ตัวเลขยอดเยี่ยม: อะไรคือสูตรตัวอย่างแบบฝึกหัด - เลข - 2026

ตัวเลขยอดเยี่ยมเป็นผู้ที่ไม่สามารถ จะ ได้รับเป็น ผลของสมการพหุนาม สิ่งที่ตรงกันข้ามกับจำนวนที่เหนือกว่าคือจำนวนพีชคณิตซึ่งเป็นคำตอบของสมการพหุนามประเภท:

ก_n x ⁿ + ก_-1 x ^n-1 + …… + ก₂ x ² + ก₁ x + ก₀ = 0

โดยที่สัมประสิทธิ์ a _n , _n-1 , … .. a ₂ , a ₁ , a ₀คือจำนวนตรรกยะเรียกว่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม ถ้าจำนวน x เป็นคำตอบของสมการก่อนหน้าแสดงว่าจำนวนนั้นจะไม่เหนือกว่า

รูปที่ 1. ตัวเลขสองตัวที่มีความสำคัญอย่างยิ่งในทางวิทยาศาสตร์คือจำนวนที่เหนือกว่า ที่มา: publicdomainpictures.net.

เราจะวิเคราะห์ตัวเลขสองสามตัวและดูว่ามีความเหนือชั้นหรือไม่:

a) 3 ไม่เหนือกว่าเพราะมันเป็นคำตอบของ x - 3 = 0

b) -2 ไม่สามารถเหนือกว่าได้เพราะมันเป็นคำตอบของ x + 2 = 0

c) ⅓เป็นคำตอบของ 3x - 1 = 0

d) คำตอบของสมการ x ² - 2x + 1 = 0 คือ√2 -1 ดังนั้นจำนวนตามนิยามจึงไม่เหนือชั้น

e) ไม่เป็น√2เพราะเป็นผลลัพธ์ของสมการ x ² - 2 = 0 กำลังสอง√2ให้ผลลัพธ์ 2 ซึ่งลบจาก 2 เท่ากับศูนย์ ดังนั้น√2จึงเป็นจำนวนอตรรกยะ แต่ก็ไม่เหนือกว่า

ตัวเลขที่เหนือกว่าคืออะไร?

ปัญหาคือไม่มีกฎทั่วไปที่จะได้รับ (เราจะพูดในภายหลัง) แต่บางส่วนที่มีชื่อเสียงที่สุดคือหมายเลข pi และหมายเลข Neper ซึ่งแสดงตามลำดับโดย: πและ e

หมายเลขπ

จำนวนπปรากฏขึ้นตามธรรมชาติโดยสังเกตว่าผลหารทางคณิตศาสตร์ระหว่างเส้นรอบวง P ของวงกลมกับเส้นผ่านศูนย์กลาง D ไม่ว่าวงกลมจะเล็กหรือใหญ่จะให้ตัวเลขเท่ากันเสมอเรียกว่า pi:

π = P / D ≈ 3.14159 ……

ซึ่งหมายความว่าถ้าเอาเส้นผ่านศูนย์กลางของเส้นรอบวงเป็นหน่วยวัดสำหรับทุกคนไม่ว่าจะใหญ่หรือเล็กเส้นรอบวงจะเป็น P = 3.14 … = πเสมอดังที่เห็นในภาพเคลื่อนไหวในรูปที่ 2

รูปที่ 2 ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมคือ pi คูณความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางโดย pi จะอยู่ที่ประมาณ 3.1416

ในการกำหนดทศนิยมให้มากขึ้นจำเป็นต้องวัด P และ D ด้วยความแม่นยำมากขึ้นจากนั้นจึงคำนวณผลหารซึ่งได้ดำเนินการทางคณิตศาสตร์แล้ว ข้อสรุปก็คือทศนิยมของผลหารไม่มีจุดสิ้นสุดและไม่มีวันซ้ำตัวเองดังนั้นจำนวนπนอกจากจะเหนือกว่าก็ไร้เหตุผลเช่นกัน

จำนวนอตรรกยะคือจำนวนที่ไม่สามารถแสดงเป็นผลหารของจำนวนเต็มสองจำนวน

เป็นที่ทราบกันดีว่าจำนวนที่เหนือกว่านั้นไม่มีเหตุผล แต่ก็ไม่เป็นความจริงที่ว่าจำนวนที่ไม่ลงตัวทั้งหมดจะเหนือกว่า ตัวอย่างเช่น√2ไม่มีเหตุผล แต่ก็ไม่พ้น

รูปที่ 3 ตัวเลขเหนือกาลไม่ลงตัว แต่การสนทนาไม่เป็นความจริง

หมายเลข e

เลขยอดเยี่ยม e เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติและการประมาณทศนิยมคือ:

และ≈ 2.718281828459045235360 ….

หากคุณต้องการเขียนจำนวน e ให้ถูกต้องคุณจำเป็นต้องเขียนทศนิยมที่ไม่มีที่สิ้นสุดเนื่องจากจำนวนที่เหนือกว่าทุกตัวไม่ลงตัวดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้

ตัวเลขสิบหลักแรกนั้นง่ายต่อการจดจำ:

2,7 1828 1828 และแม้ว่ามันจะเป็นไปตามรูปแบบที่ซ้ำซาก แต่ก็ไม่สามารถทำได้ในทศนิยมที่มีค่ามากกว่าเก้า

คำจำกัดความที่เป็นทางการมากขึ้นของ e มีดังนี้:

ซึ่งหมายความว่าค่าที่แน่นอนของ e ได้มาจากการดำเนินการที่ระบุในสูตรนี้เมื่อจำนวนธรรมชาติ n มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด

สิ่งนี้อธิบายว่าเหตุใดเราจึงได้ค่าประมาณของ e เท่านั้นเนื่องจากไม่ว่าจำนวน n จะวางไว้มากเพียงใดก็จะพบ n ที่มากกว่าได้เสมอ

ลองหาค่าประมาณด้วยตัวเราเอง:

- เมื่อ n = 100 แล้ว (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2.70481 ซึ่งแทบจะไม่ตรงกับทศนิยมตัวแรกด้วยค่า "จริง" ของ e

- หากคุณเลือก n = 10,000 คุณมี (1 + 1 / 10,000) ^10,000 = 2,71815 ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับค่า "ที่แน่นอน" ของ e ในทศนิยมสามตำแหน่งแรก

กระบวนการนี้จะต้องทำตามอย่างไม่มีที่สิ้นสุดเพื่อให้ได้ค่า "จริง" ของ e ฉันไม่คิดว่าเราจะมีเวลาทำ แต่เรามาลองอีกครั้ง:

มาใช้ n = 100,000:

(1 + 1 / 100,000) ^100,000 = 2.7182682372

มีเพียงทศนิยมสี่ตำแหน่งที่ตรงกับค่าที่ถือว่าแน่นอน

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่ายิ่งค่าของ n ที่ถูกเลือกในการคำนวณ e _nสูงเท่าใดก็จะยิ่งใกล้เคียงกับมูลค่าที่แท้จริงมากเท่านั้น แต่ค่าที่แท้จริงนั้นจะมีก็ต่อเมื่อ n เป็นอนันต์

รูปที่ 4 จะแสดงเป็นกราฟว่าค่า n ยิ่งสูงเท่าไหร่ก็ยิ่งเข้าใกล้ e มากขึ้นเท่านั้น แต่การจะได้ค่าที่แน่นอน n จะต้องไม่มีที่สิ้นสุด

หมายเลขสำคัญอื่น ๆ

นอกเหนือจากตัวเลขที่มีชื่อเสียงเหล่านี้แล้วยังมีตัวเลขที่เหนือกว่าอื่น ๆ อีกเช่น:

- 2 ^{วินาที}

- จำนวน Champernowne ในฐาน 10:

C_10 = 0.123456789101112131415161718192021 ….

- หมายเลข Champernowne ในฐาน 2:

C_2 = 0.1101110010110111 ….

- จำนวนแกมมาγหรือค่าคงที่ของออยเลอร์ - มาสเชโรนี:

γ≈ 0.577 215664901532860606

ซึ่งได้จากการคำนวณต่อไปนี้:

γ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ + … + 1 / n - ln (n)

สำหรับเมื่อ n ใหญ่มาก เพื่อให้ได้ค่าที่แน่นอนของหมายเลขแกมมาจำเป็นต้องทำการคำนวณด้วย n infinity สิ่งที่คล้ายกับที่เราทำข้างต้น

และยังมีตัวเลขที่เหนือกว่าอีกมากมาย Georg Cantor นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ซึ่งเกิดในรัสเซียและมีชีวิตอยู่ระหว่างปีพ. ศ.

