จำนวนจริง: ประวัติตัวอย่างคุณสมบัติการดำเนินการ - เลข - 2025

ตัวเลขจริงถือเป็นชุดตัวเลขที่มีจำนวนธรรมชาติจำนวนเต็มที่มีเหตุผลและไม่มีเหตุผล พวกเขาแสดงด้วยสัญลักษณ์ℝหรือRและขอบเขตของมันในวิทยาศาสตร์วิศวกรรมและเศรษฐศาสตร์ก็เป็นเช่นนั้นเมื่อพูดถึง "จำนวน" มันแทบจะถูกมองว่าเป็นจำนวนจริง

มีการใช้ตัวเลขจริงมาตั้งแต่สมัยโบราณแม้ว่าจะไม่ได้ระบุชื่อนั้นก็ตาม ตั้งแต่ช่วงเวลาที่พีทาโกรัสพัฒนาทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของเขาตัวเลขก็ปรากฏขึ้นซึ่งไม่สามารถหาได้เป็นผลหารของจำนวนธรรมชาติหรือจำนวนเต็ม

รูปที่ 1. แผนภาพเวนน์แสดงให้เห็นว่าชุดของจำนวนจริงประกอบด้วยชุดตัวเลขอื่น ๆ อย่างไร ที่มา> Wikimedia Commons

ตัวอย่างของตัวเลข ได้แก่ √2, √3และπ ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าไม่มีเหตุผลตรงข้ามกับจำนวนตรรกยะซึ่งมาจากผลหารของจำนวนเต็ม ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีชุดตัวเลขที่ครอบคลุมทั้งสองคลาสของตัวเลข

คำว่า "จำนวนจริง" ถูกสร้างขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่René Descartes (1596-1650) เพื่อแยกความแตกต่างระหว่างรากทั้งสองชนิดที่อาจเกิดขึ้นจากการแก้สมการพหุนาม

รากเหล่านี้บางส่วนอาจเป็นรากของจำนวนลบด้วยซ้ำ Descartes เรียกสิ่งเหล่านี้ว่า "จำนวนจินตภาพ" และจำนวนที่ไม่ใช่เป็นจำนวนจริง

นิกายยังคงอยู่ตลอดเวลาทำให้เกิดชุดตัวเลขขนาดใหญ่สองชุด ได้แก่ จำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนชุดใหญ่ที่ประกอบด้วยจำนวนจริงจำนวนจินตภาพและชุดที่เป็นส่วนจริงและจินตภาพบางส่วน

วิวัฒนาการของจำนวนจริงยังคงดำเนินต่อไปจนกระทั่งในปีพ. ศ. 2415 Richard Dedekind (1831-1936) นักคณิตศาสตร์ได้กำหนดชุดของจำนวนจริงอย่างเป็นทางการผ่านการตัดแบบ Dedekind งานสังเคราะห์ของเขาตีพิมพ์ในบทความที่เห็นแสงสว่างในปีเดียวกันนั้น

ตัวอย่างจำนวนจริง

ตารางด้านล่างแสดงตัวอย่างจำนวนจริง ชุดนี้มีเป็นเซตย่อยของจำนวนธรรมชาติจำนวนเต็มค่าเหตุผลและไม่ลงตัว จำนวนชุดเหล่านี้เป็นจำนวนจริงในตัวมันเอง

ดังนั้น 0 เชิงลบบวกเศษส่วนและทศนิยมจึงเป็นจำนวนจริง

รูปที่ 2 ตัวอย่างของจำนวนจริงเป็นธรรมชาติจำนวนเต็มเหตุผลไร้เหตุผลและเหนือกว่า ที่มา: F. Zapata

การแสดงจำนวนจริงบนเส้นจริง

จำนวนจริงสามารถแสดงบนเส้นจริงR ได้ดังแสดงในรูป ไม่จำเป็นว่า 0 จะปรากฏเสมอไปอย่างไรก็ตามมันสะดวกที่จะทราบว่าค่าเรียลลบอยู่ทางซ้ายและค่าบวกทางด้านขวา นั่นจึงเป็นจุดอ้างอิงที่ดีเยี่ยม

มาตราส่วนถูกถ่ายบนเส้นจริงซึ่งพบจำนวนเต็ม: … 3, -2, -1, 1, 2, 3 …. ลูกศรบ่งชี้ว่าเส้นขยายไปถึงระยะอนันต์ แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมดในช่วงเวลาใด ๆ เราจะพบจำนวนจริงที่ไม่มีที่สิ้นสุดเสมอ

จำนวนจริงจะแสดงตามลำดับ ในการเริ่มต้นมีลำดับของจำนวนเต็มซึ่งผลบวกจะมากกว่า 0 เสมอในขณะที่ค่าลบจะน้อยกว่า

คำสั่งนี้จะถูกเก็บไว้ในจำนวนจริง ความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้แสดงเป็นตัวอย่าง:

ก) -1/2 <√2

ข) จ <π

ค) π> -1/2

รูปที่ 3 - เส้นจริง ที่มา: Wikimedia Commons

คุณสมบัติของจำนวนจริง

- ตัวเลขจริง ได้แก่ จำนวนธรรมชาติจำนวนเต็มตัวเลขที่มีเหตุผลและจำนวนอตรรกยะ

- คุณสมบัติการสับเปลี่ยนของการบวกเติมเต็ม: ลำดับของการบวกไม่เปลี่ยนแปลงผลรวม ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงสองจำนวนมันจะเป็นจริงเสมอ:

a + b = b + ก

-The 0 คือองค์ประกอบที่เป็นกลางของผลรวม: a + 0 = a

- สำหรับผลรวมคุณสมบัติที่เชื่อมโยงจะเป็นจริง ถ้า a, b และ c เป็นจำนวนจริง: (a + b) + c = a + (b + c)

