีที่มีให้เลือก 8 สี

N °ของธง 2 สี = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

จำนวนธง 2 สี = 8 * 7 = 56 ธง

อ้างอิง

1. โบอาดา, A. (2017). การใช้การเปลี่ยนรูปแบบซ้ำ ๆ เป็นการสอนการทดลอง นิตยสาร Vivat Academia กู้คืนจาก researchgate.net.
2. คานาโวส, G. (1988). ความน่าจะเป็นและสถิติ การใช้งานและวิธีการ McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. แก้ว, G .; สแตนลีย์เจ. (2539). วิธีการทางสถิติไม่ได้ใช้กับสังคมศาสตร์ Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. สปีเกล, ม.; สตีเฟนส์, แอล. (2008). สถิติ. ฉบับที่สี่ McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. วอลโพล, R .; ไมเออร์, R .; ไมเออร์ส.; เจ้าคะ. (2007) ความน่าจะเป็นและสถิติสำหรับวิศวกรและนักวิทยาศาสตร์ แปดเอ็ด Pearson Education International Prentice Hall
6. เว็บสเตอร์, A. (2000). สถิติที่ใช้กับธุรกิจและเศรษฐกิจ ฉบับที่สาม McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019) การเรียงสับเปลี่ยน สืบค้นจาก en.wikipedia.org.