จำนวนเต็ม: คุณสมบัติตัวอย่างแบบฝึกหัด - เลข - 2026

จำนวนเต็มเป็นชุดของตัวเลขที่มีประโยชน์ในการนับวัตถุ haves สมบูรณ์และยังไม่ได้ นอกจากนี้ให้นับผู้ที่อยู่ด้านหนึ่งและอีกด้านหนึ่งของสถานที่อ้างอิงบางแห่ง

นอกจากนี้ด้วยจำนวนเต็มคุณสามารถทำการลบหรือผลต่างระหว่างจำนวนกับอีกจำนวนหนึ่งที่มากกว่าจำนวนนั้นได้เช่นผลลัพธ์ที่ได้จะถูกชำระเป็นหนี้เป็นต้น ความแตกต่างระหว่างรายได้และหนี้สินจะทำด้วยเครื่องหมาย + และ - ตามลำดับ

รูปที่ 1. เส้นจำนวนสำหรับจำนวนเต็ม ที่มา: Wikimedia Commons Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)

ดังนั้นชุดของจำนวนเต็มจึงมีดังต่อไปนี้:

- จำนวนเต็มบวกซึ่งเขียนนำหน้าด้วยเครื่องหมาย + หรือไม่มีเครื่องหมายเนื่องจากเข้าใจว่าเป็นค่าบวก ตัวอย่างเช่น +1, +2, + 3 …และอื่น ๆ

- 0 ซึ่งเครื่องหมายไม่เกี่ยวข้องเนื่องจากไม่สำคัญว่าจะต้องบวกเพื่อลบออกจากปริมาณบางส่วน แต่ 0 มีความสำคัญมากเนื่องจากเป็นข้อมูลอ้างอิงสำหรับจำนวนเต็มด้านหนึ่งเป็นค่าบวกและอีกด้านหนึ่งเป็นเชิงลบดังที่เราเห็นในรูปที่ 1

- จำนวนเต็มลบซึ่งจะต้องเขียนนำหน้าด้วยเครื่องหมายเสมอ - เนื่องจากจำนวนเงินเช่นหนี้และจำนวนทั้งหมดที่อยู่ในอีกด้านหนึ่งของการอ้างอิงจะแตกต่างกัน ตัวอย่างของจำนวนเต็มลบ ได้แก่ -1, -2, -3 … และหลังจากนั้น

จำนวนเต็มเป็นตัวแทนอย่างไร?

ในตอนแรกเราแทนค่าจำนวนเต็มด้วยสัญกรณ์ชุด: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4 …} นั่นคือรายการและ จัด แต่การแทนค่าที่มีประโยชน์มากคือการใช้โดยเส้นจำนวน สิ่งนี้ต้องใช้การลากเส้นซึ่งโดยทั่วไปจะเป็นแนวนอนซึ่ง 0 ถูกทำเครื่องหมายและแบ่งออกเป็นส่วนที่เหมือนกัน:

รูปที่ 2. การแทนจำนวนเต็มบนเส้นจำนวน จาก 0 ไปทางขวาคือจำนวนเต็มบวกและจาก 0 ไปทางซ้ายคือจำนวนลบ ที่มา: F. Zapata

ค่าลบจะไปทางซ้ายของ 0 และค่าบวกจะไปทางขวา ลูกศรบนเส้นตัวเลขเป็นสัญลักษณ์ว่าตัวเลขไปที่อินฟินิตี้ เมื่อพิจารณาจากจำนวนเต็มใด ๆ คุณสามารถหาจำนวนเต็มมากกว่าหรืออื่นที่น้อยกว่าได้เสมอ

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็ม

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มคือระยะห่างระหว่างจำนวนถึง 0 และระยะทางจะเป็นค่าบวกเสมอ ดังนั้นค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบคือจำนวนที่ไม่มีเครื่องหมายลบ

ตัวอย่างเช่นค่าสัมบูรณ์ของ -5 คือ 5 ค่าสัมบูรณ์จะแสดงด้วยแท่งดังนี้:

