พีชคณิตเวกเตอร์: ปัจจัยพื้นฐานขนาดเวกเตอร์ - เลข

พีชคณิตเวกเตอร์เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่ระบบการศึกษาของสมการเชิงเส้นเวกเตอร์, เมทริกซ์ช่องว่างเวกเตอร์และการแปลงเชิงเส้น มันเกี่ยวข้องกับสาขาต่างๆเช่นวิศวกรรมการแก้สมการเชิงอนุพันธ์การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันการวิจัยการปฏิบัติการคอมพิวเตอร์กราฟิกและอื่น ๆ

อีกพื้นที่หนึ่งที่พีชคณิตเชิงเส้นได้นำมาใช้คือฟิสิกส์เนื่องจากด้วยเหตุนี้จึงเป็นไปได้ที่จะพัฒนาการศึกษาปรากฏการณ์ทางกายภาพโดยอธิบายผ่านการใช้เวกเตอร์ สิ่งนี้ทำให้เกิดความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับจักรวาล

ความรู้พื้นฐาน

พีชคณิตเวกเตอร์เกิดจากการศึกษาควอเทอร์เนียน (ส่วนขยายของจำนวนจริง) 1, i, j และ k รวมทั้งจากเรขาคณิตคาร์ทีเซียนที่กิบส์และเฮวิไซด์ได้รับการส่งเสริมซึ่งตระหนักว่าเวกเตอร์จะทำหน้าที่เป็นเครื่องมือสำหรับ เป็นตัวแทนของปรากฏการณ์ทางกายภาพต่างๆ

พีชคณิตเวกเตอร์ได้รับการศึกษาผ่านปัจจัยพื้นฐานสามประการ:

เรขาคณิต

เวกเตอร์แสดงด้วยเส้นที่มีการวางแนวและการดำเนินการเช่นการบวกการลบและการคูณด้วยจำนวนจริงถูกกำหนดโดยวิธีทางเรขาคณิต

วิเคราะห์

คำอธิบายของเวกเตอร์และการดำเนินการทำด้วยตัวเลขเรียกว่าส่วนประกอบ คำอธิบายประเภทนี้เป็นผลมาจากการแทนค่าทางเรขาคณิตเนื่องจากมีการใช้ระบบพิกัด

axiomatically

มีการสร้างคำอธิบายของเวกเตอร์โดยไม่คำนึงถึงระบบพิกัดหรือการแสดงทางเรขาคณิตประเภทใดก็ตาม

การศึกษาตัวเลขในอวกาศทำได้โดยการนำเสนอในระบบอ้างอิงซึ่งอาจเป็นมิติเดียวหรือหลายมิติก็ได้ ในบรรดาระบบหลัก ได้แก่ :

- ระบบมิติเดียวซึ่งเป็นเส้นตรงที่จุดหนึ่ง (O) แสดงถึงจุดกำเนิดและอีกจุดหนึ่ง (P) กำหนดมาตราส่วน (ความยาว) และทิศทาง:

- ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (สองมิติ) ซึ่งประกอบด้วยเส้นตั้งฉากสองเส้นที่เรียกว่าแกน x และแกน y ซึ่งผ่านจุดกำเนิด (O) ด้วยวิธีนี้เครื่องบินจะถูกแบ่งออกเป็นสี่ภูมิภาคที่เรียกว่า quadrants ในกรณีนี้จุด (P) ในระนาบจะถูกกำหนดโดยระยะทางที่มีอยู่ระหว่างแกนและ P

- ระบบพิกัดเชิงขั้ว (สองมิติ) ในกรณีนี้ระบบประกอบด้วยจุด O (จุดกำเนิด) ซึ่งเรียกว่าขั้วและรังสีที่มีจุดกำเนิดใน O เรียกว่าแกนขั้ว ในกรณีนี้จุด P ของระนาบโดยอ้างอิงกับขั้วและแกนขั้วจะถูกกำหนดโดยมุม (Ɵ) ซึ่งเกิดจากระยะห่างระหว่างจุดกำเนิดและจุด P

