FACTORING: วิธีการและตัวอย่าง - เลข - 2025

การแยกตัวประกอบเป็นวิธีการที่พหุนามแสดงเป็นปัจจัยการคูณซึ่งอาจเป็นตัวเลขหรือตัวอักษรหรือทั้งสองอย่าง ในการแยกตัวประกอบปัจจัยที่ร่วมกันของคำจะถูกจัดกลุ่มเข้าด้วยกันและด้วยวิธีนี้พหุนามจะถูกย่อยสลายเป็นหลายพหุนาม

ดังนั้นเมื่อคูณปัจจัยเข้าด้วยกันผลลัพธ์จะเป็นพหุนามดั้งเดิม การแยกตัวประกอบเป็นวิธีการที่มีประโยชน์มากเมื่อคุณมีนิพจน์พีชคณิตเพราะสามารถแปลงเป็นการคูณของคำศัพท์ง่ายๆหลาย ๆ คำได้ ตัวอย่างเช่น 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b)

มีบางกรณีที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบพหุนามได้เนื่องจากไม่มีปัจจัยร่วมระหว่างคำศัพท์ของมัน ดังนั้นนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตเหล่านี้จึงหารด้วยตัวเองและด้วย 1 เท่านั้นตัวอย่างเช่น x + y + z

ในนิพจน์พีชคณิตปัจจัยร่วมคือตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของคำศัพท์ที่ประกอบขึ้น

วิธีการแยกตัวประกอบ

มีวิธีการแยกตัวประกอบหลายวิธีซึ่งใช้ขึ้นอยู่กับกรณี บางส่วนมีดังนี้:

การแยกตัวประกอบโดยปัจจัยร่วม

ในวิธีนี้จะมีการระบุปัจจัยที่พบบ่อย นั่นคือสิ่งที่ซ้ำกันในเงื่อนไขของนิพจน์ จากนั้นจึงใช้คุณสมบัติการกระจายตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและการแยกตัวประกอบจะเสร็จสมบูรณ์

กล่าวอีกนัยหนึ่งปัจจัยทั่วไปของนิพจน์ถูกระบุและแต่ละคำจะถูกหารด้วยมัน เงื่อนไขผลลัพธ์จะคูณด้วยตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดเพื่อแสดงการแยกตัวประกอบ

ตัวอย่าง 1

ตัวประกอบ (b ² x) + (b ² y)

สารละลาย

ขั้นแรกให้คุณค้นหาปัจจัยร่วมของแต่ละคำซึ่งในกรณีนี้คือ b ²จากนั้นหารเงื่อนไขด้วยปัจจัยร่วมดังนี้:

(ข² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y

การแยกตัวประกอบจะแสดงโดยการคูณปัจจัยร่วมด้วยเงื่อนไขผลลัพธ์:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y)

ตัวอย่าง 2

ตัวประกอบ (2a ² b ³ ) + (3ab ² )

สารละลาย

ในกรณีนี้เรามีสองปัจจัยที่ซ้ำกันในแต่ละเทอมนั่นคือ "a" และ "b" และที่ยกกำลังขึ้น ในการแยกตัวประกอบคำศัพท์ทั้งสองจะถูกย่อยสลายครั้งแรกในรูปแบบยาว:

2 _*ก_*ก_*ข_*ข_* b + 3a _* b _*ข

จะเห็นได้ว่าตัวประกอบ "a" ซ้ำเพียงครั้งเดียวในเทอมที่สองและตัวประกอบ "b" ซ้ำสองครั้งในนี้ ดังนั้นในเทอมแรกมีเพียง 2 ตัวประกอบ "a" และตัวประกอบ "b"; ในขณะที่ในเทอมที่สองเหลือเพียง 3

ดังนั้นเวลาที่ "a" และ "b" ซ้ำกันจะถูกเขียนและคูณด้วยปัจจัยที่เหลือจากแต่ละคำดังที่แสดงในภาพ:

การจัดกลุ่มแฟ็กเตอริง

เนื่องจากไม่ใช่ในทุกกรณีตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของพหุนามจะแสดงอย่างชัดเจนจึงจำเป็นต้องทำขั้นตอนอื่น ๆ เพื่อให้สามารถเขียนพหุนามใหม่ได้และด้วยเหตุนี้ปัจจัย

หนึ่งในขั้นตอนเหล่านั้นคือการจัดกลุ่มเงื่อนไขของพหุนามออกเป็นหลายกลุ่มจากนั้นใช้วิธีตัวประกอบร่วม

ตัวอย่าง 1

ตัวประกอบ ac + bc + ad + bd

สารละลาย

มีปัจจัย 4 ประการที่มีสองปัจจัยร่วมกัน: ในเทอมแรกคือ« c »และในครั้งที่สองคือ« d » ด้วยวิธีนี้ทั้งสองคำจะถูกจัดกลุ่มและแยกออกจากกัน:

(ac + bc) + (ad + bd)

ตอนนี้เป็นไปได้ที่จะใช้วิธีตัวประกอบร่วมโดยหารแต่ละเทอมด้วยปัจจัยร่วมแล้วคูณปัจจัยร่วมนั้นด้วยเงื่อนไขที่เป็นผลลัพธ์ดังนี้:

(ac + bc) / c = a + b

(โฆษณา + bd) / d = a + b

ค (a + b) + d (a + b)

ตอนนี้เราได้ทวินามที่ใช้ร่วมกันสำหรับทั้งสองคำ ในการแยกตัวประกอบมันจะคูณด้วยปัจจัยที่เหลือ ด้วยวิธีนี้คุณต้อง:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b)

การตรวจสอบแฟ็กเตอริง

วิธีนี้ใช้เพื่อแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสองหรือที่เรียกว่าไตรโนเมียล นั่นคือสิ่งที่มีโครงสร้างเป็นขวาน² ± bx + c โดยที่ค่าของ“ a” แตกต่างจาก 1 วิธีนี้ยังใช้เมื่อไตรโนเมียลมีรูปแบบ x ² ± bx + c และค่าของ“ a” = 1.

ตัวอย่าง 1

ตัวประกอบ x ² + 5x + 6

สารละลาย

เรามีไตรโนเมียลกำลังสองของรูปแบบ x ² ± bx + c ในการแยกตัวประกอบอันดับแรกคุณต้องหาตัวเลขสองตัวที่เมื่อคูณกันแล้วให้ผลลัพธ์เป็นค่า« c » (นั่นคือ 6) และผลรวมของมันจะเท่ากับสัมประสิทธิ์« b »ซึ่งก็คือ 5 ตัวเลขเหล่านั้นคือ 2 และ 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

ด้วยวิธีนี้นิพจน์จะง่ายขึ้นดังนี้:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

แต่ละคำมีการแยกตัวประกอบ:

- สำหรับ (x ² + 2x) จะใช้คำทั่วไป: x (x + 2)

- สำหรับ (3x + 6) = 3 (x + 2)

ดังนั้นการแสดงออกคือ:

x (x +2) + 3 (x +2)

เนื่องจากเรามีทวินามเหมือนกันเพื่อลดนิพจน์เราคูณสิ่งนี้ด้วยเงื่อนไขที่เหลือและเราต้อง:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3)

ตัวอย่าง 2

ปัจจัย 4a ² + 12a + 9 = 0

สารละลาย

เรามีไตรโนเมียลกำลังสองของรูปแบบ ax ² ± bx + cy เพื่อแยกตัวประกอบคูณนิพจน์ทั้งหมดด้วยค่าสัมประสิทธิ์ x ² ; ในกรณีนี้ 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 ก² + 12a (4) + 36 = 0

4 ²ก² + 12a (4) + 36 = 0

ตอนนี้เราต้องหาตัวเลขสองตัวที่เมื่อคูณกันแล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นค่า“ c” (ซึ่งก็คือ 36) และเมื่อบวกแล้วจะให้สัมประสิทธิ์ของคำว่า“ a” ซึ่งเป็น 6

