ตัวเลขเชิงเหตุผล: คุณสมบัติตัวอย่างและการดำเนินการ - เลข - 2026

สรุปตัวเลขจะตัวเลขทั้งหมดสามารถรับได้เป็นส่วนหนึ่งของสองจำนวนเต็ม ตัวอย่างของจำนวนตรรกยะ ได้แก่ 3/4, 8/5, -16/3 และจำนวนที่ปรากฏในรูปต่อไปนี้ ในจำนวนที่เป็นเหตุเป็นผลจะมีการระบุผลหารซึ่งสามารถทำได้ในภายหลังหากจำเป็น

ตัวเลขแสดงถึงวัตถุใด ๆ โดยรอบเพื่อความสะดวกสบายยิ่งขึ้น ถ้าเราต้องการแบ่งมันออกเป็น 2 ส่วนเท่า ๆ กันทางด้านขวาเรามีสองซีกทางซ้ายและแต่ละส่วนมีค่า 1/2

รูปที่ 1. ตัวเลขเชิงเหตุผลใช้เพื่อแบ่งส่วนทั้งหมดออกเป็นหลายส่วน ที่มา: Freesvg.

โดยแบ่งออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กันเราจะได้ 4 ชิ้นและแต่ละชิ้นมีค่า 1/4 ดังภาพตรงกลาง และถ้าต้องแบ่งออกเป็น 6 ส่วนเท่า ๆ กันแต่ละส่วนจะมีค่า 1/6 ซึ่งเราเห็นในภาพด้านซ้าย

แน่นอนว่าเราสามารถแบ่งมันออกเป็นสองส่วนที่ไม่เท่ากันได้เช่นเราสามารถเก็บ 3/4 ส่วนและบันทึก 1/4 ส่วน ดิวิชั่นอื่น ๆ ได้เช่น 4/6 ส่วนและ 2/6 ส่วน สิ่งสำคัญคือผลรวมของชิ้นส่วนทั้งหมดคือ 1

ด้วยวิธีนี้จะเห็นได้ว่าด้วยจำนวนตรรกยะสิ่งต่างๆเช่นอาหารเงินที่ดินและสิ่งของทุกชนิดสามารถแบ่งนับและกระจายเป็นเศษส่วนได้ ดังนั้นจำนวนของการดำเนินการที่สามารถทำได้ด้วยตัวเลขจึงถูกขยายออกไป

ตัวเลขเชิงเหตุผลยังสามารถแสดงในรูปแบบฐานสิบได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้:

1/2 = 0.5

1/3 = 0.3333 … ..

3/4 = 0.75

1/7 = 0.142857142857142857 ………

ต่อมาเราจะระบุวิธีการเปลี่ยนจากรูปแบบหนึ่งไปยังอีกรูปแบบหนึ่งด้วยตัวอย่าง

คุณสมบัติของจำนวนตรรกยะ

ตัวเลขเชิงเหตุผลซึ่งชุดที่เราจะแสดงด้วยตัวอักษร Q มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

-Q ประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติ N และจำนวนเต็ม Z

เมื่อพิจารณาว่าจำนวนใด ๆ a สามารถแสดงเป็นผลหารระหว่างตัวมันเองกับ 1 ได้ก็จะเห็นได้ง่ายว่าในบรรดาจำนวนตรรกยะยังมีจำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็ม

ดังนั้นจำนวนธรรมชาติ 3 สามารถเขียนเป็นเศษส่วนและ -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

ด้วยวิธีนี้ Q คือชุดตัวเลขที่มีจำนวนมากกว่าซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นมากเนื่องจากตัวเลข "รอบ" ไม่เพียงพอที่จะอธิบายการดำเนินการที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ต้องทำ

- ตัวเลขที่มีเหตุผลสามารถเพิ่มลบคูณและหารผลลัพธ์ของการดำเนินการเป็นจำนวนเหตุผล: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2

- ระหว่างคู่ของตัวเลขที่มีเหตุผลแต่ละคู่สามารถพบจำนวนที่มีเหตุผลอื่นได้เสมอ ในความเป็นจริงระหว่างจำนวนตรรกยะสองจำนวนมีจำนวนตรรกยะที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่างเช่นระหว่างเหตุผล 1/4 และ 1/2 คือเหตุผล 3/10, 7/20, 2/5 (และอื่น ๆ อีกมากมาย) ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยแสดงเป็นทศนิยม

- จำนวนที่มีเหตุผลใด ๆ สามารถแสดงเป็น: i) จำนวนเต็มหรือ ii) ทศนิยมแบบ จำกัด (เข้มงวด) หรือทศนิยมประจำงวด: 4/2 = 2; 1/4 = 0.25; 1/6 = 0.16666666 ……

- จำนวนเดียวกันสามารถแทนค่าได้ด้วยเศษส่วนที่เท่ากันไม่มีที่สิ้นสุดและทั้งหมดเป็นของ Q ลองดูกลุ่มนี้:

ทั้งหมดนี้แทนทศนิยม 0.428571 …

- ในเศษส่วนที่เท่ากันทั้งหมดที่แสดงถึงจำนวนเดียวกันเศษส่วนที่ไม่สามารถวัดได้ซึ่งง่ายที่สุดคือตัวแทนของจำนวนนั้น ตัวแทนมาตรฐานของตัวอย่างข้างต้นคือ 3/7

รูปที่ 2 - เซต Q ของจำนวนตรรกยะ ที่มา: Wikimedia Commons Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

ตัวอย่างของจำนวนตรรกยะ

- เศษส่วนที่เหมาะสมซึ่งตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน:

- เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมซึ่งตัวเศษมีค่ามากกว่าตัวส่วน:

- ตัวเลขธรรมชาติและจำนวนเต็ม:

- เศษส่วนที่เท่ากัน:

การแทนค่าทศนิยมของจำนวนตรรกยะ

เมื่อตัวเศษหารด้วยตัวส่วนจะพบรูปแบบทศนิยมของจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น:

2/5 = 0.4

3/8 = 0.375

1/9 = 0.11111 …

6/11 = 0.545454 …

ในสองตัวอย่างแรกจำนวนตำแหน่งทศนิยมจะถูก จำกัด ซึ่งหมายความว่าเมื่อทำการหารเสร็จแล้วส่วนที่เหลือของ 0 จะได้รับในที่สุด

ในทางกลับกันในสองตำแหน่งถัดไปจำนวนตำแหน่งทศนิยมจะไม่มีที่สิ้นสุดและนั่นคือสาเหตุที่ทำให้จุดไข่ปลาถูกวางไว้ ในกรณีหลังจะมีรูปแบบเป็นทศนิยม ในกรณีของเศษส่วน 1/9 เลข 1 จะถูกทำซ้ำไปเรื่อย ๆ ในขณะที่ 6/11 เท่ากับ 54

เมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้นทศนิยมจะถูกบอกว่าเป็นระยะและแสดงด้วยเครื่องหมายคาเร็ตดังนี้:

แปลงทศนิยมเป็นเศษส่วน

ถ้าเป็นทศนิยมแบบ จำกัด เครื่องหมายจุลภาคจะถูกตัดออกและตัวส่วนจะกลายเป็นหน่วยตามด้วยเลขศูนย์มากที่สุดเท่าที่มีตัวเลขอยู่ในทศนิยม ตัวอย่างเช่นในการแปลงทศนิยม 1.26 เป็นเศษส่วนให้เขียนดังนี้:

1.26 = 126/100

จากนั้นเศษที่เป็นผลลัพธ์จะถูกทำให้ง่ายขึ้นจนถึงค่าสูงสุด:

126/100 = 63/50

ถ้าทศนิยมไม่ จำกัด ระยะเวลาจะถูกระบุก่อน จากนั้นทำตามขั้นตอนเหล่านี้เพื่อค้นหาเศษส่วนที่ได้:

- ตัวเศษคือการลบระหว่างจำนวน (โดยไม่มีเครื่องหมายจุลภาคหรือเครื่องหมายคาเร็ต) กับส่วนที่ไม่มีเครื่องหมายคาเร็ต

- ตัวส่วนคือจำนวนเต็มที่มีจำนวน 9 มากที่สุดเท่าที่มีตัวเลขอยู่ใต้เซอร์คัมเฟลกซ์และ 0 มากที่สุดเท่าที่มีตัวเลขในส่วนทศนิยมที่ไม่ได้อยู่ใต้เซอร์คัมเฟลกซ์

ลองทำตามขั้นตอนนี้เพื่อแปลงเลขฐานสิบ 0.428428428 …เป็นเศษส่วน

- ขั้นแรกให้ระบุช่วงเวลาซึ่งเป็นลำดับที่ซ้ำ: 428

- จากนั้นดำเนินการลบจำนวนโดยไม่มีเครื่องหมายจุลภาคหรือเน้นเสียง: 0428 จากส่วนที่ไม่มีเซอร์คัมเฟลกซ์ซึ่งเป็น 0 จึงเป็น 428 - 0 = 428

- ตัวส่วนถูกสร้างขึ้นโดยรู้ว่าภายใต้เซอร์คัมเฟลกซ์มีตัวเลข 3 ตัวและทั้งหมดอยู่ภายใต้เซอร์คัมเฟลกซ์ ดังนั้นตัวส่วนคือ 999

- สุดท้ายเศษส่วนจะถูกสร้างขึ้นและทำให้ง่ายขึ้นถ้าเป็นไปได้:

0.428 = 428/999

เป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้ง่ายขึ้น

การดำเนินการกับจำนวนตรรกยะ

- บวกและลบ

เศษส่วนที่มีตัวส่วนเดียวกัน

เมื่อเศษส่วนมีตัวส่วนเหมือนกันการบวกและ / หรือการลบมันก็ทำได้ง่ายมากเพราะตัวเศษจะถูกเพิ่มในเชิงพีชคณิตโดยปล่อยให้เหมือนกับส่วนที่บวกเป็นตัวส่วนของผลลัพธ์ สุดท้ายถ้าเป็นไปได้มันจะง่ายขึ้น

ตัวอย่าง

ดำเนินการเพิ่มพีชคณิตต่อไปนี้และลดความซับซ้อนของผลลัพธ์:

เศษส่วนที่เกิดขึ้นแล้วไม่สามารถวัดได้

เศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน

ในกรณีนี้การบวกจะถูกแทนที่ด้วยเศษส่วนที่เท่ากันโดยมีตัวส่วนเดียวกันจากนั้นจึงทำตามขั้นตอนที่อธิบายไว้แล้ว

ตัวอย่าง

เพิ่มตัวเลขเชิงพีชคณิตต่อไปนี้เพื่อให้ผลลัพธ์ง่ายขึ้น:

ขั้นตอนมีดังนี้

- กำหนดค่าตัวคูณที่พบน้อยที่สุด (lcm) ของตัวหาร 5, 8 และ 3:

lcm (5,8,3) = 120

นี่จะเป็นตัวส่วนของเศษส่วนที่ได้โดยไม่ต้องทำให้ง่าย

- สำหรับเศษส่วนแต่ละตัว: หาร LCM ด้วยตัวส่วนและคูณด้วยตัวเศษ ผลลัพธ์ของการดำเนินการนี้จะถูกวางโดยมีเครื่องหมายตามลำดับในตัวเศษของเศษส่วน ด้วยวิธีนี้จะได้เศษส่วนที่เทียบเท่ากับต้นฉบับ แต่มี LCM เป็นตัวส่วน

ตัวอย่างเช่นสำหรับเศษส่วนแรกตัวเศษจะสร้างแบบนี้: (120/5) x 4 = 96 และเราจะได้:

ดำเนินการในลักษณะเดียวกันกับเศษส่วนที่เหลือ:

ในที่สุดเศษส่วนที่เท่ากันจะถูกแทนที่โดยไม่ลืมเครื่องหมายและผลรวมพีชคณิตของตัวเศษจะดำเนินการ:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- การคูณและการหาร

การคูณและการหารทำได้ตามกฎที่แสดงด้านล่าง:

รูปที่ 3. กฎสำหรับการคูณและหารจำนวนตรรกยะ ที่มา: F. Zapata

ไม่ว่าในกรณีใดสิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าการคูณเป็นการสับเปลี่ยนซึ่งหมายความว่าลำดับของปัจจัยจะไม่เปลี่ยนแปลงผลิตภัณฑ์ สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นกับการหารดังนั้นต้องใช้ความระมัดระวังในการเคารพลำดับระหว่างเงินปันผลและตัวหาร

ตัวอย่าง 1

ดำเนินการต่อไปนี้และลดความซับซ้อนของผลลัพธ์:

ก) (5/3) x (8/15)

ข) (-4/5) ÷ (2/9)

คำตอบ

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

ตอบข

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

ตัวอย่าง 2

Luisa มีเงิน 45 เหรียญ เขาใช้เวลาหนึ่งในสิบในการซื้อหนังสือและ 2/5 ของสิ่งที่เหลืออยู่บนเสื้อยืด Luisa เหลือเงินเท่าไหร่? แสดงผลลัพธ์เป็นเศษส่วนที่วัดไม่ได้

สารละลาย

ราคาหนังสือ (1/10) x 45 เหรียญ = 0.1 x 45 เหรียญ = 4.5 เหรียญ

ดังนั้น Luisa จึงเหลือ:

45 - 4.5 $ = 40.5 $

ด้วยเงินจำนวนนั้น Luisa จึงไปที่ร้านเสื้อผ้าและซื้อเสื้อในราคาคือ:

(2/5) x 40.5 เหรียญ = 16.2 เหรียญ

ตอนนี้ Luisa มีผลงานของเธอ:

40.5 - 16.2 $ = 24.3 $

หากต้องการแสดงเป็นเศษส่วนจะเขียนดังนี้:

24.3 = 243/10

ที่ไม่สามารถลดได้

อ้างอิง

1. Baldor, A. 1986. เลขคณิต. รุ่นและการแจกจ่าย Codex
2. Carena ม. 2019 คู่มือคณิตศาสตร์. มหาวิทยาลัยแห่งชาติ Litoral
3. Figuera, J. 2000. Mathematics 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. พีชคณิต. ศิษย์ฮอลล์.
5. ตัวเลขที่เป็นเหตุเป็นผล กู้คืนจาก: Cimanet.uoc.edu.
6. สรุปตัวเลข. ดึงมาจาก: webdelprofesor.ula.ve.