- ระบบสามมิติสี่เหลี่ยมซึ่งเกิดจากเส้นตั้งฉากสามเส้น (x, y, z) ซึ่งมีจุดกำเนิดเป็นจุด O ในอวกาศ เครื่องบินสามพิกัดถูกสร้างขึ้น: xy, xz และ yz; พื้นที่จะถูกแบ่งออกเป็นแปดส่วนที่เรียกว่า octants การอ้างอิงของจุด P ในอวกาศได้รับจากระยะทางที่มีอยู่ระหว่างระนาบและ P

เคาะ

ขนาดคือปริมาณทางกายภาพที่สามารถนับหรือวัดได้ด้วยค่าตัวเลขเช่นในกรณีของปรากฏการณ์ทางกายภาพบางอย่าง อย่างไรก็ตามหลายครั้งจำเป็นที่จะต้องสามารถอธิบายปรากฏการณ์เหล่านี้ด้วยปัจจัยอื่นที่ไม่ใช่ตัวเลข นั่นคือเหตุผลที่ขนาดแบ่งออกเป็นสองประเภท:

ขนาดสเกลาร์

เป็นปริมาณที่กำหนดและแสดงเป็นตัวเลข นั่นคือโดยโมดูลพร้อมกับหน่วยวัด ตัวอย่างเช่น:

ก) เวลา: 5 วินาที

b) มวล: 10 กก.

c) ปริมาตร: 40 มล.

ง) อุณหภูมิ: 40 ºC.

ขนาดเวกเตอร์

เป็นปริมาณที่กำหนดและแสดงโดยโมดูลร่วมกับหน่วยเช่นเดียวกับความรู้สึกและทิศทาง ตัวอย่างเช่น:

ก) ความเร็ว: (5ȋ - 3ĵ) m / s

b) การเร่งความเร็ว: 13 m / s ² ; ส45ºอี

c) แรง: 280 N, 120º

d) น้ำหนัก: -40 ĵกก. - ฉ.

ปริมาณเวกเตอร์แสดงเป็นกราฟิกด้วยเวกเตอร์

เวกเตอร์คืออะไร?

เวกเตอร์คือการแสดงกราฟิกของปริมาณเวกเตอร์ นั่นคือส่วนของเส้นตรงซึ่งปลายสุดท้ายคือปลายลูกศร

สิ่งเหล่านี้กำหนดโดยโมดูลหรือความยาวของส่วนทิศทางซึ่งระบุด้วยปลายลูกศรและทิศทางตามเส้นที่มันอยู่ จุดกำเนิดของเวกเตอร์เรียกอีกอย่างว่าจุดของแอปพลิเคชัน

องค์ประกอบของเวกเตอร์มีดังนี้:

โมดูล

มันคือระยะทางจากจุดเริ่มต้นถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ซึ่งแสดงด้วยจำนวนจริงพร้อมกับหน่วย ตัวอย่างเช่น:

-OM- = -A- = A = 6 ซม

ที่อยู่

มันคือการวัดของมุมที่มีอยู่ระหว่างแกน x (จากค่าบวก) และเวกเตอร์รวมทั้งใช้จุดสำคัญ (เหนือใต้ตะวันออกและตะวันตก)

ความรู้สึก

มันถูกกำหนดโดยหัวลูกศรที่อยู่ท้ายเวกเตอร์ซึ่งระบุตำแหน่งที่มันจะไป

การจำแนกประเภทของเวกเตอร์

โดยทั่วไปเวกเตอร์จัดเป็น:

เวกเตอร์คงที่

เป็นจุดที่มีการแก้ไขจุดของการใช้งาน (จุดเริ่มต้น) นั่นคือมันยังคงเชื่อมโยงกับจุดหนึ่งในอวกาศดังนั้นจึงไม่สามารถเคลื่อนที่เข้าไปได้