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

ด้วยวิธีนี้นิพจน์จะถูกเขียนใหม่โดยคำนึงถึงว่า 4 ² a ² = 4a _* 4a ดังนั้นคุณสมบัติการกระจายจะใช้สำหรับแต่ละคำ:

(4a + 6) _* (4a + 6)

ในที่สุดการแสดงออกโดยแบ่งเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของการที่² ; นั่นคือ 4:

(4 + 6) _* (4 + 6) / 4 = ((4 + 6) / 2) _* ((ที่ 4 + 6) / 2)

นิพจน์มีดังนี้:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3)

การแยกตัวประกอบกับผลิตภัณฑ์ที่มีชื่อเสียง

มีหลายกรณีที่การแยกตัวประกอบของพหุนามด้วยวิธีการข้างต้นอย่างสมบูรณ์มันจะกลายเป็นกระบวนการที่ยาวนานมาก

นั่นคือเหตุผลที่สามารถพัฒนานิพจน์ด้วยสูตรของผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่นและทำให้กระบวนการนี้ง่ายขึ้น ผลิตภัณฑ์เด่นที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย ได้แก่ :

- ความแตกต่างของสองกำลังสอง: (a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

- กำลังสองสมบูรณ์ของผลรวม: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- กำลังสองสมบูรณ์ของผลต่าง: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- ผลต่างของสองก้อน: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

- ผลรวมของสองก้อน: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ² )

ตัวอย่าง 1

ตัวประกอบ (5 ² - x ² )

สารละลาย

ในกรณีนี้มีความแตกต่างของสองกำลังสอง ดังนั้นจึงใช้สูตรผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่น:

(ก² - ข² ) = (ก - ข) _* (a + b)

(5 ² - x ² ) = (5 - x) _* (5 + x)

ตัวอย่าง 2

ตัวประกอบ 16x ² + 40x + 25 ²

สารละลาย

ในกรณีนี้คุณมีกำลังสองสมบูรณ์ของผลรวมเพราะคุณสามารถระบุคำสองคำกำลังสองได้และคำที่ยังคงอยู่คือผลลัพธ์ของการคูณสองด้วยสแควร์รูทของเทอมแรกด้วยสแควร์รูทของเทอมที่สอง

ก² + 2ab + b ² = (a + b) ²

ในการแยกตัวประกอบเฉพาะรากที่สองของเงื่อนไขที่หนึ่งและสามจะถูกคำนวณ:

√ (16x ² ) = 4x

√ (25 ² ) = 5.

จากนั้นคำที่เป็นผลลัพธ์ทั้งสองจะแสดงโดยคั่นด้วยเครื่องหมายของการดำเนินการและพหุนามทั้งหมดจะถูกยกกำลังสอง:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ² .

ตัวอย่างที่ 3

ตัวประกอบ 27a ³ - b ³

สารละลาย

นิพจน์นี้แสดงถึงการลบซึ่งมีสองปัจจัยเป็นลูกบาศก์ ในการแยกตัวประกอบพวกเขาจะใช้สูตรสำหรับผลคูณที่โดดเด่นของความแตกต่างของลูกบาศก์ซึ่งก็คือ:

ก³ - ข³ = (ab) _* (ก² + ab + b ² )

ดังนั้นในการแยกตัวประกอบรากลูกบาศก์ของแต่ละเทอมของทวินามจะถูกนำมาคูณด้วยกำลังสองของเทอมแรกบวกผลคูณของคำแรกด้วยพจน์ที่สองบวกกับเทอมที่สองกำลังสอง

27a ³ - ข³

³√ ( ^{27 ก 3} ) = 3 ก

³√ (-b ³ ) = -b

27a ³ - ข³ = (3a - ข) _*

27a ³ - ข³ = (3AB) _* (9a ² + 3AB b + ² )

การแยกตัวประกอบด้วยกฎของ Ruffini

วิธีนี้ใช้เมื่อคุณมีพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าสองเพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ให้เป็นพหุนามหลายระดับที่น้อยกว่า

ตัวอย่าง 1

ตัวประกอบ Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

สารละลาย

อันดับแรกเรามองหาตัวเลขที่เป็นตัวหารของ 12 ซึ่งเป็นศัพท์อิสระ เหล่านี้คือ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 และ± 12

จากนั้น x จะถูกแทนที่ด้วยค่าเหล่านี้จากต่ำสุดไปสูงสุดดังนั้นจึงถูกกำหนดด้วยค่าใดที่การหารจะแน่นอน นั่นคือส่วนที่เหลือต้องเป็น 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0

และอื่น ๆ สำหรับตัวหารแต่ละตัว ในกรณีนี้ปัจจัยที่พบคือสำหรับ x = -1 และ x = 2

ตอนนี้ใช้วิธี Ruffini ตามที่สัมประสิทธิ์ของนิพจน์จะถูกหารด้วยปัจจัยที่พบเพื่อให้การหารมีความแน่นอน คำศัพท์พหุนามเรียงลำดับจากเลขชี้กำลังสูงสุดไปต่ำสุด ในกรณีที่คำศัพท์ที่มีระดับถัดไปหายไปในลำดับจะมีการวาง 0 ไว้ในตำแหน่ง

ค่าสัมประสิทธิ์ตั้งอยู่ในโครงร่างดังที่แสดงในภาพต่อไปนี้

ค่าสัมประสิทธิ์แรกจะลดลงและคูณด้วยตัวหาร ในกรณีนี้ตัวหารแรกคือ -1 และผลลัพธ์จะถูกวางไว้ในคอลัมน์ถัดไป จากนั้นค่าของสัมประสิทธิ์กับผลลัพธ์ที่ได้รับจะถูกเพิ่มในแนวตั้งและวางผลลัพธ์ไว้ด้านล่าง ด้วยวิธีนี้กระบวนการนี้จะถูกทำซ้ำจนถึงคอลัมน์สุดท้าย

จากนั้นทำขั้นตอนเดียวกันซ้ำอีกครั้ง แต่มีตัวหารที่สอง (ซึ่งก็คือ 2) เนื่องจากนิพจน์ยังสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้

ดังนั้นสำหรับแต่ละรูทที่ได้รับพหุนามจะมีเทอม (x - a) โดยที่ "a" คือค่าของรูท:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

ในทางกลับกันคำศัพท์เหล่านี้ต้องคูณด้วยส่วนที่เหลือของกฎของ Ruffini 1: 1 และ -6 ซึ่งเป็นปัจจัยที่แสดงถึงระดับ ด้วยวิธีนี้นิพจน์ที่สร้างขึ้นคือ: (x ² + x - 6)

การได้รับผลลัพธ์ของการแยกตัวประกอบของพหุนามโดยวิธี Ruffini คือ:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

สุดท้ายพหุนามของดีกรี 2 ที่ปรากฏในนิพจน์ก่อนหน้านี้สามารถเขียนใหม่เป็น (x + 3) (x-2) ดังนั้นการแยกตัวประกอบขั้นสุดท้ายคือ:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2)

อ้างอิง

1. อาเธอร์กู๊ดแมน LH (2539) พีชคณิตและตรีโกณมิติกับเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. การศึกษาของเพียร์สัน.
2. J, V. (2014). วิธีสอนเด็ก ๆ เกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนาม
3. Manuel Morillo, AS (sf). คณิตศาสตร์พื้นฐานพร้อมการใช้งาน
4. Roelse, PL (1997). วิธีเชิงเส้นสำหรับการแยกตัวประกอบพหุนามเหนือเขตข้อมูล จำกัด : ทฤษฎีและการนำไปใช้ Universität Essen
5. ชาร์ป, D. (1987). แหวนและการแยกตัวประกอบ