โมเมนต์ความเฉื่อย: สูตรสมการและตัวอย่างการคำนวณ - กายภาพ - 2026

โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายแข็งด้วยความเคารพกับแกนบางอย่างของการหมุนแสดงให้เห็นถึงความต้านทานต่อการเปลี่ยนแปลงความเร็วเชิงมุมรอบแกนกล่าวว่า มันเป็นสัดส่วนกับมวลและตำแหน่งของแกนหมุนเนื่องจากร่างกายขึ้นอยู่กับรูปทรงเรขาคณิตสามารถหมุนรอบแกนบางแกนได้ง่ายกว่าแกนอื่น ๆ

สมมติว่าวัตถุขนาดใหญ่ (ประกอบด้วยอนุภาคจำนวนมาก) ซึ่งสามารถหมุนรอบแกนได้ สมมติว่าแรงFทำหน้าที่นำไปใช้สัมผัสกับองค์ประกอบของมวลΔm _ผมซึ่งเป็นผู้ผลิตแรงบิดหรือช่วงเวลาที่กำหนดโดยτ _{สุทธิ} = Σ r _ฉัน x Fฉัน เวกเตอร์r _iคือตำแหน่งของΔm _i (ดูรูปที่ 2)

รูปที่ 1. ช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยของตัวเลขต่างๆ ที่มา: Wikimedia Commons

โมเมนต์นี้ตั้งฉากกับระนาบการหมุน (ทิศทาง + k =ออกจากกระดาษ) เนื่องจากแรงและเวกเตอร์ตำแหน่งแนวรัศมีตั้งฉากกันเสมอผลิตภัณฑ์กากบาทจึงยังคงอยู่:

τ _net = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i ) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i ) k

รูปที่ 2. อนุภาคที่เป็นของของแข็งในการหมุน ที่มา: Serway, R. 2018 Physics for Science and Engineering. เล่ม 1. Cengage Learning.

ความเร่ง a _iแสดงถึงองค์ประกอบสัมผัสของความเร่งเนื่องจากความเร่งตามแนวรัศมีไม่ได้มีส่วนช่วยให้เกิดแรงบิด ในฐานะฟังก์ชันของการเร่งเชิงมุมαเราสามารถระบุได้ว่า:

ดังนั้นแรงบิดสุทธิจึงมีลักษณะดังนี้:

τ _net = ∑ Δm _i (α r _i ² ) k = ( ∑ r _i ² Δm _i ) α k

ความเร่งเชิงมุมαเหมือนกันสำหรับวัตถุทั้งหมดดังนั้นจึงไม่ได้รับผลกระทบจากตัวห้อย“ i” และสามารถออกจากการรวมซึ่งเป็นช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยของวัตถุที่มีสัญลักษณ์โดยตัวอักษร I:

นี่คือช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยของการกระจายมวลแบบไม่ต่อเนื่อง เมื่อการกระจายเป็นไปอย่างต่อเนื่องผลรวมจะถูกแทนที่ด้วยอินทิกรัลและΔmจะกลายเป็น dm ที่แตกต่างกันของมวล อินทิกรัลดำเนินการกับวัตถุทั้งหมด:

หน่วยสำหรับช่วงเวลาของความเฉื่อยในระบบนานาชาติ SI เป็นกก. XM 2 มันเป็นสเกลาร์และปริมาณบวกเนื่องจากเป็นผลคูณของมวลและกำลังสองของระยะทาง

ตัวอย่างการคำนวณ

วัตถุขยายเช่นแท่งดิสก์ทรงกลมหรืออื่น ๆ ซึ่งมีความหนาแน่นρคงที่และรู้ว่าความหนาแน่นเป็นอัตราส่วนมวลต่อปริมาตร dm ที่แตกต่างของมวลจะเขียนเป็น:

การแทนที่อินทิกรัลสำหรับช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยเรามี:

นี่คือนิพจน์ทั่วไปที่ใช้ได้สำหรับวัตถุสามมิติซึ่งโวลุ่ม V และตำแหน่งrเป็นฟังก์ชันของพิกัดเชิงพื้นที่ x, y และ z สังเกตว่าค่าคงที่ความหนาแน่นจะอยู่นอกอินทิกรัล

ความหนาแน่นρเรียกอีกอย่างว่าความหนาแน่นรวม แต่ถ้าวัตถุนั้นแบนมากเช่นแผ่นหรือบางมากและแคบเหมือนแท่งก็สามารถใช้ความหนาแน่นรูปแบบอื่นได้มาดูกัน:

- สำหรับแผ่นที่บางมากความหนาแน่นที่ใช้คือσความหนาแน่นของพื้นผิว (มวลต่อหน่วยพื้นที่) และ dA คือความแตกต่างของพื้นที่

- และถ้าเป็นแท่งบาง ๆ โดยที่ความยาวเท่านั้นที่เกี่ยวข้องจะใช้ความหนาแน่นของมวลเชิงเส้นλและความแตกต่างของความยาวตามแกนที่ใช้อ้างอิง

ในตัวอย่างต่อไปนี้วัตถุทั้งหมดถือว่าแข็ง (ไม่เปลี่ยนรูปได้) และมีความหนาแน่นสม่ำเสมอ

ช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยของแท่งบาง ๆ ที่เกี่ยวกับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลาง

ในที่นี้เราจะคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งความยาว L และมวล M ที่บางแข็งเป็นเนื้อเดียวกันเทียบกับแกนที่ผ่านตัวกลาง

ขั้นแรกจำเป็นต้องสร้างระบบพิกัดและสร้างตัวเลขด้วยรูปทรงเรขาคณิตที่เหมาะสมดังนี้:

รูปที่ 3 เรขาคณิตเพื่อคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งบาง ๆ เทียบกับแกนแนวตั้งที่ผ่านศูนย์กลางของมัน ที่มา: F. Zapata

แกน x ตามแถบและแกน y ถูกเลือกให้เป็นแกนของการหมุน ขั้นตอนในการสร้างอินทิกรัลยังต้องเลือกส่วนต่างมวลบนแท่งที่เรียกว่า dm ซึ่งมีความยาวแตกต่าง dx และอยู่ที่ตำแหน่ง x โดยพลการเทียบกับจุดศูนย์กลาง x = 0

ตามคำจำกัดความของความหนาแน่นของมวลเชิงเส้นλ:

เนื่องจากความหนาแน่นสม่ำเสมอซึ่งใช้ได้สำหรับ M และ L จึงใช้ได้กับ dm และ dx:

ในทางกลับกันองค์ประกอบมวลอยู่ในตำแหน่ง x ดังนั้นโดยการแทนที่เรขาคณิตนี้ในนิยามเรามีอินทิกรัลที่แน่นอนซึ่งขีด จำกัด คือปลายของแท่งตามระบบพิกัด:

การแทนที่ความหนาแน่นเชิงเส้นλ = M / L:

ในการค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งเทียบกับแกนการหมุนอีกแกนหนึ่งเช่นแท่งหนึ่งที่ผ่านปลายด้านใดด้านหนึ่งคุณสามารถใช้ทฤษฎีบทของ Steiner (ดูแบบฝึกหัดแก้ไขในตอนท้าย) หรือทำการคำนวณโดยตรงที่คล้ายกับที่แสดง ที่นี่ แต่ปรับเปลี่ยนรูปทรงเรขาคณิตให้เหมาะสม

ช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยของดิสก์ที่เกี่ยวกับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลาง

ดิสก์ที่บางมากที่มีความหนาเล็กน้อยเป็นรูปแบน ถ้ามวลกระจายอย่างสม่ำเสมอทั่วพื้นผิวทั้งหมดของพื้นที่ A ความหนาแน่นของมวลσคือ:

ทั้ง dm และ dA สอดคล้องกับมวลและพื้นที่ของวงแหวนดิฟเฟอเรนเชียลที่แสดงในรูป เราจะถือว่าชุดประกอบทั้งหมดหมุนรอบแกน y

คุณสามารถจินตนาการได้ว่าดิสก์ประกอบด้วยวงแหวนศูนย์กลางหลายวงของรัศมี r แต่ละวงมีโมเมนต์ความเฉื่อยตามลำดับ การเพิ่มการมีส่วนร่วมของวงแหวนทั้งหมดจนกระทั่งถึงรัศมี R เราจะมีโมเมนต์ความเฉื่อยทั้งหมดของดิสก์

รูปที่ 4. เรขาคณิตในการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของดิสก์ตามแกนแกน ที่มา: F. Zapata

โดยที่ M แทนมวลทั้งหมดของดิสก์ พื้นที่ของดิสก์ขึ้นอยู่กับรัศมี r เป็น:

ที่มาด้วยความเคารพ r:

การแทนที่ข้างต้นในคำจำกัดความของ I:

การแทนที่σ = M / (π.R ² ) เราจะได้:

โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมทึบเส้นผ่านศูนย์กลางประมาณหนึ่ง

ทรงกลมของรัศมี R ถือได้ว่าเป็นชุดของดิสก์ที่ซ้อนทับกันโดยที่แต่ละดิสก์ที่มีมวลน้อยที่สุด dm รัศมี r และความหนา dz มีโมเมนต์ความเฉื่อยที่กำหนดโดย:

ในการค้นหาความแตกต่างนี้เราเพียงแค่นำสูตรจากส่วนก่อนหน้านี้และแทนที่ M และ R สำหรับ dm และ r ตามลำดับ ดิสก์แบบนี้สามารถเห็นได้ในรูปทรงเรขาคณิตของรูปที่ 5

รูปที่ 5. เรขาคณิตเพื่อคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมทึบรัศมี R เทียบกับแกนที่ผ่านเส้นผ่านศูนย์กลาง ที่มา: F. Zapata

ด้วยการเพิ่มช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยที่น้อยที่สุดของดิสก์แบบเรียงซ้อนจะได้โมเมนต์ความเฉื่อยทั้งหมดของทรงกลม:

ซึ่งเทียบเท่ากับ:

ในการแก้อินทิกรัลคุณต้องแสดง dm อย่างเหมาะสม เช่นเคยทำได้จากความหนาแน่น:

ปริมาณของดิสก์ดิฟเฟอเรนเชียลคือ:

ความสูงของดิสก์คือความหนา dz ในขณะที่พื้นที่ของฐานคือπr ²ดังนั้น:

และการแทนที่ในอินทิกรัลที่เสนอจะมีลักษณะดังนี้:

แต่ก่อนที่จะรวมเราต้องสังเกตว่า r - รัศมีของดิสก์ - ขึ้นอยู่กับ z และ R - รัศมีของทรงกลม - ดังที่เห็นได้จากรูปที่ 5 โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ซึ่งนำเราไปสู่:

ในการผสานรวมกับทรงกลมทั้งหมดเราสังเกตว่า z แตกต่างกันระหว่าง –R และ R ดังนั้น:

เมื่อทราบว่าได้รับρ = M / V = ​​M / ในที่สุดหลังจากทำให้ง่ายขึ้น:

โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกทึบเทียบกับแกนตามแนวแกน

สำหรับวัตถุนี้จะใช้วิธีการที่คล้ายกับที่ใช้สำหรับทรงกลม แต่คราวนี้จะง่ายกว่าถ้าคิดว่าทรงกระบอกจะเกิดจากเปลือกทรงกระบอกที่มีรัศมี r ความหนา dr และความสูง H ราวกับว่าเป็นชั้นของหัวหอม .

รูปที่ 6. เรขาคณิตเพื่อคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของรัศมีทรงกระบอกทึบ R เทียบกับแกนตามแนวแกน ที่มา: Serway, R. 2018 Physics for Science and Engineering. เล่ม 1. Cengage.

ปริมาตร dV ของชั้นทรงกระบอกคือ:

ดังนั้นมวลเปลือกคือ:

นิพจน์นี้ถูกแทนที่ในนิยามของโมเมนต์ความเฉื่อย:

สมการข้างต้นบ่งชี้ว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของกระบอกสูบไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาว แต่ขึ้นอยู่กับมวลและรัศมีเท่านั้น ถ้า L เปลี่ยนไปโมเมนต์ความเฉื่อยของแกนแกนจะยังคงเหมือนเดิม ด้วยเหตุนี้ I ของกระบอกสูบจึงเกิดขึ้นพร้อมกับของ Thin Disk ที่คำนวณไว้ก่อนหน้านี้

โมเมนต์ความเฉื่อยของแผ่นสี่เหลี่ยมเทียบกับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลาง

แกน y แนวนอนถูกเลือกให้เป็นแกนของการหมุน รูปด้านล่างแสดงรูปทรงเรขาคณิตที่จำเป็นในการผสานรวม:

รูปที่ 7. เรขาคณิตสำหรับคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของแผ่นสี่เหลี่ยมโดยเทียบกับแกนขนานกับแผ่นและผ่านจุดศูนย์กลาง ที่มา: F. Zapata

องค์ประกอบพื้นที่ที่ทำเครื่องหมายด้วยสีแดงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นที่ของมันคือฐาน x สูงดังนั้น:

ดังนั้นความแตกต่างของมวลคือ:

สำหรับระยะห่างจากองค์ประกอบพื้นที่ถึงแกนของการหมุนนั้นจะเป็น z เสมอ เราแทนที่ทั้งหมดนี้ในส่วนหนึ่งของช่วงเวลาแห่งความเฉื่อย:

ตอนนี้ความหนาแน่นของมวลพื้นผิวσถูกแทนที่ด้วย:

และมีลักษณะดังนี้:

สังเกตว่ามันเหมือนกับแท่งบาง ๆ

โมเมนต์ความเฉื่อยของแผ่นสี่เหลี่ยมเทียบกับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลาง

สำหรับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน L ในนิพจน์ก่อนหน้านี้ใช้ได้กับสี่เหลี่ยมผืนผ้าให้แทนที่ค่า b แทนค่าของ L:

ช่วงเวลาของทฤษฎีบทความเฉื่อย

มีทฤษฎีบทที่มีประโยชน์อย่างยิ่งสองประการในการลดความซับซ้อนของการคำนวณช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยเมื่อเทียบกับแกนอื่น ๆ ซึ่งอาจเป็นเรื่องยากที่จะหาได้เนื่องจากไม่มีความสมมาตร ทฤษฎีบทเหล่านี้คือ:

ทฤษฎีบทของ Steiner

เรียกอีกอย่างว่าทฤษฎีบทแกนขนานซึ่งเกี่ยวข้องกับโมเมนต์ความเฉื่อยเทียบกับแกนกับอีกแกนหนึ่งที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุตราบใดที่แกนขนานกัน ในการนำไปใช้จำเป็นต้องทราบระยะห่าง D ระหว่างแกนทั้งสองและแน่นอนมวล M ของวัตถุ

ให้ฉัน_{z เป็น}โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่ขยายตามแกน z ฉัน_CMโมเมนต์ความเฉื่อยเทียบกับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล (CM) ของวัตถุดังกล่าวจากนั้นก็พอใจที่:

หรือในสัญกรณ์ของรูปต่อไปนี้: I _{z '} = I _z + Md ²

รูปที่ 8. ทฤษฎีบทของ Steiner หรือแกนขนาน ที่มา: Wikimedia Commons แจ็คเห็น

ทฤษฎีบทแกนตั้งฉาก

ทฤษฎีบทนี้ใช้กับพื้นผิวระนาบและเป็นเช่นนี้โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุระนาบรอบแกนที่ตั้งฉากกับมันคือผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยรอบสองแกนที่ตั้งฉากกับแกนแรก:

รูปที่ 9. ทฤษฎีบทแกนตั้งฉาก ที่มา: F. Zapata

ถ้าวัตถุมีความสมมาตรโดยที่ I _xและ I _yเท่ากันแสดงว่า:

การออกกำลังกายได้รับการแก้ไข

ค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งเทียบกับแกนที่ผ่านปลายด้านใดด้านหนึ่งดังแสดงในรูปที่ 1 (ด้านล่างและด้านขวา) และรูปที่ 10

รูปที่ 10 โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งเนื้อเดียวกันรอบแกนที่ผ่านปลายด้านหนึ่ง ที่มา: F. Zapata

สารละลาย:

เรามีโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางทางเรขาคณิตแล้ว เนื่องจากแท่งเป็นเนื้อเดียวกันจุดศูนย์กลางมวลจึงอยู่ที่จุดนั้นดังนั้นนี่จะเป็น I _CMของเราที่จะใช้ทฤษฎีบทของ Steiner

ถ้าความยาวของแท่งคือ L แกน z จะอยู่ที่ระยะ D = L / 2 ดังนั้น:

อ้างอิง

1. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. เล่มที่ 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. ความรู้พื้นฐานทางฟิสิกส์. เพียร์สัน 190-200.
3. ทฤษฎีบทแกนคู่ขนาน สืบค้นจาก: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018 Physics for Science and Engineering. เล่ม 1. Cengage.
5. มหาวิทยาลัยเซบีญ่า โมเมนต์ความเฉื่อยของของแข็งทรงกลม ดึงมาจาก: laplace.us.es.
6. มหาวิทยาลัยเซบีญ่า โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบอนุภาค ดึงมาจาก: laplace.us.es.
7. Wikipedia ทฤษฎีบทแกนขนาน สืบค้นจาก: en.wikipedia.org