--5- = 5

หากต้องการเห็นภาพให้นับช่องว่างบนเส้นจำนวนจาก -5 ถึง 0 ในขณะที่ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวกเป็นจำนวนเดียวกันตัวอย่างเช่น - + 3- = 3 เนื่องจากระยะห่างจาก 0 คือ มี 3 ช่อง:

รูปที่ 3 ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มเป็นจำนวนบวกเสมอ ที่มา: F. Zapata

คุณสมบัติ

- ชุดของจำนวนเต็มแสดงเป็น Z และรวมถึงชุดของจำนวนธรรมชาติ N องค์ประกอบของพวกมันไม่มีที่สิ้นสุด

- จำนวนเต็มและจำนวนที่ตามมา (หรือเลขที่นำหน้า) จะมีความแตกต่างกันอย่างเป็นเอกภาพ ตัวอย่างเช่นหลังจาก 5 มา 6 โดย 1 เป็นผลต่างระหว่างพวกเขา

- ทุกจำนวนเต็มมีบรรพบุรุษและตัวตายตัวแทน

- จำนวนเต็มบวกใด ๆ ที่มากกว่า 0

- จำนวนเต็มลบจะน้อยกว่า 0 เสมอและจำนวนบวกใด ๆ ยกตัวอย่างเช่นตัวเลข -100 นี่คือน้อยกว่า 2, มากกว่า 10 และมากกว่า 50 แต่ก็ยังน้อยกว่า -10, -20 และ -99 และมากกว่า -200

-The 0 ไม่มีการพิจารณาเครื่องหมายเนื่องจากไม่มีทั้งเชิงลบหรือเชิงบวก

- ด้วยจำนวนเต็มคุณสามารถดำเนินการเดียวกันกับตัวเลขธรรมชาติ ได้แก่ การบวกการลบการคูณการเสริมพลังและอื่น ๆ

- จำนวนเต็มตรงข้ามกับจำนวนเต็ม x คือ –x และผลรวมของจำนวนเต็มตรงข้ามคือ 0:

x + (-x) = 0

การดำเนินการกับจำนวนเต็ม

- ผลรวม

- หากตัวเลขที่จะเพิ่มมีเครื่องหมายเดียวกันระบบจะเพิ่มค่าสัมบูรณ์และผลลัพธ์จะถูกวางด้วยเครื่องหมายที่มีการบวก นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

ก) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

ข) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

- หากตัวเลขเป็นเครื่องหมายที่แตกต่างกันค่าสัมบูรณ์จะถูกลบออก (สูงสุดจากค่าต่ำสุด) และผลลัพธ์จะถูกวางด้วยเครื่องหมายของตัวเลขที่มีค่าสัมบูรณ์สูงสุดดังนี้:

ก) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

ข) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

คุณสมบัติของผลรวมของจำนวนเต็ม

- ผลรวมเป็นสับเปลี่ยนดังนั้นลำดับของการบวกจะไม่เปลี่ยนแปลงผลรวม ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มสองจำนวนมันเป็นจริงที่ a + b = b + a

-The 0 เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางของผลรวมของจำนวนเต็ม: a + 0 = a

- จำนวนเต็มใด ๆ ที่บวกกับตรงข้ามคือ 0 ตรงข้ามของ + a คือ –a และตรงกันข้ามกับ –a คือ + a ดังนั้น: (+ a) + (-a) = 0

รูปที่ 2. กฎของเครื่องหมายสำหรับการบวกจำนวนเต็ม ที่มา: Wikimedia Commons

- การลบ

ในการลบจำนวนเต็มต้องใช้กฎข้อนี้: การลบจะเทียบเท่ากับการบวกจำนวนที่ตรงกันข้าม ให้ a และ b เป็นสองจำนวนแล้ว:

ก - ข = a + (-b)

ตัวอย่างเช่นสมมติว่าคุณต้องดำเนินการต่อไปนี้: (-3) - (+7) จากนั้น:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- การคูณ

การคูณจำนวนเต็มเป็นไปตามกฎสำหรับสัญญาณ:

- ผลคูณของตัวเลขสองตัวที่มีเครื่องหมายเดียวกันจะเป็นค่าบวกเสมอ

- เมื่อคูณตัวเลขสองตัวที่มีเครื่องหมายต่างกันผลลัพธ์จะเป็นลบเสมอ

- มูลค่าของผลิตภัณฑ์เท่ากับการคูณค่าสัมบูรณ์ตามลำดับ

ตัวอย่างบางส่วนที่ชี้แจงข้างต้นทันที:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

สมบัติของการคูณจำนวนเต็ม

-Multiplication คือการสับเปลี่ยน ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มสองจำนวนมันเป็นจริง: ab = ba ซึ่งสามารถแสดงเป็น:

- องค์ประกอบที่เป็นกลางของการคูณคือ 1 ให้เป็นจำนวนเต็มดังนั้น a.1 = 1

- จำนวนเต็มคูณด้วย 0 เท่ากับ 0: a.0 = 0

คุณสมบัติการกระจาย

การคูณสอดคล้องกับคุณสมบัติการกระจายเมื่อเทียบกับการบวก ถ้า a, b และ c เป็นจำนวนเต็มแล้ว:

ก. (b + c) = ab + ac

นี่คือตัวอย่างวิธีใช้คุณสมบัตินี้:

(-3) = (-3). (- 4) + (- 3) .11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

การเสริมพลัง

- ถ้าฐานเป็นบวกผลลัพธ์ของการดำเนินการจะเป็นบวกเสมอ

- เมื่อฐานเป็นลบถ้าเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่ผลลัพธ์จะเป็นบวก และถ้าเลขชี้กำลังเป็นเลขคี่ผลลัพธ์จะเป็นลบ

- แผนก

กฎเครื่องหมายเดียวกันใช้ในการหารเช่นเดียวกับการคูณ:

- เมื่อหารจำนวนเต็มสองจำนวนของเครื่องหมายเดียวกันผลลัพธ์จะเป็นบวกเสมอ

- เมื่อหารจำนวนเต็มสองจำนวนที่มีเครื่องหมายต่างกันผลหารจะเป็นลบ

ตัวอย่างเช่น:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

สำคัญ : การหารไม่ได้เป็นการสับเปลี่ยนกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ÷ b ≠ b ÷ a และเช่นเคยไม่อนุญาตให้หารด้วย 0

- การเสริมพลัง

ให้ a เป็นจำนวนเต็มและเราต้องการยกให้เป็นเลขชี้กำลัง n จากนั้นเราต้องคูณ a ด้วยตัวเอง n ครั้งดังที่แสดงด้านล่าง:

กⁿ = aaaa … .. .a

พิจารณาสิ่งต่อไปนี้โดยคำนึงว่า n เป็นจำนวนธรรมชาติ:

- ถ้า a เป็นลบและ n เป็นเลขคู่ผลลัพธ์จะเป็นบวก

- เมื่อ a เป็นลบและ n เป็นเลขคี่จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ

- ถ้า a เป็นบวกและ n เป็นเลขคู่หรือเลขจำนวนเต็มบวกจะให้ผลลัพธ์เสมอ

- จำนวนเต็มใด ๆ ที่ยกเป็น 0 เท่ากับ 1: a ⁰ = 1

- ตัวเลขใด ๆ ที่ยกขึ้นเป็น 1 เท่ากับจำนวน: a ¹ = a

สมมติว่าเราต้องการหา (–3) ⁴โดยเราคูณ (-3) สี่ครั้งด้วยตัวเองดังนี้: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

อีกตัวอย่างหนึ่งที่มีจำนวนเต็มลบคือ:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

ผลคูณของฐานที่เท่าเทียมกัน

สมมติว่าสองพลังที่มีฐานเท่ากันถ้าเราคูณด้วยเราจะได้พลังอื่นที่มีฐานเดียวกันซึ่งเลขชี้กำลังคือผลรวมของเลขชี้กำลังที่กำหนด:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

