การเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม: การพิสูจน์ตัวอย่างแบบฝึกหัดที่แก้ไขได้ - ดูดาส - 2026

การเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลมคือการจัดกลุ่มองค์ประกอบทั้งหมดของเซตประเภทต่างๆเมื่อ จะ จัดเรียง เป็น วงกลม ในการเรียงสับเปลี่ยนประเภทนี้ลำดับมีความสำคัญและองค์ประกอบจะไม่ซ้ำกัน

ตัวอย่างเช่นสมมติว่าคุณต้องการทราบจำนวนอาร์เรย์ที่แตกต่างกันของตัวเลขหนึ่งถึงสี่โดยวางตัวเลขแต่ละตัวไว้ที่จุดยอดหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สิ่งเหล่านี้จะรวมทั้งหมด 6 ข้อ:

ไม่ควรสับสนว่าหมายเลขหนึ่งอยู่ในตำแหน่งบนของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในทุกกรณีเป็นตำแหน่งคงที่ การเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลมจะไม่เปลี่ยนแปลงโดยการหมุนของอาร์เรย์ ต่อไปนี้เป็นการเรียงสับเปลี่ยนเดียวหรือเหมือนกัน:

การสาธิตและสูตร

ในตัวอย่างของอาร์เรย์วงกลม 4 หลักที่แตกต่างกันซึ่งอยู่ที่จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจำนวนอาร์เรย์ (6) สามารถพบได้ดังนี้:

1- ตัวเลขสี่หลักใด ๆ ถูกนำมาเป็นจุดเริ่มต้นที่จุดยอดใด ๆ และเลื่อนไปยังจุดยอดถัดไป (ไม่สำคัญว่าจะหมุนตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา)

2- มี 3 ตัวเลือกให้เลือกจุดยอดที่สองจากนั้นมี 2 ตัวเลือกในการเลือกจุดยอดที่สามและแน่นอนมีตัวเลือกการเลือกเพียงตัวเดียวสำหรับจุดยอดที่สี่

3- ดังนั้นจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลมซึ่งแสดงโดย (4 - 1) P (4 - 1) ได้มาจากผลคูณของตัวเลือกการเลือกในแต่ละตำแหน่ง:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 อาร์เรย์วงกลม 4 หลักที่แตกต่างกัน

โดยทั่วไปจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลมที่สามารถทำได้กับองค์ประกอบ n ทั้งหมดของชุดคือ:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2) … (2) (1)

สังเกตว่า (n - 1)! เรียกว่า n แฟกทอเรียลและย่อผลคูณของตัวเลขทั้งหมดจากจำนวน (n - 1) เป็นหมายเลขหนึ่งรวม

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

6 คนต้องนั่งโต๊ะวงกลมกี่วิธี?

คุณต้องการหาจำนวนวิธีต่างๆที่คน 6 คนสามารถนั่งรอบโต๊ะกลมได้

N °วิธีนั่ง = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

จำนวนวิธีนั่ง = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 วิธีที่แตกต่างกัน

ตัวอย่าง 2

5 คนมีวิธีต่างๆกันกี่วิธีในการค้นหาตัวเองที่จุดยอดของรูปห้าเหลี่ยม?

ขอจำนวนวิธีที่บุคคล 5 คนสามารถอยู่ที่แต่ละจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมได้

N °ของวิธีที่จะอยู่ = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

N °ของวิธีการหาตำแหน่ง = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 วิธีที่แตกต่างกัน

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

- แบบฝึกหัด 1

พ่อค้าอัญมณีคนหนึ่งได้รับอัญมณีที่มีค่าต่างกัน 12 เม็ดเพื่อนำมาวางไว้ตามช่วงเวลาของนาฬิกาที่เขากำลังเตรียมงานในนามของราชวงศ์ของประเทศในยุโรป

ก) เขาต้องเรียงหินบนนาฬิกากี่วิธี?

b) มีกี่รูปทรงที่แตกต่างกันถ้าหินที่ไปถึง 12 นาฬิกาไม่ซ้ำกัน?

c) มีกี่รูปร่างที่แตกต่างกันถ้าหินที่ 12 นาฬิกามีลักษณะเฉพาะและหินที่จุดสำคัญอีกสามจุดคือ 3, 6 และ 9 นาฬิกา; มีหินพิเศษสามก้อนที่สามารถแลกเปลี่ยนได้และเวลาที่เหลือจะถูกกำหนดจากหินที่เหลือหรือไม่?