เวกเตอร์ฟรี

มันสามารถเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระในอวกาศเนื่องจากต้นกำเนิดเคลื่อนที่ไปยังจุดใดก็ได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนโมดูลทิศทางหรือทิศทาง

เวกเตอร์ตัวเลื่อน

เป็นสิ่งที่สามารถถ่ายทอดต้นกำเนิดไปตามแนวปฏิบัติโดยไม่ต้องเปลี่ยนโมดูลทิศทางหรือทิศทาง

คุณสมบัติของเวกเตอร์

คุณสมบัติหลักของเวกเตอร์มีดังต่อไปนี้:

ทีมเวกเตอร์

พวกมันคือเวกเตอร์อิสระที่มีโมดูลทิศทางเดียวกัน (หรือขนานกัน) และรับความรู้สึกเป็นเวกเตอร์เลื่อนหรือเวกเตอร์คงที่

เวกเตอร์เทียบเท่า

เกิดขึ้นเมื่อเวกเตอร์สองตัวมีทิศทางเดียวกัน (หรือขนานกัน) ความรู้สึกเดียวกันและถึงแม้จะมีโมดูลและจุดใช้งานที่แตกต่างกัน แต่ก็ทำให้เกิดผลเช่นเดียวกัน

ความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์

สิ่งเหล่านี้มีโมดูลทิศทางและความรู้สึกเหมือนกันแม้ว่าจุดเริ่มต้นจะแตกต่างกันซึ่งทำให้เวกเตอร์คู่ขนานสามารถแปลตัวเองได้โดยไม่ส่งผลกระทบต่อมัน

ตรงข้ามเวกเตอร์

พวกเขาเป็นผู้ที่มีโมดูลและทิศทางเดียวกัน แต่ความหมายตรงกันข้าม

เวกเตอร์หน่วย

เป็นโมดูลที่มีค่าเท่ากับหน่วย (1) สิ่งนี้ได้มาจากการหารเวกเตอร์ด้วยโมดูลและใช้เพื่อกำหนดทิศทางและความรู้สึกของเวกเตอร์ไม่ว่าจะในระนาบหรือในอวกาศโดยใช้เวกเตอร์ฐานหรือหน่วยปกติซึ่ง ได้แก่ :

เวกเตอร์ Null

มันคือโมดูลัสที่มีค่าเท่ากับ 0 นั่นคือจุดเริ่มต้นและจุดจบตรงจุดเดียวกัน

ส่วนประกอบของเวกเตอร์

ส่วนประกอบของเวกเตอร์คือค่าของการคาดการณ์ของเวกเตอร์บนแกนของระบบอ้างอิง ขึ้นอยู่กับการสลายตัวของเวกเตอร์ซึ่งอาจอยู่บนแกนสองหรือสามมิติจะได้ส่วนประกอบสองหรือสามชิ้นตามลำดับ

ส่วนประกอบของเวกเตอร์คือจำนวนจริงซึ่งอาจเป็นบวกลบหรือแม้แต่ศูนย์ (0)

ดังนั้นหากเรามีเวกเตอร์Āโดยมีจุดกำเนิดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในระนาบ xy (สองมิติ) การฉายบนแกน x คือĀxและการฉายบนแกน y คือĀy ดังนั้นเวกเตอร์จะแสดงเป็นผลรวมของเวกเตอร์ส่วนประกอบ

ตัวอย่าง

ตัวอย่างแรก

เรามีเวกเตอร์Āที่เริ่มต้นจากจุดกำเนิดและกำหนดพิกัดของจุดสิ้นสุด ดังนั้นเวกเตอร์Ā = (Ā _x , A _y ) = (4, 5) ซม.