สูตรที่เลขเหนือπปรากฏขึ้น

เส้นรอบวงของเส้นรอบวง

P = π D = 2 π R โดยที่ P คือเส้นรอบวง D เส้นผ่านศูนย์กลางและ R รัศมีของเส้นรอบวง ควรจำไว้ว่า:

- เส้นผ่านศูนย์กลางของเส้นรอบวงคือส่วนที่ยาวที่สุดที่เชื่อมจุดสองจุดที่เหมือนกันและจะผ่านจุดศูนย์กลางเสมอ

- รัศมีมีเส้นผ่านศูนย์กลางครึ่งหนึ่งและเป็นส่วนที่เคลื่อนจากจุดศูนย์กลางไปยังขอบ

พื้นที่ของวงกลม

A = π R ² = ¼π D ²

พื้นผิวของทรงกลม

S = 4 πร^2.

ใช่แม้ว่ามันอาจจะดูไม่เหมือน แต่พื้นผิวของทรงกลมก็เหมือนกับวงกลมสี่วงที่มีรัศมีเดียวกันกับทรงกลม

ปริมาตรของทรงกลม

V = 4/3 π R ³

การออกกำลังกาย

- แบบฝึกหัด 1

ร้านพิชซ่า“ EXÓTICA” จำหน่ายพิซซ่าขนาด 3 เส้นผ่านศูนย์กลาง ได้แก่ ขนาดเล็ก 30 ซม. ขนาดกลาง 37 ซม. และขนาดใหญ่ 45 ซม. เด็กชายคนหนึ่งหิวมากและเขาตระหนักว่าพิซซ่าขนาดเล็กสองชิ้นมีราคาเท่ากันกับพิซซ่าขนาดใหญ่ จะมีอะไรดีไปกว่าสำหรับเขาที่จะซื้อพิซซ่าขนาดเล็กสองชิ้นหรือหนึ่งชิ้นใหญ่

รูปที่ 5 - พื้นที่ของพิซซ่าเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของรัศมี pi คือค่าคงที่ของสัดส่วน ที่มา: Pixabay

สารละลาย

ยิ่งพื้นที่มีขนาดใหญ่ปริมาณพิซซ่าก็จะมากขึ้นด้วยเหตุนี้พื้นที่ของพิซซ่าขนาดใหญ่จะถูกคำนวณและเปรียบเทียบกับพิซซ่าขนาดเล็กสองชิ้น:

พื้นที่ของพิซซ่าขนาดใหญ่= ¼π D ² = ¼⋅3.1416⋅45 ² = 1590.44 ซม. ²

พื้นที่ของพิซซ่าขนาดเล็ก= ¼π d ² = ¼⋅3.1416⋅30 ² = 706.86 cm ²

ดังนั้นพิซซ่าขนาดเล็กสองแห่งจะมีพื้นที่

2 x 706.86 = 1413.72 ซม. ² .

เป็นที่ชัดเจน: คุณจะมีจำนวนมากขึ้นในการซื้อพิซซ่าหนึ่งชิ้นขนาดใหญ่มากกว่าสองชิ้นเล็ก ๆ

- แบบฝึกหัด 2

ร้านพิชซ่า“ EXÓTICA” ยังขายพิซซ่าทรงครึ่งวงกลมที่มีรัศมี 30 ซม. ในราคาเดียวกับแบบสี่เหลี่ยมขนาด 30 x 40 ซม. ในแต่ละด้าน คุณจะเลือกอันไหน?

รูปที่ 6 - พื้นผิวของซีกโลกเป็นสองเท่าของพื้นผิววงกลมของฐาน ที่มา: F. Zapata

สารละลาย

ดังที่ได้กล่าวไว้ในส่วนก่อนหน้าพื้นผิวของทรงกลมมีขนาดเท่ากับสี่เท่าของวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากันดังนั้นครึ่งซีกที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 ซม. จะมี:

พิซซ่าครึ่งวงกลม 30 ซม.: 1413.72 ซม. ² (วงกลมสองครั้งที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน)

พิซซ่าสี่เหลี่ยม: (30 ซม.) x (40 ซม.) = 1200 ซม. ² .

พิซซ่าทรงครึ่งวงกลมมีพื้นที่ใหญ่ขึ้น

อ้างอิง

1. Fernández J. จำนวน e. ที่มาและความอยากรู้ สืบค้นจาก: soymatematicas.com
2. สนุกกับคณิตศาสตร์ หมายเลขของออยเลอร์ ดึงมาจาก: enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Mathematics 1st. หลากหลาย รุ่น CO-BO
4. García, M. จำนวน e ในแคลคูลัสเบื้องต้น กู้คืนจาก: matematica.ciens.ucv.ve.
5. วิกิพีเดีย หมายเลข PI สืบค้นจาก: wikipedia.com
6. วิกิพีเดีย เลขเหนือ. สืบค้นจาก: wikipedia.com