- ตรงข้ามกับจำนวนจริงคือ -a

- การลบถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของสิ่งที่ตรงกันข้าม: a - b = a + (-b)

- คุณสมบัติการสับเปลี่ยนของผลิตภัณฑ์เป็นจริง: ลำดับของปัจจัยไม่เปลี่ยนแปลงผลิตภัณฑ์: ab = ba

- ในผลิตภัณฑ์คุณสมบัติที่เชื่อมโยงยังถูกนำไปใช้: (ab) .c = a. (Bc)

- 1 คือองค์ประกอบที่เป็นกลางของการคูณ: a.1 = a

- คุณสมบัติการกระจายของการคูณใช้ได้กับการบวก: (b + c) = ab + ac

- ไม่ได้กำหนดการหารด้วย 0

- จำนวนจริงใด ๆ ยกเว้น 0 มีค่าผกผันการคูณเป็น^-1ซึ่ง aa ^-1 = 1

- ถ้า a เป็นจำนวนจริง: a ⁰ = 1 และ¹ = a

- ค่าสัมบูรณ์หรือโมดูลัสของจำนวนจริงคือระยะห่างระหว่างจำนวนดังกล่าวและ 0

การดำเนินการกับจำนวนจริง

ด้วยจำนวนจริงคุณสามารถดำเนินการกับชุดตัวเลขอื่น ๆ ได้เช่นการบวกการลบการคูณการหารการเสริมพลังการแผ่รังสีลอการิทึมและอื่น ๆ

เช่นเคยไม่มีการกำหนดการหารด้วย 0 และไม่ทำลอการิทึมของจำนวนลบหรือ 0 แม้ว่าจะเป็นจริงที่ log 1 = 0 และลอการิทึมของตัวเลขระหว่าง 0 ถึง 1 เป็นค่าลบ

การประยุกต์ใช้งาน

การประยุกต์ใช้จำนวนจริงกับสถานการณ์ทุกประเภทมีความหลากหลายมาก จำนวนจริงปรากฏเป็นคำตอบสำหรับปัญหาต่างๆในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์วิศวกรรมเศรษฐศาสตร์และสังคมศาสตร์

ขนาดและปริมาณทุกชนิดเช่นระยะทางเวลาแรงความเข้มของเสียงเงินและอื่น ๆ อีกมากมายมีการแสดงออกเป็นจำนวนจริง

การส่งสัญญาณโทรศัพท์ภาพและเสียงของวิดีโออุณหภูมิของเครื่องปรับอากาศเครื่องทำความร้อนหรือตู้เย็นสามารถควบคุมได้แบบดิจิทัลซึ่งหมายถึงการเปลี่ยนปริมาณทางกายภาพให้เป็นลำดับตัวเลข

สิ่งเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นเมื่อทำธุรกรรมธนาคารทางอินเทอร์เน็ตหรือปรึกษาการส่งข้อความโต้ตอบแบบทันที ตัวเลขที่แท้จริงมีอยู่ทั่วไป

การออกกำลังกายได้รับการแก้ไข

เราจะมาดูแบบฝึกหัดว่าตัวเลขเหล่านี้ทำงานอย่างไรในสถานการณ์ทั่วไปที่เราพบในแต่ละวัน

แบบฝึกหัด 1

ที่ทำการไปรษณีย์รับเฉพาะพัสดุที่มีความยาวและเส้นรอบวงไม่เกิน 108 นิ้ว ดังนั้นเพื่อให้สามารถยอมรับแพ็คเกจที่แสดงได้จะต้องดำเนินการดังนี้:

L + 2 (x + y) ≤ 108

ก) บรรจุภัณฑ์ที่มีขนาดกว้าง 6 นิ้วสูง 8 นิ้วและยาว 5 ฟุตจะทำให้ผ่านได้หรือไม่?

b) แล้วอันที่มีขนาด 2 x 2 x 4 ฟุต³ล่ะ?

c) ความสูงสูงสุดที่ยอมรับได้สำหรับบรรจุภัณฑ์ที่มีฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและขนาด 9 x 9 นิ้ว²คือเท่าใด

คำตอบ

L = 5 ฟุต = 60 นิ้ว

x = 6 นิ้ว

y = 8 นิ้ว

การดำเนินการแก้ไขคือ:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) นิ้ว = 60 + 2 x 14 นิ้ว = 60 + 28 นิ้ว = 88 นิ้ว

แพคเกจได้รับการยอมรับ

ตอบข

ขนาดของแพ็กเก็ตนี้มีขนาดเล็กกว่าแพ็กเก็ต a) ดังนั้นทั้งสองจึงผ่านได้

ตอบค

ในแพ็คเกจนี้:

x = L = 9 นิ้ว

ต้องสังเกตว่า:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

และ≤ 40.5 นิ้ว

อ้างอิง

1. Carena, M. 2019. คู่มือคณิตศาสตร์เตรียมเข้ามหาวิทยาลัย. มหาวิทยาลัยแห่งชาติ Litoral
2. Diego, A. จำนวนจริงและคุณสมบัติของมัน สืบค้นจาก: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. คณิตศาสตร์ 9. ระดับ. รุ่น CO-BO
4. Jiménez, R. 2008. พีชคณิต. ศิษย์ฮอลล์.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. วันที่ 5. ฉบับ การเรียนรู้ Cengage