ถ้าเวกเตอร์Āทำหน้าที่ที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดสามเหลี่ยมสามมิติ (ในอวกาศ) x, y, z ถึงจุดอื่น (P) เส้นโครงบนแกนของมันจะเป็นĀx, ĀyและĀz; ดังนั้นเวกเตอร์จะแสดงเป็นผลรวมของเวกเตอร์สามองค์ประกอบ

ตัวอย่างที่สอง

เรามีเวกเตอร์Āที่เริ่มต้นจากจุดกำเนิดและกำหนดพิกัดของจุดสิ้นสุด ดังนั้นเวกเตอร์Ā = (A _x , A _y, A _z ) = (4, 6, -3) ซม.

เวกเตอร์ที่มีพิกัดสี่เหลี่ยมสามารถแสดงในรูปของเวกเตอร์ฐาน ในการนั้นพิกัดแต่ละอันจะต้องคูณด้วยเวกเตอร์หน่วยของมันเท่านั้นในลักษณะที่สำหรับระนาบและอวกาศจะเป็นดังต่อไปนี้:

สำหรับเครื่องบิน: Ā = A _x i + A _y j

สำหรับช่องว่าง: Ā = A _x i + A _y j + A _z k

การดำเนินการเวกเตอร์

มีปริมาณมากมายที่มีโมดูลความรู้สึกและทิศทางเช่นความเร่งความเร็วการเคลื่อนที่แรงและอื่น ๆ

สิ่งเหล่านี้ถูกนำไปใช้ในสาขาต่างๆของวิทยาศาสตร์และในบางกรณีจำเป็นต้องดำเนินการเช่นการบวกการลบการคูณและการหารเวกเตอร์และสเกลาร์

การบวกและการลบเวกเตอร์

การบวกและการลบเวกเตอร์ถือเป็นการดำเนินการทางพีชคณิตเชิงเดียวเนื่องจากการลบสามารถเขียนเป็นผลรวมได้ ตัวอย่างเช่นการลบเวกเตอร์ĀและĒสามารถแสดงเป็น:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

มีวิธีการที่แตกต่างกันในการบวกและการลบเวกเตอร์: สามารถเป็นกราฟิกหรือเชิงวิเคราะห์

วิธีการแบบกราฟิก

ใช้เมื่อเวกเตอร์มีโมดูลทิศทางและทิศทาง สำหรับสิ่งนี้เส้นจะถูกวาดขึ้นซึ่งเป็นรูปเป็นร่างที่ช่วยกำหนดผลลัพธ์ในภายหลัง ในบรรดาสิ่งที่รู้จักกันดีมีดังต่อไปนี้:

วิธีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ในการทำการบวกหรือลบเวกเตอร์สองตัวจุดร่วมจะถูกเลือกบนแกนพิกัดซึ่งจะแสดงถึงจุดกำเนิดของเวกเตอร์ - โดยรักษาโมดูลทิศทางและทิศทางไว้

จากนั้นเส้นจะลากขนานกับเวกเตอร์เพื่อสร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เวกเตอร์ที่ได้คือเส้นทแยงมุมที่ไปจากจุดกำเนิดของเวกเตอร์ทั้งสองไปยังจุดยอดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

วิธีสามเหลี่ยม

ในวิธีนี้เวกเตอร์จะถูกวางทีละตัวโดยรักษาโมดูลทิศทางและทิศทางไว้ เวกเตอร์ที่ได้จะเป็นการรวมกันของจุดกำเนิดของเวกเตอร์ตัวแรกโดยต่อท้ายเวกเตอร์ที่สอง:

วิธีการวิเคราะห์

สามารถเพิ่มหรือลบเวกเตอร์ตั้งแต่สองตัวขึ้นไปโดยใช้วิธีทางเรขาคณิตหรือเวกเตอร์:

วิธีการทางเรขาคณิต

เมื่อเวกเตอร์สองตัวสร้างรูปสามเหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมด้านขนาน m) .push ({});