ผลหารกำลังฐานที่เท่ากัน

เมื่อแบ่งกำลังของฐานที่เท่ากันผลลัพธ์ที่ได้คือพลังที่มีฐานเดียวกันซึ่งเลขชี้กำลังคือการลบของเลขชี้กำลังที่กำหนด:

กⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

นี่คือสองตัวอย่างที่ชี้แจงประเด็นเหล่านี้:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

ตัวอย่าง

มาดูตัวอย่างง่ายๆในการใช้กฎเหล่านี้โดยจำไว้ว่าในกรณีของจำนวนเต็มบวกสามารถจ่ายเครื่องหมายด้วย:

ก) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

ข) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

ค) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

ง) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

จ) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

ฉ) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

ก) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

ซ) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

ผม) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

- แบบฝึกหัด 1

มดเคลื่อนที่ไปตามเส้นจำนวนในรูปที่ 1 เริ่มจากจุด x = +3 มันจะทำการเคลื่อนไหวต่อไปนี้:

- ย้าย 7 หน่วยไปทางขวา

- ตอนนี้คุณกลับ 5 หน่วยไปทางซ้าย

- เดินไปทางซ้ายอีก 3 ยูนิต

- เขาถอยหลังและย้าย 4 หน่วยไปทางขวา

มดอยู่ที่จุดใดเมื่อสิ้นสุดการทัวร์?

สารละลาย

เรียกว่าการกระจัด D เมื่อพวกเขาอยู่ทางขวาพวกเขาจะได้รับเครื่องหมายบวกและเมื่อพวกเขาอยู่ทางซ้ายจะเป็นเครื่องหมายลบ ด้วยวิธีนี้และเริ่มจาก x = +3 เรามี:

- D แรก: x ₁ = +3 + 7 = +10

- วินาที D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

- D ที่สาม: x ₃ = +5 + (-3) = +2

- ห้อง D: x ₄ = +2 + 4 = +6

เมื่อมดเดินเสร็จมันจะอยู่ในตำแหน่ง x = +6 นั่นคือ 6 หน่วยทางขวาของ 0 บนเส้นจำนวน

- แบบฝึกหัด 2

แก้ไขการดำเนินการต่อไปนี้:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

สารละลาย

การดำเนินการนี้ประกอบด้วยเครื่องหมายการจัดกลุ่มซึ่ง ได้แก่ วงเล็บวงเล็บเหลี่ยมและวงเล็บปีกกา เมื่อแก้ปัญหาคุณต้องดูแลวงเล็บก่อนจากนั้นจึงจัดฟันและสุดท้ายจัดฟัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณต้องทำงานจากภายในสู่ภายนอก

ในแบบฝึกหัดนี้จุดหมายถึงการคูณ แต่ถ้าไม่มีจุดระหว่างตัวเลขกับวงเล็บหรือสัญลักษณ์อื่นก็เข้าใจว่าเป็นผลคูณด้วย

ด้านล่างของความละเอียดทีละขั้นตอนสีจะทำหน้าที่เป็นแนวทางในการติดตามผลลัพธ์ของการลดวงเล็บซึ่งเป็นสัญลักษณ์การจัดกลุ่มด้านในสุด:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- แบบฝึกหัด 3

แก้สมการองศาแรก:

12 + x = 30 + 3x

สารละลาย

คำศัพท์จะถูกจัดกลุ่มโดยไม่รู้จักทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันและคำที่เป็นตัวเลขทางด้านขวา:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

อ้างอิง

1. Carena, M. 2019. คู่มือคณิตศาสตร์เตรียมเข้ามหาวิทยาลัย. มหาวิทยาลัยแห่งชาติ Litoral
2. Figuera, J. 2000. 7th Grade Mathematics. รุ่น CO-BO
3. Hoffmann, J. 2005. การเลือกหัวข้อคณิตศาสตร์. สิ่งพิมพ์ Monfort
4. Jiménez, R. 2008. พีชคณิต. ศิษย์ฮอลล์.
5. ตัวเลขทั้งหมด กู้คืนจาก: Cimanet.uoc.edu.