แนวทางแก้ไข

ก) ขอจำนวนวิธีในการจัดเรียงหินทั้งหมดตามเส้นรอบวงของนาฬิกา นั่นคือจำนวนการจัดเรียงแบบวงกลมที่เกี่ยวข้องกับหินที่มีอยู่ทั้งหมด

จำนวนการจัดเรียงบนนาฬิกา = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

จำนวนการแก้ไขนาฬิกา = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

จำนวนการจัดเรียงบนนาฬิกา = 39976800 รูปทรงที่แตกต่างกัน

b) เขาสงสัยว่ามีวิธีการสั่งซื้อที่แตกต่างกันกี่วิธีโดยรู้ว่าหินบนที่จับ 12 นาฬิกามีลักษณะเฉพาะและคงที่ นั่นคือจำนวนการจัดเรียงแบบวงกลมที่เกี่ยวข้องกับหินที่เหลืออีก 11 ก้อน

จำนวนการจัดเรียงบนนาฬิกา = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

จำนวนการแก้ไขบนนาฬิกา = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

จำนวนการจัดเรียงบนนาฬิกา = 3,628,800 รูปทรงที่แตกต่างกัน

c) สุดท้ายมีการค้นหาจำนวนวิธีในการสั่งซื้อหินทั้งหมดยกเว้นหิน 12 นาฬิกาซึ่งได้รับการแก้ไขหิน 3, 6 และ 9 ที่มี 3 หินที่จะกำหนดให้กันและกัน นั่นคือ 3! ความเป็นไปได้ในการจัดเรียงและจำนวนการจัดเรียงแบบวงกลมที่เกี่ยวข้องกับหินที่เหลืออีก 8 ก้อน

จำนวนการแก้ไขในนาฬิกา = 3! * = 3! * (8–1)!

จำนวนการจัดเรียงในนาฬิกา = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

จำนวนการจัดเรียงบนนาฬิกา = 241920 รูปทรงที่แตกต่างกัน

- แบบฝึกหัด 2

คณะกรรมการขับเคลื่อนของ บริษัท ประกอบด้วยสมาชิก 8 คนและพบกันที่โต๊ะวงรี

ก) คณะกรรมการมีรูปแบบการจัดโต๊ะต่างๆกี่แบบ?

b) สมมติว่าประธานนั่งอยู่ที่หัวโต๊ะในการจัดคณะกรรมการคณะกรรมการที่เหลือมีรูปแบบการจัดการที่แตกต่างกันกี่รูปแบบ?

c) สมมติว่ารองประธานและเลขานุการนั่งอยู่ข้างใดข้างหนึ่งของประธานในการจัดเรียงคณะกรรมการที่เหลือมีรูปแบบการจัดการที่แตกต่างกันกี่แบบ?

แนวทางแก้ไข

a) เราต้องการหาวิธีต่างๆในการจัดสมาชิก 12 คนของคณะกรรมการรอบโต๊ะวงรี

N °ของการจัดคณะกรรมการ = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

จำนวนคณะกรรมการ = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N °ของการจัดเตรียมคณะกรรมการ = 39976800 รูปแบบที่แตกต่างกัน

b) เนื่องจากประธานคณะกรรมการตั้งอยู่ในตำแหน่งคงที่จึงขอจำนวนวิธีในการสั่งสมาชิกที่เหลือ 11 คนรอบโต๊ะวงรี

N °ของการจัดคณะกรรมการ = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

จำนวนคณะกรรมการ = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N °ของการเตรียมการของคณะกรรมการ = 3,628,800 รูปแบบที่แตกต่างกัน

c) ประธานตั้งอยู่ในตำแหน่งคงที่และด้านข้างคือรองประธานและเลขานุการที่มีความเป็นไปได้ในการจัดการสองอย่างคือรองประธานทางขวาและเลขานุการทางซ้ายหรือรองประธานทางซ้ายและเลขานุการทางขวา จากนั้นคุณต้องการหาจำนวนวิธีต่างๆในการสั่งสมาชิกที่เหลืออีก 9 คนของคณะกรรมการรอบโต๊ะวงรีและคูณด้วย 2 รูปแบบของการเตรียมการที่รองประธานและเลขานุการมี

N °ของการจัดคณะกรรมการ = 2 * = 2 *

จำนวนคณะกรรมการ = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

N °ของการจัดเตรียมคณะกรรมการ = 80640 รูปแบบที่แตกต่างกัน

อ้างอิง

1. โบอาดา, A. (2017). การใช้การเปลี่ยนรูปแบบซ้ำ ๆ เป็นการสอนการทดลอง นิตยสาร Vivat Academia กู้คืนจาก researchgate.net.
2. คานาโวส, G. (1988). ความน่าจะเป็นและสถิติ การใช้งานและวิธีการ McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. แก้ว, G .; สแตนลีย์เจ. (2539). วิธีการทางสถิติไม่ได้ใช้กับสังคมศาสตร์ Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. สปีเกล, ม.; สตีเฟนส์, แอล. (2008). สถิติ. ฉบับที่สี่ McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. วอลโพล, R .; ไมเออร์, R .; ไมเออร์ส.; เจ้าคะ. (2007) ความน่าจะเป็นและสถิติสำหรับวิศวกรและนักวิทยาศาสตร์ แปดเอ็ด Pearson Education International Prentice Hall
6. เว็บสเตอร์, A. (2000). สถิติที่ใช้กับธุรกิจและเศรษฐกิจ ฉบับที่สาม McGraw-Hill / Interamericana SA
7. วิกิพีเดีย (2019) การเรียงสับเปลี่ยน สืบค้นจาก en.wikipedia.org.