- คุณสมบัติการกระจายของสเกลาร์: ถ้าเวกเตอร์คูณด้วยผลรวมของสเกลาร์สองตัวจะเท่ากับการคูณของเวกเตอร์สำหรับสเกลาร์แต่ละตัว

การคูณเวกเตอร์

การคูณหรือผลคูณของเวกเตอร์สามารถทำได้เป็นการบวกหรือการลบ แต่การทำแบบนั้นจะสูญเสียความหมายทางกายภาพและแทบไม่เคยพบในแอปพลิเคชัน ด้วยเหตุนี้ประเภทของผลิตภัณฑ์ที่ใช้บ่อยที่สุดคือผลิตภัณฑ์สเกลาร์และเวกเตอร์

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์

เรียกอีกอย่างว่าดอทโปรดัคของเวกเตอร์สองตัว เมื่อโมดูลของเวกเตอร์สองตัวคูณด้วยโคไซน์ของมุมที่เล็กที่สุดที่เกิดขึ้นระหว่างพวกเขาจะได้สเกลาร์ ในการแสดงผลคูณสเกลาร์ระหว่างเวกเตอร์สองเวกเตอร์จุดจะถูกวางไว้ระหว่างพวกมันและสามารถกำหนดเป็น

ค่าของมุมที่มีอยู่ระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองจะขึ้นอยู่กับว่ามันขนานกันหรือตั้งฉาก ดังนั้นคุณต้อง:

- ถ้าเวกเตอร์ขนานกันและมีความรู้สึกเหมือนกันโคไซน์0º = 1

- ถ้าเวกเตอร์ขนานกันและมีทิศทางตรงกันข้ามโคไซน์180º = -1

- ถ้าเวกเตอร์ตั้งฉากกันโคไซน์90º = 0

นอกจากนี้ยังสามารถคำนวณมุมนั้นได้โดยรู้ว่า:

ผลิตภัณฑ์ดอทมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

- คุณสมบัติการสับเปลี่ยน: ลำดับของเวกเตอร์ไม่ได้เปลี่ยนสเกลาร์

-Distributive property: ถ้าสเกลาร์คูณด้วยผลรวมของเวกเตอร์สองตัวจะเท่ากับการคูณของสเกลาร์สำหรับแต่ละเวกเตอร์

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

การคูณเวกเตอร์หรือผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ A และ B สองตัวจะทำให้ได้เวกเตอร์ C ใหม่และแสดงโดยใช้กากบาทระหว่างเวกเตอร์:

เวกเตอร์ใหม่จะมีลักษณะเฉพาะของตัวเอง ทางนั้น:

- ทิศทาง: เวกเตอร์ใหม่นี้จะตั้งฉากกับระนาบซึ่งกำหนดโดยเวกเตอร์เดิม

- ทิศทาง: สิ่งนี้ถูกกำหนดด้วยกฎของมือขวาโดยที่เวกเตอร์ A หันไปทาง B แสดงทิศทางการหมุนด้วยนิ้วมือและทิศทางของเวกเตอร์จะถูกทำเครื่องหมายด้วยนิ้วหัวแม่มือ

- โมดูล: มันถูกกำหนดโดยการคูณของโมดูลของเวกเตอร์ AxB โดยไซน์ของมุมที่เล็กที่สุดที่มีอยู่ระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ มันแสดงออก:

ค่าของมุมที่มีอยู่ระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองจะขึ้นอยู่กับว่าทั้งสองขนานกันหรือตั้งฉากกัน ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะระบุสิ่งต่อไปนี้:

- ถ้าเวกเตอร์ขนานกันและมีความรู้สึกเหมือนกันไซน์0º = 0

- ถ้าเวกเตอร์ขนานกันและมีทิศทางตรงกันข้ามไซน์180º = 0

- ถ้าเวกเตอร์ตั้งฉากไซน์90º = 1

เมื่อผลิตภัณฑ์เวกเตอร์แสดงในรูปของเวกเตอร์ฐานเรามี: