คลื่นมิติเดียว: นิพจน์ทางคณิตศาสตร์และตัวอย่าง - กายภาพ - 2025

หนึ่งคลื่นมิติเป็นผู้ที่การเผยแพร่ในทิศทางเดียวโดยไม่คำนึงว่าการสั่นสะเทือนที่เกิดขึ้นในทิศทางเดียวกันของการขยายพันธุ์หรือไม่ ตัวอย่างที่ดีของสิ่งเหล่านี้คือคลื่นที่ไหลผ่านสายที่ตึงเหมือนกีตาร์

ในคลื่นระนาบตามขวางอนุภาคจะสั่นในแนวตั้ง (ขึ้นและลงดูลูกศรสีแดงในรูปที่ 1) แต่เป็นมิติเดียวเนื่องจากสิ่งรบกวนเดินทางไปในทิศทางเดียวตามลูกศรสีเหลือง

รูปที่ 1: ภาพแสดงคลื่นมิติเดียว สังเกตว่าสันเขาและหุบเขาสร้างแนวขนานกันและตั้งฉากกับทิศทางการขยายพันธุ์ ที่มา: self made.

คลื่นมิติเดียวปรากฏค่อนข้างบ่อยในชีวิตประจำวัน ในส่วนต่อไปนี้จะมีการอธิบายตัวอย่างบางส่วนของคลื่นที่ไม่ใช่มิติเดียวเพื่อสร้างความแตกต่างอย่างชัดเจน

ตัวอย่างของคลื่นมิติเดียวและคลื่นที่ไม่ใช่มิติเดียว

คลื่นมิติเดียว

ตัวอย่างคลื่นมิติเดียวที่สังเกตได้ง่ายมีดังนี้

- ชีพจรเสียงที่เคลื่อนที่ผ่านแถบตรงเนื่องจากเป็นการรบกวนที่กระจายไปตามความยาวทั้งหมดของแท่ง

- คลื่นที่เคลื่อนที่ผ่านร่องน้ำแม้ว่าการเคลื่อนที่ของผิวน้ำจะไม่ขนานกับร่องน้ำก็ตาม

- คลื่นที่แพร่กระจายบนพื้นผิวหรือผ่านพื้นที่สามมิติสามารถเป็นมิติเดียวได้ตราบเท่าที่ด้านหน้าของคลื่นเป็นระนาบขนานกันและเคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวเท่านั้น

คลื่นที่ไม่ใช่มิติเดียว

ตัวอย่างของคลื่นที่ไม่ใช่มิติเดียวพบได้ในคลื่นที่ก่อตัวบนผิวน้ำนิ่งเมื่อก้อนหินหล่น เป็นคลื่นสองมิติที่มีหน้าคลื่นทรงกระบอก

รูปที่ 2. รูปภาพแสดงตัวอย่างของสิ่งที่คลื่นมิติเดียวไม่ใช่ สังเกตว่ายอดและหุบเขาก่อตัวเป็นวงกลมและทิศทางของการแพร่กระจายเป็นแนวรัศมีออกไปด้านนอกจากนั้นจะเป็นคลื่นสองมิติแบบวงกลม ที่มา: Pixabay

อีกตัวอย่างหนึ่งของคลื่นที่ไม่ใช่มิติเดียวคือคลื่นเสียงที่พลุสร้างขึ้นโดยการระเบิดที่ระดับความสูงหนึ่ง นี่คือคลื่นสามมิติที่มีหน้าคลื่นทรงกลม

นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ของคลื่นมิติเดียว

วิธีทั่วไปที่สุดในการแสดงคลื่นมิติเดียวที่แพร่กระจายโดยไม่มีการลดทอนในทิศทางบวกของแกน xy ด้วยความเร็ว v คือในทางคณิตศาสตร์:

ในนิพจน์นี้ y แสดงถึงการรบกวนที่ตำแหน่ง x ในเวลา t รูปร่างของคลื่นถูกกำหนดโดยฟังก์ชัน f ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันคลื่นที่แสดงในรูปที่ 1 คือ: y (x, t) = cos (x - vt) และรูปคลื่นสอดคล้องกับ t = 0 ทันที

คลื่นแบบนี้อธิบายโดยฟังก์ชันโคไซน์หรือไซน์เรียกว่าคลื่นฮาร์มอนิก แม้ว่าจะไม่ใช่รูปคลื่นเดียวที่มีอยู่ แต่ก็มีความสำคัญสูงสุดเนื่องจากคลื่นอื่น ๆ สามารถแสดงเป็นซ้อนทับหรือผลรวมของคลื่นฮาร์มอนิก เป็นทฤษฎีบทฟูเรียร์ที่รู้จักกันดีจึงใช้กันอย่างแพร่หลายในการอธิบายสัญญาณทุกชนิด

เมื่อคลื่นเคลื่อนที่ไปในทิศทางลบของแกน x เพียงแค่เปลี่ยน v เป็น -v ในอาร์กิวเมนต์โดยปล่อย:

รูปที่ 3 แสดงภาพเคลื่อนไหวของคลื่นที่เคลื่อนที่ไปทางซ้าย: เป็นรูปแบบที่เรียกว่าฟังก์ชันลอเรนต์เซียนและนิพจน์ทางคณิตศาสตร์คือ:

ในตัวอย่างนี้ความเร็วของการแพร่กระจายคือ v = 1 - หนึ่งหน่วยของพื้นที่สำหรับแต่ละหน่วยเวลา -

รูปที่ 3. ตัวอย่างของคลื่นลอเรนต์เซียนที่เคลื่อนที่ไปทางซ้ายด้วยความเร็ว v = 1 ที่มา: จัดทำโดย F. Zapata ด้วย Geogebra

สมการคลื่นมิติเดียว

สมการคลื่นเป็นสมการอนุพันธ์ย่อยคำตอบซึ่งแน่นอนว่าเป็นคลื่น สร้างความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างส่วนเชิงพื้นที่และส่วนชั่วคราวของมันและมีรูปแบบ:

ตัวอย่างที่ใช้งานได้

ต่อไปนี้เป็นนิพจน์ทั่วไป y (x, t) สำหรับคลื่นฮาร์มอนิก:

ก) อธิบายความหมายทางกายภาพของพารามิเตอร์ A, k, ωและθo

b) เครื่องหมาย±มีความหมายอะไรในอาร์กิวเมนต์โคไซน์?

c) ตรวจสอบว่านิพจน์ที่กำหนดเป็นคำตอบของสมการคลื่นของส่วนก่อนหน้าและหาความเร็ว v ของการแพร่กระจาย

แนวทางแก้ไข)

ลักษณะของคลื่นพบได้ในพารามิเตอร์ต่อไปนี้:

ตราสารอนุพันธ์ที่สองด้วยความเคารพ T: ∂ ²และ / ∂t ² = -ω 2 A ⋅ cos (k ⋅ x ±ω⋅ t + θo)

ผลลัพธ์เหล่านี้ถูกแทนที่ในสมการคลื่น:

ทั้ง A และโคไซน์ถูกทำให้ง่ายขึ้นเนื่องจากปรากฏทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันและอาร์กิวเมนต์ของโคไซน์จะเหมือนกันดังนั้นนิพจน์จึงลดเป็น:

ซึ่งทำให้ได้สมการสำหรับ v ในรูปของωและ k:

อ้างอิง

1. E- การศึกษา สมการของคลื่นฮาร์มอนิกมิติเดียว กู้คืนจาก: e-ducativa.catedu.es
2. มุมของฟิสิกส์ คลาส Wave สืบค้นจาก: fisicaparatontos.blogspot.com.
3. Figueroa, D. 2549. คลื่นและฟิสิกส์ควอนตัม. ซีรี่ส์: ฟิสิกส์สำหรับวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม แก้ไขโดย Douglas Figueroa มหาวิทยาลัยไซมอนโบลิวาร์ การากัสเวเนซุเอลา
4. Physics Lab. การเคลื่อนที่ของคลื่น. ดึงมาจาก: fisicalab.com.
5. Peirce, A. การบรรยาย 21: สมการคลื่นมิติเดียว: โซลูชันของ D'Alembert กู้คืนจาก: ubc.ca.
6. สมการคลื่น สืบค้นจาก: en.wikipedia.com